陳童, 狄鵬, 尹東亮

(海軍工程大學 管理工程系， 湖北 武漢 430033)

考慮維修優(yōu)先權(quán)的多狀態(tài)冷儲備系統(tǒng)可靠性模型

陳童, 狄鵬, 尹東亮

(海軍工程大學 管理工程系， 湖北 武漢 430033)

針對多狀態(tài)兩部件冷儲備系統(tǒng)存在多類維護方式的情況，假設系統(tǒng)中的單維修臺能夠根據(jù)部件狀態(tài)提供保養(yǎng)和維修兩類服務，其中維修具有更高的優(yōu)先級。采用連續(xù)Phase-type分布代替指數(shù)分布等典型分布，描述工作部件在不同性能水平的停留時間、維修臺保養(yǎng)和維修時間。利用矩陣解析方法獲得了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率，推導出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、系統(tǒng)工作時間、系統(tǒng)平均停機間隔時間、維修臺故障件到達率和系統(tǒng)故障率等參數(shù)的解析表達式。通過算例驗證了模型的正確性和適用性，演示了保養(yǎng)和維修速率對系統(tǒng)各可靠性參數(shù)的影響。研究結(jié)果表明，利用Phase-type分布對多狀態(tài)系統(tǒng)開展可靠性解析建模，能夠在確保良好解析特性的同時，有效提升模型的描述能力，從假設條件環(huán)節(jié)保證模型具有更強的通用性。

兵器科學與技術(shù)； 多狀態(tài)； 冷儲備系統(tǒng)； 優(yōu)先權(quán)； 可靠性； Phase-type分布

0 引言

艦船裝備為了提高系統(tǒng)可靠性，常常對關鍵設備采用“用一備一”的冷儲備結(jié)構(gòu)，例如動力系統(tǒng)中的燃油、滑油子系統(tǒng)往往設計有備用泵組，電力系統(tǒng)需要設置前、后電站和前、后主配電板等。這些具有復雜結(jié)構(gòu)和功能的關鍵設備，其性能和故障模式往往會隨著使用時間、強度和外部環(huán)境的變化，表現(xiàn)出多樣性的特點。在分析系統(tǒng)可靠性規(guī)律時，如果只是簡單地將系統(tǒng)狀態(tài)分為“運行”和“故障”兩大類，顯然不能獲得準確的系統(tǒng)可靠性指標[1-2]。因此，多狀態(tài)系統(tǒng)(MSS)可靠性理論[3-4]在20世紀80年代初步建立，受到國內(nèi)外研究者的廣泛關注。

對于多狀態(tài)系統(tǒng)，除了通過冗余結(jié)構(gòu)提升系統(tǒng)的任務可靠性，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)選擇合適的維修活動也能確保裝備獲得理想的可靠性指標。常見的維修活動包括日常保養(yǎng)和事后維修等，不同種類的維修工作對裝備性能和安全的重要程度各不相同，表現(xiàn)出不同的優(yōu)先級別。例如，裝備故障后的維修工作一般要優(yōu)先于日常保養(yǎng)活動，因此建模時考慮優(yōu)先權(quán)的存在更符合現(xiàn)實情況。

Zhang等[5-6]采用幾何過程描述了兩部件冷儲備系統(tǒng)中部件維修活動的變化規(guī)律，考慮特定部件具有優(yōu)先使用權(quán)時的情況，分析了不同維修策略對系統(tǒng)可靠性和經(jīng)濟性的影響。Leung等[7]采用類似思路研究了該類系統(tǒng)中特定部件具有維修優(yōu)先權(quán)的情況。Yuan等[8]研究了兩部件溫儲備系統(tǒng)中特定部件具有優(yōu)先使用權(quán)、部件轉(zhuǎn)換開關具有優(yōu)先維修權(quán)，兩個不同部件和轉(zhuǎn)換開關的工作和維修時間均服從指數(shù)分布的系統(tǒng)可靠性問題。Reetu等[9]在考慮維修優(yōu)先權(quán)的情況下，假設部件工作時間、預防性維修和更換時間服從負指數(shù)分布，研究了兩部件并聯(lián)系統(tǒng)的兩狀態(tài)可靠性問題。Kumara等[10]針對重要計算機系統(tǒng)采用故障修理、換件和預防性維修等多種模式的情況，研究了冷儲備系統(tǒng)中H/W部件預防性維修具有優(yōu)先權(quán)，部件失效服從負指數(shù)分布，而換件時間、修復時間以及預防性維修時間均為任意分布的問題。

在可修系統(tǒng)可靠性解析建模工作中，引入多狀態(tài)和優(yōu)先權(quán)將會顯著增加分析難度。因此上述研究假設部件使用壽命、維修時間等隨機變量服從指數(shù)分布等典型分布[11-12]。這種做法在一定程度上犧牲了模型的真實性和實際應用價值，才換得解析計算的便捷，也使得這些給定了精確分布函數(shù)表達形式的模型只能適用于一些特定問題。

因此，本文引入Phase-type分布，采用解析方法研究多狀態(tài)兩部件冷儲備系統(tǒng)考慮維修優(yōu)先權(quán)時的可靠性規(guī)律。Phase-type分布易于解析建模，可用來描述相當廣泛的隨機現(xiàn)象，便于計算，已成為一種優(yōu)良的隨機建模工具[13]。Neuts等[14]最早將Phase-type分布應用到可靠性隨機建模工作中，假設兩部件系統(tǒng)的失效時間服從連續(xù)Phase-type分布。Segovia等[15]研究了多狀態(tài)系統(tǒng)受到的外部沖擊間隔時間和沖擊強度均服從Phase-type分布時的系統(tǒng)可靠性。Yu 等[16]采用Phase-type分布描述了部件工作壽命、維修時間和備件訂貨時間，并結(jié)合幾何過程研究了部件修理后性能出現(xiàn)退化時的系統(tǒng)可靠性。Montoro-Cazorla等[17]研究了兩部件冷儲備系統(tǒng)的可靠性規(guī)律，模型考慮修復性維修和預防性維修兩種維修模式；其中系統(tǒng)性能不斷退化，退化時間服從一般分布，用Phase-type分布形式表示。陳童等[18]將部件在工作狀態(tài)、儲備狀態(tài)和維修狀態(tài)的停留時間均表示為Phase-type分布，從而獲得了表決(n中取k)系統(tǒng)的可靠性指標。狄鵬等[19]假設系統(tǒng)工作和維修時間服從連續(xù)Phase-type分布，研究了具有不同維修效果的多狀態(tài)可修系統(tǒng)可靠性問題。Li等[20]研究了溫儲備系統(tǒng)存在維修資源調(diào)度情況的系統(tǒng)可靠性問題，將部件壽命、儲備時間、維修臺休假時間均描述為連續(xù)Phase-type分布，分析了裝備保障模式對系統(tǒng)可靠性的影響。

本文針對考慮維修優(yōu)先權(quán)的多狀態(tài)冗余系統(tǒng)可靠性解析建模工作遇到的假設條件過于嚴格、模型結(jié)論適用性窄的問題，利用連續(xù)Phase-type分布描述工作設備在多個性能水平的停留時間、保養(yǎng)時間和維修時間。假設系統(tǒng)具有單個維修臺，維修比保養(yǎng)具有更高優(yōu)先級，建立了一種描述能力更強的系統(tǒng)可靠性模型，給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、系統(tǒng)工作時間、系統(tǒng)平均停機間隔時間、維修臺故障件到達率和系統(tǒng)故障率等參數(shù)的解析表達式。

1 連續(xù)Phase-type分布

定義1[21][0,+∞)上的概率分布函數(shù)F(·)稱為Phase-type分布，并具有m階(α,T)表示，當且僅當它是一個有限狀態(tài)Markov過程的吸收時間分布，有分布函數(shù)：

F(t)=1-αexp (Tt)eT，

(1)

式中：α=(α1,…,αm)，且滿足αeT+αm+1=1；T=(Tij)為m階方陣，Tij≥0(i≠j,i、j=1,…,m)表示從瞬態(tài)i至瞬態(tài)j的轉(zhuǎn)移率，且滿足Tii<0；t表示吸收時間；e為元素值均為1的行向量。

該Markov過程具有狀態(tài)集{1,…,m,m+1}，狀態(tài)1,…,m都是非常返的(瞬態(tài))，狀態(tài)m+1是吸收態(tài)，初始概率為(α,αm+1)，該Markov過程無窮小生成元Q可寫為

(2)

下面給出Kronecker乘積和Kronecker和的定義，這兩者在后面的模型中被大量使用。

定義2[22]若A和B分別為m1×m2和n1×n2的矩陣，則它們的Kronecker乘積A?B為m1n1×m2n2的矩陣，且

(3)

定義3[22]若A和B分別為m和n階方陣，則定義Kronecker和為

A⊕B=A?In+Im?B，

(4)

式中：Im和In分別為m階和n階單位矩陣。

2 問題描述

某冷儲備系統(tǒng)包含兩臺相同設備和一個維修臺，每臺設備性能均可以分為n+1個水平，表示成狀態(tài)集S={1,…,m,m+1,…,n,n+1}. 可以將S劃分為3大類：1)完好狀態(tài)，即設備性能保持在設計指標附近，有狀態(tài)集S1={1,…,m}；2)一般狀態(tài)，即設備可以運行，但性能較差，有狀態(tài)集S2={m+1,…,n}；3)故障狀態(tài)，指設備發(fā)生停機故障，無法使用，有狀態(tài)集S3={n+1}.

令pij(1≤i,j≤n)表示設備從性能i下降到j的概率。在使用過程中，設備性能只會不斷降低，因此當i≥j時有pij=0，可知矩陣P=(pij)為上三角陣。令pi(n+1)(1≤i≤n)表示設備從性能i直接轉(zhuǎn)入故障狀態(tài)的概率，記矩陣P0=(pi(n+1)).

維修臺可以進行保養(yǎng)和維修兩種活動，其中維修具有更高的優(yōu)先級。例如，當設備1處于狀態(tài)j(j∈S2)時，若此時維修臺空閑，則可為該設備提供保養(yǎng)服務。若維修臺開展保養(yǎng)活動時設備2進入故障狀態(tài)，則維修臺立即對故障設備進行維修，而設備1則從狀態(tài)j′轉(zhuǎn)入運行狀態(tài)?？梢哉J為設備1此時的狀態(tài)與保養(yǎng)前持平或有改善，即1≤j′≤j. 設備在完成保養(yǎng)或維修活動后，性能均恢復到完好狀態(tài)。

因為設備在性能水平i(1≤i≤n)的停留時間以及保養(yǎng)和維修時間的分布情況往往是不確定的，因此不妨假設三者均服從一般分布，表示為Phase-type分布形式，做如下進一步假設：

1)設備在性能水平i(1≤i≤n)的停留時間相互獨立，表示為ki階PH(αi,Ti)分布；

2)設備保養(yǎng)和維修時間相互獨立，保養(yǎng)時間分布表示為kM階PH(β,U)，維修時間分布表示為kR階PH(γ,R)；

3)設備從性能水平j進入保養(yǎng)，若保養(yǎng)活動處于y(1≤y≤kM)位相時被中止，則設備進入性能水平j′的概率矩陣為G(y,j,j′)；

4)維修臺對于故障設備采取先到先服務準則。

3 模型分析

3.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間

該系統(tǒng)狀態(tài)空間可以劃分為

Ω=H1∪H2∪H3∪H4∪H5∪H6.

3.2 無窮小生成元

當保養(yǎng)活動被中止后，根據(jù)設備所處性能水平1≤j′≤m和m+1≤j′≤n，可以將矩陣G(y,j,j′)劃分為G=(G1,G2).

根據(jù)3.1節(jié)的系統(tǒng)狀態(tài)空間分類，可以將系統(tǒng)無窮小生成元寫為

Q21表示系統(tǒng)從狀態(tài)空間H2轉(zhuǎn)移到H1，說明保養(yǎng)工作結(jié)束，該部件進入冷儲備狀態(tài)，因此有Q21=Id1?U0?en-m.

同理可知：Q31=Id1?R0；Q42=[(α1?β)?diag(ekm+1?U0?en-m,…,ekn?U0?en-m),0]；Q52=[(α1?β)?diag(ekm+1?R0,…,ekn?R0),0]；Q63=[R0?α1?γ,0].

4 系統(tǒng)特性

4.1 穩(wěn)態(tài)概率向量

當系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，由方程組

πQ=0,πeT=1，

(5)

可得各狀態(tài)空間對應的穩(wěn)態(tài)概率向量[21]π=(π1,π2,π3,π4,π5,π6).

4.2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度

獲得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量后，可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為系統(tǒng)不處于狀態(tài)空間H6的概率，因此有

(6)

4.3 系統(tǒng)工作時間

當系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，工作時間周期就是系統(tǒng)離開狀態(tài)空間H6到再次進入H6的時間間隔。

證明 由系統(tǒng)工作時間周期的定義知，當系統(tǒng)離開狀態(tài)空間H6后，系統(tǒng)開始工作；當系統(tǒng)再次進入H6時，系統(tǒng)停機；因此可以將狀態(tài)空間H6視為系統(tǒng)工作時間的一維吸收態(tài)。由Phase-type分布定義可知，系統(tǒng)工作時間周期服從Phase-type分布，且有η=(0,0,α1?γ,0,0)，QW為去掉Q中對應狀態(tài)空間H6的行和列后所得。定理得證。

4.4 維修臺故障件到達率

維修臺的故障件到達率是系統(tǒng)內(nèi)所有設備發(fā)生故障的速率之和，記為r. 在獲得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率后，可知

r=π1Q13e+π2Q25e+π3Q36e+π4Q45e+π5Q56e=

(7)

4.5 系統(tǒng)故障率

系統(tǒng)故障率是單位時間內(nèi)系統(tǒng)進入停機狀態(tài)的次數(shù)，記為rS. 可知系統(tǒng)只能從狀態(tài)空間H3或H5進入停機狀態(tài)H6，則有

(8)

5 算例

本文算例在Intel 2.3 GHz處理器、3 GB內(nèi)存的計算機上運用Matlab運算獲得。

已知某系統(tǒng)中設備具有9個性能水平，其中完好狀態(tài)為S1={1}，一般狀態(tài)為S2={2,…,8}，故障狀態(tài)為S3={9}，設備在各工作狀態(tài)停留時間的分布如表1所示。

表1 設備在各工作狀態(tài)的停留時間分布

由此可得：系統(tǒng)可用度為A=0.975 5；系統(tǒng)平均停機間隔時間為μ=1.078 3單位時間；維修臺的故障件到達率為r=0.003 8次/單位時間；系統(tǒng)故障率為rS=0.001 6次/單位時間。

由算例可知，當設備在各性能水平的停留時間、設備保養(yǎng)和維修時間服從不同類型的分布時，模型能夠有效獲取系統(tǒng)的各種可靠性參數(shù)，適用性得到了顯著提高，并且矩陣形式的模型參數(shù)并不會對計算效率產(chǎn)生明顯影響。

為了直觀演示保養(yǎng)時間對系統(tǒng)可靠性的影響，令保養(yǎng)時間服從指數(shù)分布，計算結(jié)果如圖1～圖4所示。

圖1 保養(yǎng)速率對可用度的影響Fig.1 Relationship of preventive maintenance rate and system stationary availability

圖2 保養(yǎng)速率對系統(tǒng)平均停機間隔時間的影響Fig.2 Relationship of preventive maintenance rate and mean time between system halt

圖3 保養(yǎng)速率對維修臺故障件到達率的影響Fig.3 Relationship of preventive maintenance rate and failure arrival rate of repair facility

圖4 保養(yǎng)速率對系統(tǒng)故障率的影響Fig.4 Relationship of preventive maintenance rate and system failure rate

由圖1～圖4可知，在該算例中保養(yǎng)速率過快或過慢并不利于提升系統(tǒng)可靠度，以及降低維修臺故障到達率和系統(tǒng)故障率，而保養(yǎng)速率與系統(tǒng)平均停機間隔時間則具有近似線性關系。這是因為保養(yǎng)速率只會直接影響系統(tǒng)各部件在完好和一般狀態(tài)的停留時間，不會直接影響系統(tǒng)的停機時間。因此，在實際的工程應用中，要注意選擇合適的保養(yǎng)速率，使系統(tǒng)獲得滿意的可靠性指標。

同樣，令維修時間也服從指數(shù)分布，可以方便地得出維修速率對系統(tǒng)可靠性的影響，如圖5～圖8所示。

圖5 維修速率對可用度的影響Fig.5 Relationship of corrective maintenance rate and system stationary availability

圖6 維修速率對系統(tǒng)平均停機間隔時間的影響Fig.6 Relationship of corrective maintenance rate and mean time between system halt

圖7 維修速率對維修臺故障件到達率的影響Fig.7 Relationship of corrective maintenance rate and failure arrival rate of repair facility

圖8 維修速率對系統(tǒng)故障率的影響Fig.8 Relationship of corrective maintenance rate and system failure rate

由圖5～圖8可知，提升維修速率能夠有效改善系統(tǒng)可靠性指標，但達到一定值后，其影響會越來越微弱。這是因為維修速率的小幅提升顯然會有效縮短系統(tǒng)停機時間，并減少系統(tǒng)停機次數(shù)，從而提升系統(tǒng)平均停機間隔時間、降低系統(tǒng)故障率。當維修速率提升到一定程度時，維修活動對系統(tǒng)可靠性的影響已經(jīng)趨于平穩(wěn)，此時系統(tǒng)的可靠性指標主要還是取決于各部件自身的可靠性指標。

因此，在實際的工程實踐中，需要合理配置維修資源，從而在獲得滿意的系統(tǒng)可靠性指標的同時，能夠有效控制維修成本。

6 結(jié)論

本文針對大型裝備系統(tǒng)存在不同優(yōu)先級維修活動的現(xiàn)實，采用Phase-type分布研究了兩部件多狀態(tài)冷儲備系統(tǒng)的可靠性規(guī)律，獲得了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、系統(tǒng)工作時間、系統(tǒng)平均停機間隔時間、維修臺故障件到達率和系統(tǒng)故障率等參數(shù)的解析表達式，并通過算例分析了保養(yǎng)時間和維修時間對系統(tǒng)可靠性的影響。

研究結(jié)果表明，利用Phase-type分布表示各類隨機時間分布，能夠在確保模型良好解析特性的同時，有效提升模型的描述能力，也從模型假設條件環(huán)節(jié)保證了模型具有更強的通用性。同時，本文建立的模型在計算時主要涉及矩陣運算，目前高性能計算機和矩陣解析理論的應用能對大型矩陣的運算提供良好的支持。因此，在后續(xù)的研究工作中，可以嘗試采用類似研究思路分析考慮維修優(yōu)先權(quán)的復雜冗余系統(tǒng)可靠性問題。

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Reliability Analysis of Multi-state Cold Standby System with Repair Priority

CHEN Tong, DI Peng, YIN Dong-liang

(Department of Management Engineering， Naval University of Engineering, Wuhan 430033, Hubei, China)

The maintenance mode of a multi-state cold standby system with two identical units is studied. According to the states of units, the single repair facility provides preventive maintenance and corrective maintenance, and the corrective maintenance has a higher priority. The residence time in the different performance levels of the operational unit, the preventive maintenance time and the corrective maintenance time are assumed to follow continuous Phase-type distribution, instead of exponential distribution or others typical distributions. The stationary distribution is built by using matrix analytic methods; and several performance measures of interest, such as the system stationary availability, operational time, mean time between system halt, failure arrival rate of repair facility and system failure rate, are obtained. Finally, the validity and applicability of the model are verified by numerical applications; and the influences of the preventive maintenance rate and the corrective maintenance rate on the system reliability measures are demonstrated. The study shows that the modeling of system reliability by Phase-type distribution can ensure the better analytical property of model, improve the description ability of model, and make the model have strong universality under the condition of some assumptions.

ordnance science and technology; multi-state; cold standby system; priority; reliability; Phase-type distribution

2016-11-15

國家自然科學基金項目(71501183)；海軍工程大學自然科學基金項目(HGDQNJJ15033)

陳童(1980—)，男，講師。E-mail: chentong@nudt.edu.cn

E92

A

1000-1093(2017)07-1422-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.07.022