廣東 林錫龍

(作者單位：廣東省惠來一中)

數(shù)列“函數(shù)”角色的精彩演繹

數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，其項數(shù)n對應(yīng)函數(shù)的自變量x，其通項公式an對應(yīng)函數(shù)的解析式f(x).利用函數(shù)的單調(diào)性可以研究數(shù)列的單調(diào)性，進而可研究數(shù)列的最大項、最小項問題.可是在實際應(yīng)用中，如果把研究數(shù)列的單調(diào)性的方法完全等同于研究函數(shù)的單調(diào)性的方法的話，往往會出現(xiàn)這樣或那樣的問題.本文通過引入兩者異同并結(jié)合例題分析，探究如何做到將數(shù)列的“函數(shù)”角色演繹精彩.

一、兩者異同

1.同：數(shù)列{an}與函數(shù)f(x)有著一樣的淵源，都屬于映射

圖1

圖2

2.異：(n,an)只是其同源函數(shù)f(x)圖象上一系列孤立的點

由于數(shù)列的單調(diào)性與其同源函數(shù)的單調(diào)性不盡相同，所以在解決最值問題時，學生往往忽視了n∈N*而發(fā)生錯誤.

二、數(shù)列的最值問題轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)的最值問題

【例1】(2016·新課標Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為________.

又因為29=512，210=1 024，211=2 048，

……

……

【例3】(2016·寧波模擬)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{Sn}有唯一的最大項S3，Hn=S1+2S2+3S3+…+nSn，則( )

A.S5·S6<0

B.H5·H6<0

C.數(shù)列{an}、{Sn}都是單調(diào)遞減數(shù)列

D.H6可能是數(shù)列{Hn}的最大項

“社會越來越充滿喧鬧，連本來是寧靜的大學校園，如今與喧鬧的市井大街也沒有多大的區(qū)別。”作家張煒為此寫了一篇《尋獲安靜》的文章。網(wǎng)絡(luò)上有個熱詞，叫作“我想靜靜”，曾入選2015年度十大網(wǎng)絡(luò)用語，盡管它的“熱”，是由于其中有被（故意）曲解為“我想念靜靜”的意思在，但它的原意畢竟是“讓我靜一靜”，反映了許多人“尋求安靜”的心聲。

對于選項B，H5·H6=(55a1+85d)(91a1+175d)=[55(a1+2d)-25d]·[91(a1+2d)-7d]，因為a1+2d>0,d<0，所以H5·H6>0，所以B錯；

對于選項D，因為5S5=15a3>0，6S6=18(a3+a4)，7S7=49a4<0，8S8=32(a4+a5)<0，所以當6S6=12(a3+a4)>0時，H6為{Hn}的最大項；當6S6=18(a3+a4)<0時，H5為{Hn}的最大項.所以D正確.

【解析】因為S15>0,S16<0，所以S15=15a8>0,S16=8(a8+a9)<0，所以a8>0，a9<0，由等差數(shù)列各項的性質(zhì)(各項遞減)可知，a1,a2,…,a8>0，a9,a10,…，a15<0.

三、數(shù)列的恒成立問題化歸為數(shù)列的最值問題

當n=1時，T1>λ(S2+1)，

(作者單位：廣東省惠來一中)