孫小康

摘要：結(jié)合近幾年來課程中的教學(xué)實(shí)踐，針對(duì)模塊化教學(xué)方法的弊端，只重視講授教材內(nèi)容忽視數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系，就更新教學(xué)觀念，轉(zhuǎn)變教學(xué)思想，改進(jìn)教學(xué)方法等方面進(jìn)行了深入的探討。

關(guān)鍵詞：微積分；高等數(shù)學(xué)；復(fù)變函數(shù)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）32-0210-02

復(fù)變函數(shù)是理工科的專業(yè)基礎(chǔ)必須課.在本科數(shù)學(xué)專業(yè)，復(fù)變函數(shù)論在整個(gè)課程體系中起著承上啟下的重要作用.

采取科學(xué)而有效的教學(xué)方法，將煩瑣而復(fù)雜的知識(shí)進(jìn)行合理的梳理和整合，讓學(xué)生更輕松更容易地接受和理解知識(shí).

多元函數(shù)的基本概念：設(shè)D是開集，如果對(duì)于D內(nèi)任意兩點(diǎn)，都可用折線連接起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于D，則稱開集D是連通的.聚點(diǎn)：設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)P的任何一個(gè)鄰域內(nèi)總有無限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集E，則稱P為E的聚點(diǎn).

如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)P′（x+Δx，y+Δy）為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）為函數(shù)在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于自變量增量Δx，Δy，的全增量，記為Δz，即 Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）.

如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全增量Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中A，B不依賴于Δx，Δy，而僅與x，y有關(guān)，ρ=■，則稱函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微分，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全微分，記為dz，即dz=AΔx+BΔy，函數(shù)若在某區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).

可微的條件：定理1（必要條件） 如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)■、■必存在，且函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全微分為

dz=■Δx+■Δy.

一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在與微分存在等價(jià)，但多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在，全微分不一定存在.可舉例說明多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在.

定理2（充分條件） 如果函數(shù)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)■、■在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)（x，y）可微分.

習(xí)慣上，記全微分為dz=■dx+■dy.

通?？梢詫⒍瘮?shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理，全微分的定義可以推廣到三元及三元以上函數(shù)：

du=■dx+■dy+■dz.

問題1：能否找到一充分必要條件，準(zhǔn)確地刻畫全微分的性質(zhì).

問題2：能否找到一個(gè)處處連續(xù)處處不可微的例子.

問題3：如果是面上的曲線弧，則定義對(duì)弧長的曲線積分為：

■f（x，y）ds=■■f（ξ■，η■）Δs■

誤差分析：1.（x，y，z）為被積函數(shù)時(shí)，函數(shù)取點(diǎn)近似替代，是在一個(gè)體積微元取值，不一定取到曲線上的函數(shù)之值，在實(shí)數(shù)域討論三元積分是否有意義？

2.Δs=■是用線段長近似替代曲線長，用符號(hào)：Δs=Δx+iΔy是否更合理？

數(shù)學(xué)是一門最能激發(fā)學(xué)生自由本能、創(chuàng)新意識(shí)的學(xué)科，復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)是建立在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上的，但它的抽象性和邏輯性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)，許多概念和結(jié)論在表述形式上雖高度相似，但二者之間的意義卻相去甚遠(yuǎn)，目前部分院校對(duì)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)安排不合理，缺乏新意，內(nèi)容剪輯不合理，嚴(yán)重影響教師和學(xué)生的使用，對(duì)數(shù)學(xué)的教學(xué)極為不利.

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