秦修培 耿德路 洪振宇 魏炳波

(西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用物理系,西安 710072)

超聲懸浮過程中圓柱體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動機(jī)理研究?

秦修培 耿德路 洪振宇 魏炳波?

(西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用物理系,西安 710072)

(2017年1月21日收到;2017年4月10日收到修改稿)

研究了圓柱體在超聲懸浮過程中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動機(jī)理.實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):懸浮圓柱體的密度和長徑比越小,轉(zhuǎn)動慣量越小,其穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速越大;反射端在水平方向的偏移會產(chǎn)生回復(fù)力矩,使圓柱體停止旋轉(zhuǎn),且圓柱體靜止時的軸線方向與反射端偏移方向垂直;在圓柱體兩端加入適當(dāng)?shù)耐饨绺蓴_可以主動抑制其旋轉(zhuǎn).計(jì)算表明,懸浮圓柱體的旋轉(zhuǎn)起源于其質(zhì)心偏移產(chǎn)生的力矩,而反射端位置的偏移以及發(fā)射端的傾斜均會抑制圓柱體的旋轉(zhuǎn).

超聲懸浮,有限元方法,圓柱體,旋轉(zhuǎn)

1 引 言

超聲懸浮是一種重要的無容器處理技術(shù)[1,2],其原理是利用強(qiáng)聲場的非線性效應(yīng)產(chǎn)生的聲輻射力抵消重力以實(shí)現(xiàn)物體的懸浮,可以避免樣品與其他物體的接觸,有效地滿足某些科學(xué)研究過程中對無容器、超潔凈環(huán)境的需求,已在分析化學(xué)[3,4]、生物醫(yī)學(xué)[5,6]、材料加工制備[7,8]以及液滴動力學(xué)[9?11]等方面得到了廣泛應(yīng)用.近年來,超聲懸浮條件下物體的動力學(xué)過程引起了研究者們的廣泛興趣,在超聲懸浮實(shí)驗(yàn)過程中可以觀察到懸浮物體的振蕩[12,13]和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動.其中,懸浮物體的振蕩和穩(wěn)定性問題已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)以及計(jì)算方面得到了較為系統(tǒng)的研究[14?17],然而關(guān)于其旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的機(jī)理卻鮮有報(bào)道,這種懸浮不穩(wěn)定性給實(shí)驗(yàn)過程中樣品的定位和探測帶來困難,甚至導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)失敗.因此,探索超聲懸浮條件下物體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的機(jī)理并實(shí)現(xiàn)對其旋轉(zhuǎn)的主動控制具有重要意義.

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的非嚴(yán)格軸對稱性、懸浮物體的振蕩以及聲流[18]均有可能成為樣品旋轉(zhuǎn)的原因,但是實(shí)驗(yàn)上很難對這些因素一一進(jìn)行分析.隨著計(jì)算科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展,仿真模擬提供了一種有效的手段.與其他方法相比,有限元法可以將復(fù)雜的幾何體簡化,并且不考慮整個定義域的復(fù)雜邊界條件,已在聲學(xué)模擬方面得到了廣泛應(yīng)用[19?21].本文首先對不同材料的圓柱體在超聲懸浮過程中的轉(zhuǎn)速進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測定,提出了三種可能產(chǎn)生合力矩的原因;然后應(yīng)用有限元法建立模型,對其進(jìn)行模擬和分析,探討了不同條件下圓柱體在旋轉(zhuǎn)過程中的受力情況,并進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證;最后提出了一種主動抑制旋轉(zhuǎn)的便捷途徑.

2 實(shí)驗(yàn)技術(shù)與模擬方法

2.1 超聲懸浮實(shí)驗(yàn)

圓柱體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動機(jī)理的實(shí)驗(yàn)研究在單軸式超聲懸浮裝置上進(jìn)行,該裝置主要包括超聲電源、壓電陶瓷換能器、發(fā)射端和反射端,如圖1(a)所示,超聲波的頻率為22 kHz.調(diào)節(jié)發(fā)射端與反射端的間距,使裝置達(dá)到三個波節(jié)的諧振狀態(tài),將聚甲基丙烯酸甲酯(polymethylmethacrylate,PMMA)有機(jī)玻璃棒、鋁棒和鐵棒分別置于中間波節(jié)的懸浮位置進(jìn)行實(shí)驗(yàn),圓柱棒懸浮時軸線沿水平方向,轉(zhuǎn)軸沿豎直方向且通過其質(zhì)心.實(shí)驗(yàn)過程中采用Nikon BM-5相機(jī)拍攝圓柱體的運(yùn)動狀態(tài),采用MONARCH ACT-3X型轉(zhuǎn)速表測定圓柱體的轉(zhuǎn)速.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)超聲懸浮狀態(tài)下Φ3 mm圓柱體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動規(guī)律 (a)超聲懸浮裝置圖;(b)不同長徑比的PMMA圓柱體轉(zhuǎn)速隨時間的變化;(c)不同材料的圓柱體轉(zhuǎn)速隨時間的變化;(d)圓柱體轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系Fig.1.(color online)Rotation characteristics of ultrasonically levitated cylinder with 3 mm diameter:(a)Experimental setup for ultrasonic levitation;(b)rotation speeds of the PMMA cylinders with di ff erent length-to-diameter ratios;(c)rotation speeds of the cylinders with di ff erent materials;(d)rotation speeds of the cylinders versus rotational inertia.

2.2 數(shù)值模擬方法

本文采用基于有限元法的COMSOL Multiphysics 5.2a仿真模擬軟件,利用壓力聲學(xué)模塊建立模型,進(jìn)而對圓柱體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行模擬研究.模型如圖2所示,圖2(a)為整體的三維模型示意圖,圖2(b)為通過圓柱體軸線的x-z截面上的模型示意圖.其中,發(fā)射端的半徑為12.5 mm,反射端的半徑為20 mm,曲率半徑為40 mm,圓柱體長度為5 mm,底面半徑為1.5 mm,且其軸線與z軸垂直,圓柱體的邊界設(shè)置為硬聲場邊界,計(jì)算中所使用的聲波在空氣中的傳播速度c0為340 m/s,空氣的密度ρ0為1.21 kg/m3,忽略媒質(zhì)氣體的黏滯性.利用此模型可以直接得出求解域中各點(diǎn)的聲壓p和流體質(zhì)點(diǎn)速度u.

圓柱體旋轉(zhuǎn)時轉(zhuǎn)軸l通過圓柱體的質(zhì)心且平行于z軸,對于圓柱體表面上任意一點(diǎn)A,該點(diǎn)處有一面元dS,那么作用在該面元上的聲輻射力dF可表示為[22]

圓柱體在此處受到的關(guān)于轉(zhuǎn)軸l的力矩dM可以表示為

其中r為點(diǎn)A到轉(zhuǎn)軸l的距離矢量,dFxy為dF在x-y平面內(nèi)的分量,對dM在整個圓柱體表面進(jìn)行積分就可以得到總的關(guān)于轉(zhuǎn)軸l的合力矩M,計(jì)算過程中規(guī)定逆時針為旋轉(zhuǎn)正方向.另外,根據(jù)Gor’kov的理論[23],在理想流體中,可以定義一個與懸浮樣品無關(guān)的聲輻射力的時間平均勢

已知聲壓p和流體質(zhì)點(diǎn)速度u可以直接計(jì)算得到?U,利用上述模型可以研究圓柱體在超聲懸浮過程中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動機(jī)理.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)數(shù)值計(jì)算模型示意圖 (a)三維圖;(b)截面圖Fig.2.(color online)Schematic of numerical simulation model:(a)Three-dimensional diagram;(b)sectional diagram.

3 結(jié)果與討論

3.1 超聲懸浮狀態(tài)下圓柱體旋轉(zhuǎn)規(guī)律

直徑D為3 mm的圓柱體被置于懸浮節(jié)點(diǎn)之后開始加速旋轉(zhuǎn),由于受到空氣阻力的作用,其轉(zhuǎn)速在一段時間之后趨于穩(wěn)定,穩(wěn)定后的旋轉(zhuǎn)方向由初始旋轉(zhuǎn)方向決定,此時對其轉(zhuǎn)速進(jìn)行測定,結(jié)果如圖1(b)和圖1(c)所示.圖1(b)給出了不同長度L的PMMA有機(jī)玻璃棒轉(zhuǎn)速隨時間的變化,結(jié)合圖1(d),可以看出圓柱體長徑比L/D越大,轉(zhuǎn)動慣量越大,轉(zhuǎn)速越低.圖1(c)給出了長度為5 mm的不同材料的圓柱體轉(zhuǎn)速隨時間的變化,密度最小的PMMA棒轉(zhuǎn)速較高,而密度最大的Fe棒轉(zhuǎn)速相對較低.這是因?yàn)槿N圓柱體的形狀和尺寸均相同,受到的聲輻射力和空氣阻力相似,在相同的實(shí)驗(yàn)條件下,轉(zhuǎn)動慣量越大,其轉(zhuǎn)速越低,如圖1(d)所示,其中ˉω和ωm分別代表圓柱體的平均轉(zhuǎn)速和最大轉(zhuǎn)速.從圖1(d)還可以看出,由于不同材料且不同長徑比的圓柱體與空氣的摩擦阻力矩各不相同,其轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系并非是單調(diào)的.

圓柱體旋轉(zhuǎn)的根本原因是其所受到的合力矩不為零.在理想的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中,整個體系關(guān)于懸浮圓柱體的軸線是對稱的,在這種情況下,圓柱體軸線兩側(cè)的聲壓分布是對稱的,聲輻射力在圓柱體上產(chǎn)生的合力矩為零.而在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過程中,懸浮圓柱體的振蕩以及發(fā)射端與反射端相對位置的微小變化都會破壞整個聲場分布的對稱性,進(jìn)而影響圓柱體的運(yùn)動狀態(tài).基于以上分析,本文從以下三方面來探討懸浮圓柱體合力矩不為零的原因.

3.2 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動起源于圓柱體質(zhì)心偏移

首先我們討論懸浮圓柱體質(zhì)心偏移對其所受合力矩的影響,對模型進(jìn)行如下設(shè)定:發(fā)射端與反射端同軸,懸浮圓柱體的質(zhì)心沿著y軸正方向偏移1 mm,沿著x軸正方向從0 mm逐漸偏移到1 mm,計(jì)算結(jié)果如圖3所示.

未放置圓柱體時,時間平均勢關(guān)于發(fā)射端與反射端的軸線對稱分布,如圖3(a)所示.將圓柱體放置于中間的懸浮節(jié)點(diǎn),并使其質(zhì)心沿著x軸和y軸正方向均偏移1 mm,重新計(jì)算總聲壓場的分布,如圖3(b)所示,可以很明顯地看出,通過圓柱體軸線的x-y截面上的聲壓已不再對稱分布.圖3(c)為圓柱體質(zhì)心沿著y軸正方向偏移1 mm,沿著x軸正方向從0 mm逐漸偏移到1 mm時所受到的合力矩的變化,隨著偏移程度的增大,圓柱體受到的合力矩逐漸增大,這說明圓柱體質(zhì)心位置的偏移會產(chǎn)生一個驅(qū)動其旋轉(zhuǎn)的合力矩.

3.3 反射端偏移抑制旋轉(zhuǎn)運(yùn)動

由于實(shí)驗(yàn)裝置存在系統(tǒng)誤差,發(fā)射端與反射端有可能不同軸,在這種情況下,懸浮圓柱體的受力同樣會發(fā)生變化.基于此,對模型進(jìn)行如下設(shè)定:發(fā)射端與反射端相互平行,且反射端的軸線相對發(fā)射端向x軸正方向分別偏移δx=1,2和3 mm.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)懸浮圓柱體質(zhì)心偏移時的聲場分布及其受力情況 (a)未放置圓柱體時的時間平均勢分布;(b)聲壓在通過圓柱體軸線的x-y截面上的分布;(c)圓柱體在不同位置受到的力矩Fig.3.(color online)Distribution of acoustic pressure fi eld and force situation around a levitated cylinder with mass center deviation:(a)Distribution of the time-average potential without cylinder;(b)distribution of acoustic pressure fi eld in the x-y section across the cylinder axis;(c)torque acting on the cylinder in di ff erent positions.

反射端偏移時,懸浮節(jié)點(diǎn)的位置也會發(fā)生偏移,如圖4(a)所示.將圓柱體放置于中間的懸浮節(jié)點(diǎn),并使其軸線與x軸正方向的夾角φ從?π/2逐漸變化到π,重新計(jì)算聲場分布.圖4(b)給出了當(dāng)圓柱體的軸線與x軸正方向的夾角為π/6時,總聲壓場在通過圓柱體軸線的x-y截面上的分布圖,可以很直觀地看出圓柱體軸線兩側(cè)的聲壓場分布明顯不同,那么它此時受到的合力矩有可能不為零.

圖4(c)給出了當(dāng)反射端偏移的程度不同時,圓柱體在不同位置所受到的力矩.從圖4(c)可以看出:夾角φ為零即圓柱體的軸線與x軸平行時,合力矩M=0,而且此時若φ有微小的變化,圓柱體在合力矩的作用下會偏離平衡位置,表明此時圓柱體處于一個不穩(wěn)定的平衡狀態(tài);夾角φ為π/2即圓柱體的軸線與x軸垂直時,合力矩M=0,與φ=0時不同,此刻若φ有微小的變化,圓柱體在合力矩的作用下會回復(fù)到平衡位置,此時圓柱體處于一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài).從圖4(c)還可以得出,當(dāng)圓柱體處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)時,反射端的偏移程度越大,圓柱體偏離平衡狀態(tài)后受到的回復(fù)力矩越大,即越難以轉(zhuǎn)動.

以直徑為3 mm、長度為5 mm的PMMA圓柱體為例,平移反射端進(jìn)行超聲懸浮實(shí)驗(yàn).圖5給出了三種不同條件下懸浮圓柱體的運(yùn)動狀態(tài).圖5(a)表示反射端與發(fā)射端同軸時圓柱體處于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動狀態(tài).一旦反射端發(fā)生偏移,圓柱體的運(yùn)動狀態(tài)隨之改變,如圖5(b)和圖5(c)所示,當(dāng)反射端沿著不同方向偏移3 mm時,圓柱體最終處于靜止?fàn)顟B(tài),圖中虛線箭頭方向代表反射端的偏移方向.可以看出,圓柱體靜止時,其軸線與反射端的平移方向相互垂直,這說明圖4(c)的計(jì)算結(jié)果是合理的.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)反射端位置偏移時的聲場分布和懸浮圓柱體的受力情況 (a)未放置圓柱體時的時間平均勢分布;(b)聲壓在通過圓柱體軸線的x-y截面上的分布;(c)圓柱體在不同位置受到的力矩Fig.4.(color online)Distribution of acoustic pressure fi eld and force situation around a levitated cylinder with a deviating re fl ector:(a)Distribution of the time-average potential without cylinder;(b)distribution of acoustic pressure fi eld in the x-y section across the cylinder axis;(c)torque acting on the cylinder in di ff erent positions.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)反射端位置偏移時圓柱體的運(yùn)動狀態(tài) (a)未發(fā)生偏移;(b),(c)沿著箭頭方向偏移3 mmFig.5.(color online)Motion state of cylinder as the re fl ector deviates:(a)Not deviate;(b)and(c)deviate along the arrow direction with 3 mm.

3.4 發(fā)射端傾斜抑制旋轉(zhuǎn)運(yùn)動

發(fā)射端與反射端不同軸的情況還有另外一種即發(fā)射端與反射端的端面相互不平行,為了研究在此條件下懸浮圓柱體的受力情況,對模型進(jìn)行如下設(shè)定:反射端位置不變,僅改變發(fā)射端的傾斜角ψ,即其端面與x-y平面的夾角,ψ分別取π/180,π/90和π/60,計(jì)算結(jié)果如圖6所示.我們將圖6(a)和(b)與圖4(a)和(b)相比較可以看出,這兩種情況下懸浮節(jié)點(diǎn)位置均會發(fā)生偏移,且放置圓柱體之后,其軸線兩側(cè)的聲壓場分布也不對稱.根據(jù)3.3節(jié)的討論,可以推測此時圓柱體受到的合力矩也不為零.

圖6(c)給出了當(dāng)發(fā)射端傾斜程度不同時,圓柱體在不同位置所受到的力矩.與圖4(c)相比,二者的變化規(guī)律類似,都存在兩種合力矩為零的情況.當(dāng)φ=0,即圓柱體軸線與發(fā)射端軸線和反射端軸線處于同一平面內(nèi)時,圓柱體處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài);φ=π/2,即圓柱體軸線與發(fā)射端軸線和反射端軸線確定的平面垂直時,圓柱體處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài).同樣以PMMA圓柱體為例進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,但是圓柱體最終未能靜止在穩(wěn)定的平衡狀態(tài),這可能是由于發(fā)射端傾斜時,圓柱體受到的合力矩較小,數(shù)量級在10?9N·m,與3.2節(jié)和3.3節(jié)兩種情況中的10?6N·m相比,差距很大.而在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過程中,圓柱體的質(zhì)心不可避免地會偏離勢阱位置,由此在圓柱體上產(chǎn)生的合力矩遠(yuǎn)大于發(fā)射端傾斜時所產(chǎn)生的合力矩,這將對圖6(c)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證造成很大的影響.但是從圖4(c)和圖6(c)可以看出,兩種情況下圓柱體受到的合力矩的變化趨勢是一致的,根據(jù)3.3中的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,我們有理由預(yù)測在沒有其他因素的干擾下,僅改變發(fā)射端傾斜角時,圓柱體最終會靜止在穩(wěn)定的平衡狀態(tài).

3.5 主動抑制圓柱體旋轉(zhuǎn)的便捷途徑

以上討論了圓柱體所受合力矩不為零的三種可能,那么如何在發(fā)射端與反射端同軸且圓柱體質(zhì)心不發(fā)生偏移的情況下主動抑制圓柱體的旋轉(zhuǎn)？根據(jù)前面的討論,聲場的分布對懸浮圓柱體所受到的合力矩有著重要影響.在實(shí)驗(yàn)過程中可以人為地引入外界物體來改變聲場的分布,基于此,設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn):調(diào)節(jié)反射端的位置,使其與發(fā)射端同軸,在懸浮圓柱體的兩端對稱地放置兩個陶瓷圓柱體,陶瓷圓柱體軸線與x軸平行,這種情況下圓柱體將不再旋轉(zhuǎn),而是最終處于靜止?fàn)顟B(tài),并且與兩個陶瓷圓柱體同軸,如圖7(a)所示.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)施加外界干擾對懸浮圓柱體旋轉(zhuǎn)的影響 (a)圓柱體的運(yùn)動狀態(tài);(b)圓柱體在不同位置受到的力矩Fig.7.(color online)E ff ect of external disturbance on the rotation state of levitated cylinder:(a)Motion state of cylinder;(b)torque acting on the cylinder in di ff erent positions.

為了對上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行分析,利用有限元法進(jìn)行了模擬.圖7(b)給出了圓柱體與x軸正方向的夾角φ從?π/2逐漸變化到π時,其所受到的合力矩的變化趨勢.與圖4(c)和圖6(c)相比,圖7(b)中也存在兩種合力矩為零的情況,不同的是,圓柱體在φ=0時處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài),而在φ=π/2時處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài),這與上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是符合的.

4 結(jié) 論

本文研究了超聲懸浮過程中圓柱體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動機(jī)理,所得結(jié)論如下.

1)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),超聲懸浮過程中圓柱體的旋轉(zhuǎn)速度與其密度和長徑比有關(guān),密度和長徑比越小,轉(zhuǎn)動慣量越小,其穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速越大.計(jì)算表明,圓柱體質(zhì)心位置的偏移會產(chǎn)生驅(qū)動其旋轉(zhuǎn)的合力矩,且偏移程度越大,所受到的合力矩越大.

2)發(fā)射端與反射端之間不同軸會在圓柱體上產(chǎn)生合力矩.計(jì)算和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),若對反射端進(jìn)行平移,圓柱體最終會靜止在穩(wěn)定的平衡位置,且其靜止時的軸線方向與反射端平移方向垂直.與反射端平移相比,發(fā)射端傾斜產(chǎn)生的合力矩較弱,在其作用下同樣會使圓柱體最終靜止在穩(wěn)定的平衡位置,且圓柱體軸線與發(fā)射端軸線和反射端軸線確定的平面垂直.

3)在懸浮圓柱體兩端對稱的放置兩個位置固定的圓柱體進(jìn)行干擾,可以抑制其旋轉(zhuǎn),圓柱體最終靜止在平衡位置,并且與兩個干擾圓柱體同軸.利用有限元方法進(jìn)行了模擬,模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象相符合.

感謝吳宇昊和楊尚京等同事在實(shí)驗(yàn)和分析過程中給予的有益幫助.

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Rotation mechanism of ultrasonically levitated cylinders?

Qin Xiu-PeiGeng De-Lu Hong Zhen-Yu Wei Bing-Bo?

(Department of Applied Physics,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China)

21 January 2017;revised manuscript

10 April 2017)

The rotation of levitated object in the ultrasonic levitation experiment is a common phenomenon.This instability may give rise to many difficulties in locating and detecting the levitated object and even cause the experiment to fail.However,the relevant research of the rotation mechanism of levitated object is seldom carried out.In this work,the rotation mechanism of cylinder in a single-axis ultrasonic levitator is investigated experimentally and theoretically.In the ultrasonic levitation experiment,the cylinder begins to rotate about an axis along the vertical direction as it is levitated at the node between the emitter and re fl ector.The rotation speed of cylinder tends to a stable value due to the e ff ect of the air resistance,and the fi nal rotation direction is determined by its initial rotation state.Experimental results demonstrate that the rotation speed increases with the decreases of density and length-to-diameter ratio of the cylinder.In order to analyze the rotation mechanism,the fi nite element method is used to calculate the distribution of acoustic pressure fi eld and the torque acting on the cylinder for each of three di ff erent cases.Numerical results reveal that the position o ff sets of the cylinder and the re fl ector as well as the tilt of the emitter can all result in the nonaxisymmetrical distribution of acoustic pressure fi eld.Hence,a nonzero torque acting on the cylinder may be generated and the rotation state of the levitated cylinder is subsequently a ff ected.The position o ff set of the cylinder can produce a torque driving itself to rotate and the torque increases with the increase of the deviation degree.A restoring torque suppressing the rotation of cylinder can be generated by deviating the re fl ector from the horizontal direction.The cylinder eventually keeps stationary state with its axis perpendicular to the o ff set direction of the re fl ector,showing good accordance with the experimental results.In addition,it is predicted that tilting the emitter can also o ff er a restoring torque which makes cylinder eventually static with its axis perpendicular to the plane through the axes of the emitter and the re fl ector.However,this restoring torque is approximately three orders of magnitude smaller than that generated by deviating the re fl ector.In the end,both experimental results and numerical simulations show that the rotation of the cylinder can be e ff ectively suppressed under the disturbance of two fi xed cylinders when the emitter and the re fl ector are coaxial.The cylinder eventually stays still and keeps coaxial with the two fi xed cylinders.

ultrasonic levitation, fi nite element method,cylinder,rotation

10.7498/aps.66.124301

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:51327901,51501153)資助的課題.

?通信作者.E-mail:bbwei@nwpu.edu.cn

?2017中國物理學(xué)會Chinese Physical Society http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.51327901,51501153).

?Corresponding author.E-mail:bbwei@nwpu.edu.cn