宋嘯中

(陜西省寶雞中學(xué),陜西 寶雞 721013)

·試題研究·

巧用運(yùn)動(dòng)分解法 妙解滾輪線運(yùn)動(dòng)

宋嘯中

(陜西省寶雞中學(xué),陜西 寶雞 721013)

帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中若所受洛倫茲力與電場(chǎng)力(或重力)不平衡,運(yùn)動(dòng)軌跡為滾輪線。本文針對(duì)這類問題的特點(diǎn),探討了一種運(yùn)動(dòng)分解的方法,將帶電粒子復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)加以研究,物理情景清晰,可使問題化繁為簡(jiǎn)。

帶電粒子;復(fù)合場(chǎng);運(yùn)動(dòng)分解;滾輪線運(yùn)動(dòng)

1 問題的提出

帶電粒子在正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)(或重力場(chǎng))所形成的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),這類問題近年來在高考、自主招生考試及物理競(jìng)賽中均有涉及。若所受洛倫茲力與電場(chǎng)力(或重力)不平衡,電場(chǎng)力(或重力)會(huì)改變粒子的速度,而速度的變化又會(huì)使洛倫茲力不斷變化,使粒子做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng),學(xué)生難以形成清晰的物理情景,問題求解就顯得很困難,常規(guī)方法難于求解此類問題。

2 解決方法

針對(duì)這類問題的特點(diǎn),本文探討了一種運(yùn)動(dòng)分解的方法,將這種復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng),物理情景更清晰,使問題的解決也變得簡(jiǎn)單。若給帶電粒子附加一對(duì)等大反向的速度(這并不影響帶電粒子的運(yùn)動(dòng))或?qū)щ娏Ｗ拥某跛俣冗M(jìn)行分解,由于帶電粒子所受電場(chǎng)力(或重力)為恒力,使其中與一個(gè)速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力與電場(chǎng)力(或重力)平衡,則該速度對(duì)應(yīng)的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng);另一速度對(duì)應(yīng)的分運(yùn)動(dòng)就僅受洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng),這樣就可將帶電粒子復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)加以研究，現(xiàn)結(jié)合近幾年的典型考題加以具體分析。

3 典型考題分析

例1(2013年福建卷第22題)：如圖1所示,空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng),讓一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以初速度v0沿y軸正向發(fā)射。研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng),且在任一時(shí)刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標(biāo)成正比,比例系數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小E無關(guān)。求該粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度vm(不計(jì)重力和粒子間的作用)。

圖1

解析:當(dāng)粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正向發(fā)射時(shí),給粒子附加沿x軸正向和負(fù)向大小都是v1的速度,這兩個(gè)附加速度的合速度為零,不影響粒子以后的運(yùn)動(dòng)。

點(diǎn)評(píng):利用給粒子附加一對(duì)等大反向的速度,將粒子的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng),物理情景清晰,且不需要用到題目給出的“研究表明”部分的提示,化繁為簡(jiǎn)。

例2(2013年“北約”自主招生第12題)：如圖2所示,在豎直平面內(nèi)有一水平勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直該豎直平面朝里。豎直平面中a、b兩點(diǎn)在同一水平線上,兩點(diǎn)相距l(xiāng)。帶電量q>0、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P,以初速度v從a對(duì)準(zhǔn)b射出。略去空氣阻力,不考慮P與地面接觸的可能性,設(shè)定q、m和B均為不可改變的給定量。

圖2

(1) 若P不能經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn),則l取哪些值,可使P必定會(huì)經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn)?

(2) 計(jì)算各種可能的曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時(shí)間。

解析:質(zhì)點(diǎn)P不能經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn),即洛倫茲力和重力不平衡，將初速度v沿水平方向分解為v1和v2，即v=v1+v2。

圖3

點(diǎn)評(píng):對(duì)于給定初速度的質(zhì)點(diǎn),通過對(duì)初速度進(jìn)行分解,將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng),雖然不同的初速度會(huì)對(duì)應(yīng)不同的偏轉(zhuǎn)方向和運(yùn)動(dòng)軌跡,但圓周運(yùn)動(dòng)的周期與速度大小無關(guān),問題就能很容易得到解決。

例3(第28屆物理競(jìng)賽復(fù)賽第4題)：如圖4所示，空間某區(qū)域存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng),在此區(qū)域建立直角坐標(biāo)系。勻強(qiáng)電場(chǎng)沿x軸正向,電場(chǎng)強(qiáng)度為E0,磁場(chǎng)沿z軸正向,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0,E0、B0分別為已知常量。有一束帶電量都為+q、質(zhì)量都為m的粒子，同時(shí)從Oyz平面內(nèi)的某點(diǎn)射出,它們的初速度均在Oyz平面內(nèi),速度的大小和方向各不相同,不計(jì)粒子所受重力以及各帶電粒子之間的相互作用,問經(jīng)過多少時(shí)間這些粒子又能同時(shí)回到Oyz平面內(nèi)?

圖4

解析:粒子初速度均在yOz平面內(nèi)，設(shè)初速度y方向和z方向的分量分別為vy0和vz0,因粒子在z方向不受電場(chǎng)力和洛倫茲力作用,故粒子在z方向是以初速度vz0做勻速運(yùn)動(dòng),z方向的分運(yùn)動(dòng)不會(huì)使粒子離開yOz平面。

圖5

點(diǎn)評(píng):大量粒子在三維空間受磁場(chǎng)力和電場(chǎng)力做不同的復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng),通過沿y軸附加等大反向速度vy1,將復(fù)雜的空間曲線運(yùn)動(dòng)分解為z方向的勻速運(yùn)動(dòng)、y軸負(fù)向的勻速運(yùn)動(dòng)以及xOy面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)情景豁然開朗,問題也就迎刃而解。

4 軌跡分析

由以上分析可以看出,帶電粒子在正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)(或重力場(chǎng))中的這種復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng),就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)的疊加。我們考慮勻速運(yùn)動(dòng)的汽車輪緣上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),該點(diǎn)相對(duì)輪軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng),而輪軸相對(duì)地面做勻速直線運(yùn)動(dòng),輪緣上任一點(diǎn)相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)的疊加,因此我們可以把帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的這種復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)稱為滾輪線運(yùn)動(dòng)。

[1] 沈晨.更高更妙的物理[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2012.

[2] 范小輝.高校自主招生考試直通車[M].上海:上海交通大學(xué)出版社,2014.