許碧榮 王光義

1)(杭州電子科技大學(xué),現(xiàn)代電路與智能信息研究所,杭州 310018)

2)(武夷學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院,武夷山 354300)

憶感器文氏電橋振蕩器?

許碧榮1)2)王光義1)?

1)(杭州電子科技大學(xué),現(xiàn)代電路與智能信息研究所,杭州 310018)

2)(武夷學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院,武夷山 354300)

(2016年7月29日收到;2016年11月5日收到修改稿)

為了探索新型憶感器的特性,提出了一種新的憶感器模型,該模型考慮了內(nèi)部變量的影響,更符合未來實(shí)際憶感器的性能.建立了其等效電路,分析了其特性.利用該憶感器模型,設(shè)計(jì)了一種憶感器文氏電橋混沌振蕩器,分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動力學(xué)行為.研究發(fā)現(xiàn),此系統(tǒng)不僅存在周期、擬周期和混沌等多種狀態(tài),還發(fā)現(xiàn)了一些重要的動力學(xué)現(xiàn)象,如恒Lyapunov指數(shù)譜、非線性調(diào)幅、共存分岔模式和吸引子共存等復(fù)雜非線性現(xiàn)象,說明了這些特殊現(xiàn)象的基本機(jī)理和潛在應(yīng)用.最后進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,驗(yàn)證了該振蕩器的混沌特性.

憶感器,文氏電橋,混沌,吸引子共存

1 引 言

Chua(蔡少棠)在1971年提出憶阻器模型[1],2008年,HP實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)了納米級憶阻器[2,3].由于憶阻器在存儲、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和電路設(shè)計(jì)等多方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值,因此引起了學(xué)術(shù)界的廣泛興趣[4-9].2008年,Di Ventra等[10]將憶阻器概念進(jìn)行拓展,提出了憶感器和憶容器.但是,相對于憶阻器而言,對憶感器和憶容器的研究相對較少,有必要開展憶感器和憶容器物理特性及其應(yīng)用的預(yù)先研究.

憶容器和憶感器的概念最早出現(xiàn)在1978年的歐洲電路理論與設(shè)計(jì)會議(ECCTD)上,由Chua[11]在其特邀報(bào)告中作為兩種新型電路元件而提出,2003年Chua[12]正式定義了此兩種記憶元件,尤其給出了電路元件的(α,β)階分類,把憶阻器、憶感器和憶容器分別定義為(-1,-1)階、(-2,-1)階和 (-1,-2)階電路元件.2008年,Di Ventra等[10]在伯克利舉行的憶阻器研討會上正式提出了憶感器和憶容器的定義與電路符號.2009年Chua[13]在IEEE專家短訓(xùn)班上的輔導(dǎo)報(bào)告可幫助讀者進(jìn)一步理解憶感器的概念.

雖然還未報(bào)道物理實(shí)現(xiàn)的憶感器元件,但已經(jīng)發(fā)現(xiàn)或預(yù)測了憶感現(xiàn)象的存在.可以設(shè)想,一個(gè)簡單的實(shí)際憶感器可用某種磁芯材料來實(shí)現(xiàn),其憶感效應(yīng)依賴于磁場的歷史[10].實(shí)際上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)某些絕緣材料具有憶感器效應(yīng)[14],也出現(xiàn)了利用自旋霍爾磁電阻實(shí)現(xiàn)憶感器的報(bào)道[15].

憶感器建模是憶感器特性和應(yīng)用研究的基礎(chǔ).因此,自憶感器提出之后,出現(xiàn)了一些接地和浮地的憶感器模擬器[16-20]和SPICE模型[21,22],用以仿真憶感器的物理特性.文獻(xiàn)[15]提出了憶感器的一種物理實(shí)現(xiàn)的方法,文獻(xiàn)[19,23]分析了憶感器串并聯(lián)的規(guī)律.由于憶感器與憶阻器一樣也具有非線性記憶特性,也可利用它來設(shè)計(jì)混沌振蕩器,近來出現(xiàn)了少量對憶感器混沌振蕩器的研究[24,25].然而文獻(xiàn)[24,25]采用了較理想的憶感器模型,未考慮憶感器內(nèi)部變量的影響,其憶感器振蕩器基于Chua電路來設(shè)計(jì),含有線性電感元件,體積大難以集成化,難以產(chǎn)生低頻信號,且其實(shí)驗(yàn)電路為基于數(shù)學(xué)模型的等效運(yùn)算電路,而非基于實(shí)際元件建立的實(shí)際電路.而文氏電橋混沌振蕩器[26,27]具有振蕩穩(wěn)定、波形良好和振蕩頻率寬等優(yōu)點(diǎn).然而,到目前為止未出現(xiàn)任何形式的憶感器文氏電橋混沌振蕩器,因此,有必要開展這方面的研究,探索憶感器文氏電橋振蕩器的特性.

本文將憶感器模型進(jìn)行拓展,提出了一種新的模型,該模型考慮了憶感器內(nèi)部變量的影響,建立其等效電路,分析其特性,并在此基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了一種基于憶感器的文氏電橋混沌振蕩器,分析了其動力學(xué)特性,并進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.與文獻(xiàn)[24]等相比,該振蕩器還出現(xiàn)了一些重要的特殊現(xiàn)象,如恒定Lyapuno指數(shù)與恒定混沌振蕩、非線性調(diào)幅、共存吸引子和共存分岔等.

2 憶感器模型及其等效電路

文獻(xiàn)[10]提出了憶感器的一般概念與一般模型,時(shí)不變憶感器可定義為

式中L-1是電感的倒數(shù),iM是流過憶感器的電流,φ是憶感器的磁通量,ρ是憶感器的內(nèi)部狀態(tài)量.

從(1)式看出,一般情況下狀態(tài)變量的變化率dρ/dt與磁通和該變量自身相關(guān).但為了簡便,對憶阻器、憶容器和憶感器的建模大都采用一種特例下的簡化模型,即忽略內(nèi)部變量ρ對dρ/dt的影響.如在HP憶阻器中僅考慮電荷的影響[3], 即 dρ/dt=f(ρ,q)=aq, 其中a為系數(shù);在憶感器模型中僅考慮磁通φ的影響[10],即dρ/dt=f(ρ,φ)=Aφ,其中A為系數(shù),這些模型可認(rèn)為是理想模型.

而實(shí)際器件的內(nèi)部情況要復(fù)雜得多,往往要考慮內(nèi)部狀態(tài)變量ρ對其導(dǎo)數(shù)的影響(這個(gè)導(dǎo)數(shù)可能是粒子的漂移速率,如HP憶阻器;或是磁性材料中引起電感變化的磁性材料某種參數(shù)的變化率).例如,文獻(xiàn)[3]在提出憶阻器簡化的理想模型之后,為考慮實(shí)際器件內(nèi)部變量的影響,在內(nèi)部變量w的導(dǎo)數(shù)dw/dt中增加了一個(gè)關(guān)于變量w函數(shù)的乘積項(xiàng);從已實(shí)現(xiàn)的憶阻器看,許多憶阻器并不是理想的憶阻器模型,而是廣義的憶阻器模型或憶阻系統(tǒng)[2,3,28,29].憶感器較憶阻器難以實(shí)現(xiàn),但從文獻(xiàn)[15]利用自旋霍爾磁電阻實(shí)現(xiàn)的一種憶感器看,其模型并不是理想模型.因此,從一般意義考慮并著眼于未來可實(shí)現(xiàn)的實(shí)際憶感器,其內(nèi)部狀態(tài)量ρ對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),一般情況下會受內(nèi)部狀態(tài)量自身的影響.考慮了這個(gè)因素后,本文提出如下憶感器模型：

其中A,B,C,D為系數(shù),ρ為憶感器內(nèi)部狀態(tài)變量(對應(yīng)(1)式的x)f(ρ,φ)=Aφ-Bρ中的第一項(xiàng)Aφ為磁通對dρ/dt的貢獻(xiàn),第二項(xiàng)Bρ反映了憶感器內(nèi)部狀態(tài)變量對其變化率的影響.(2)式與(1)式相比,憶感倒數(shù)為L-1(ρ,φ)=Cρ/φ-Dρφ.該憶感倒數(shù)反映了在一個(gè)實(shí)際的憶感器中,其憶感值(或憶感倒數(shù)值)一方面與磁通量φ有關(guān),另一方面還與其內(nèi)部變量ρ有關(guān),兩者交互影響.例如,一個(gè)簡單的實(shí)際憶感器可用某種磁芯材料來實(shí)現(xiàn),其憶感效應(yīng)依賴于磁場的歷史,即與磁通有關(guān)[10];除此之外還依賴于這種材料的某個(gè)參數(shù),如磁場變化率、磁化率等.再如某些絕緣材料也有憶感器的效應(yīng)[14].另外憶感效應(yīng)還可通過改變電感的匝數(shù)和形狀來實(shí)現(xiàn),如文獻(xiàn)[30]引入了一個(gè)類似滑動變阻器的憶感器模型,此模型中憶感器的中間滑動頭到任一端的距離即是一個(gè)內(nèi)部狀態(tài)變量,顯然其憶感或憶感倒數(shù)值與這個(gè)變量相關(guān).

圖1 憶感器的等效電路Fig.1.Equivalent circuit of the meminductor.

為了進(jìn)一步研究此憶感器,利用Multisim軟件建立了如圖1所示的等效電路.若輸入端AB接輸入電壓v,由等效電路可得：

由于電路中的R7=R9,R12=R13,則(3)式簡化為

圖2 電路的電壓、電流、磁通量、狀態(tài)變量測試結(jié)果 (a)v(t)和φ(t)的波形;(b)v-φ特性曲線;(c)φ(t)和ρ(t)的波形;(d)φ-ρ特性曲線;(e)v(t)和ρ(t)的波形;(f)v-ρ特性曲線;(g)φ(t)和i(t)的波形;(h)φ-i特性曲線;(i)v(t)和i(t)的波形;(j)v-i特性曲線;(k)ρ(t)和i(t)的波形;(l)ρ-i特性曲線Fig.2.Test results of voltage,current,magnetic flux and state variable of the circuit：(a)Time-domain waveforms ofv(t)andφ(t);(b)characteristic curve ofv-φ;(c)time-domain waveforms ofφ(t)andρ(t);(d)characteristic curve ofφ-ρ;(e)time-domain waveforms ofv(t)andρ(t);(f)characteristic curve ofv-ρ;(g)time-domain waveforms ofφ(t)andi(t);(h)characteristic curve ofφ-i;(i)time-domain waveforms ofv(t)andi(t);(j)characteristic curve ofv-i;(k)time-domain waveforms ofρ(t)andi(t);(l)characteristic curve ofρ-i.

圖3 憶感器的φ-i特性圖 (a)f=500 Hz;(b)f=600 Hz;(c)f=700 Hz;(d)f=800 HzFig.3.φ-ihysteresis loop of the meminductor in conditions of(a)f=500 Hz;(b)f=600 Hz;(c)f=700 Hz;(d)f=800 Hz.

3 憶感器文氏電橋混沌系統(tǒng)

3.1 憶感器文氏電橋混沌系統(tǒng)模型

下面利用(2)式所述的憶感器,建立如圖4所示的憶感器文氏電橋混沌振蕩器.根據(jù)基爾霍夫定律、電橋特性和元件特性關(guān)系,可得如下的電路的動態(tài)方程：

則方程(5)可變換為：

圖4 憶感器文氏電橋混沌系統(tǒng)模型Fig.4. Model of the meminductive Wein-bridge chaotic system.

圖5 憶感器文氏電橋混沌系統(tǒng)的時(shí)域波形Fig.5.Time-domain waveforms of the meminductive Wein-bridge chaotic system.

圖6 憶感器文氏電橋混沌系統(tǒng)的混沌吸引子 (a)x-y平面相圖;(b)y-z平面相圖;(c)z-u平面相圖;(d)u-x平面相圖Fig.6.Chaotic attractors of the meminductive Wein-bridge chaotic system：(a)x-yphase diagram;(b)y-zphase diagram;(c)z-uphase diagram;(d)u-xphase diagram.

當(dāng)參數(shù)選擇為a=1.55,b=1,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5時(shí),在初始條件為(1,0,0.5,-0.5)的情況下,通過計(jì)算,可得Lyapunov指數(shù)為LE1=0.066,LE2=0,LE3=-0.531,LE4=-0.737,Lyapunov維數(shù)為DL=2.124,說明了系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).此時(shí),系統(tǒng)的時(shí)域波形如圖5所示,系統(tǒng)的相平面上的投影如圖6所示,在z=0截面上做的Poincaré映射如圖7所示,這些結(jié)果可進(jìn)一步說明此時(shí)系統(tǒng)的動力學(xué)行為是混沌的.

圖7 憶感器文氏電橋混沌系統(tǒng)在z=0截面上的Poincaré 映射Fig.7.Poincaré mapping of the meminductive Weinbridge chaotic system onz=0 section.

3.2 系統(tǒng)的特性分析

3.2.1 平衡特性

若系統(tǒng)(6)是混沌系統(tǒng),必須滿足

因此,系統(tǒng)(6)在滿足xy＜(1+b-e)/2df的條件下為混沌系統(tǒng).

由于系統(tǒng)(6)滿足在(x,y,z,u)→(-x,-y,-z,-u)的變換下保持不變,因此,系統(tǒng)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

由(6)式的左邊為零,可得

將參數(shù)a=1.55,b=1,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5,代入(9)式,求得平衡點(diǎn)S0處的特征值為λ1,2=0.044±j0.851,λ3,4=-0.794±j0.414,故平衡點(diǎn)S0是不穩(wěn)定的焦點(diǎn).兩個(gè)對稱非零平衡點(diǎn)S±處的特征值為λ1=4.182,λ2=-1.252,λ3,4=0.665±j0.883,故平衡點(diǎn)S±是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn).

3.2.2 系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)的影響分析

隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變,系統(tǒng)的平衡點(diǎn)會發(fā)生變化,系統(tǒng)的穩(wěn)定性將會發(fā)生變化,系統(tǒng)的狀態(tài)也會發(fā)生變化.在初始條件(1,0,0.5,-0.5)下,固定參數(shù)b=1,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5,改變a.當(dāng)a在[1.52,1.5549]范圍內(nèi)變化時(shí),系統(tǒng)Lyapunov的指數(shù)譜和分岔圖如圖8所示,為了更好地觀察,圖中將最小的Lyapunov指數(shù)忽略(下面的Lyapunov指數(shù)譜也進(jìn)行同樣處理).由圖8可見,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖基本一致.系統(tǒng)的分岔形式為倍周期分岔,系統(tǒng)剛開始LE1=0,處于周期態(tài)或擬周期態(tài),隨著a的增大,系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了變化,當(dāng)LE1＞0,系統(tǒng)的狀態(tài)為混沌態(tài),但是在混沌態(tài)的區(qū)域又有周期窗,系統(tǒng)狀態(tài)呈現(xiàn)了復(fù)雜的變化過程.

同樣,參數(shù)b也會影響系統(tǒng)狀態(tài).在同樣的初始條件下,讓參數(shù)a=1.55,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5不變,讓b在[0.998,1.02]范圍內(nèi)變化,得到的Lyapunov指數(shù)的系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖9(a)和圖9(b)所示,兩者基本符合.從圖9可以看到,系統(tǒng)參數(shù)b變化過程中也存在周期、倍周期分岔、混沌和周期窗等復(fù)雜的非線性變化過程.

為了進(jìn)一步認(rèn)識參數(shù)a,b同時(shí)對系統(tǒng)狀態(tài)影響的情況,讓a在[1.535,1.558]范圍和b在[0.995,1.008]范圍內(nèi)變化,繪制出如圖10所示的動力學(xué)地圖,圖中黃色區(qū)域表示系統(tǒng)處于周期或準(zhǔn)周期狀態(tài);藍(lán)色區(qū)域表示系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),褐色區(qū)域表示系統(tǒng)發(fā)散.由圖10可見,隨著a的增加和b的減少,系統(tǒng)的狀態(tài)由周期態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦鐟B(tài),最后為發(fā)散狀態(tài).

圖8 (網(wǎng)刊彩色)參數(shù)a變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖 (a)參數(shù)a變化的Lyapunov指數(shù)譜;(b)參數(shù)a變化的分岔圖Fig.8.(color online)Lyapunov spectrum and bifurcation diagram with respect toa：(a)Lyapunov spectrum;(b)bifurcation diagram.

圖9 (網(wǎng)刊彩色)參數(shù)b變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖 (a)參數(shù)b變化的Lyapunov指數(shù)譜;(b)參數(shù)b變化的分岔圖Fig.9.(color online)Lyapunov spectrum and bifurcation diagram with respect tob：(a)Lyapunov spectrum and(b)bifurcation diagram.

圖10 (網(wǎng)刊彩色)參數(shù)a和b的動力學(xué)地圖Fig.10.(color online)Dynamical map withaandb.

3.2.3 恒Lyapunov指數(shù)譜特性

在初始條件(1,0,0.5,-0.5)下,固定參數(shù)a=1.55,b=1,c=0.25,e=1,f=1,g=0.5,改變d.當(dāng)d在[0.005,0.1372]范圍內(nèi)變化時(shí),系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖11所示.

在此區(qū)間系統(tǒng)處于恒定混沌狀態(tài),且呈現(xiàn)恒定Lyapunov指數(shù)現(xiàn)象.與其他憶阻器或憶感器振蕩器相比,這是該憶感器文氏電橋振蕩器非常重要的一種特性.適合作為秘鑰進(jìn)行信息加密的混沌系統(tǒng)應(yīng)是魯棒混沌或至少是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的混沌,該憶感器系統(tǒng)在參數(shù)擾動下具有恒定混沌與恒定Lyapunov指數(shù)特性,意味著其具有強(qiáng)魯棒性和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,因而適合于作為隨機(jī)信號源,產(chǎn)生性能良好的偽隨機(jī)序列.其他混沌系統(tǒng)一般在其混沌區(qū)間都存在周期窗口,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)存在擾動驅(qū)使系統(tǒng)運(yùn)動到周期軌道時(shí),擾動下的映射與原混沌映射不是拓?fù)涞葍r(jià)的,因而不是魯棒的混沌映射.而該憶感器系統(tǒng)在其混沌參數(shù)區(qū)間無論參數(shù)d如何變化,始終維持恒定Lyapunov指數(shù)的恒定混沌振蕩,這說明系統(tǒng)不因參數(shù)d的擾動或微小變化而使其由原來的混沌態(tài)進(jìn)入到非拓?fù)涞葍r(jià)的周期態(tài).

圖11 (網(wǎng)刊彩色)參數(shù)d變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖 (a)參數(shù)d變化的Lyapunov指數(shù)譜;(b)Xmax-d分岔圖Fig.11.(color online)Lyapunov spectrum and bifurcation diagram with respect tod：(a)Lyapunov spectrum;(b)bifurcation diagram.

全局非線性調(diào)幅是該憶感器文氏電橋振蕩器的另一重要特性.從圖11(b)看出,隨著參數(shù)d的增加,混沌振蕩信號x(或y,z,u)的幅值隨參數(shù)d非線性變化,即幅值是參數(shù)的非線性函數(shù).這種特性對混沌密碼設(shè)計(jì)的最大優(yōu)勢在于大大提高了依據(jù)混沌振蕩幅度預(yù)測系統(tǒng)參數(shù)從而重構(gòu)混沌系統(tǒng)的安全性.一些著名的混沌系統(tǒng)如Logistic映射,在其混沌區(qū)間不但存在眾多周期窗口,且其迭代幅值隨參數(shù)線性變化,這大大降低了其作為密碼的魯棒性和安全性.

3.2.4 共存分岔模式

對于系統(tǒng)(6),在a=0.48,b=1,d=4,e=1,f=2.7,g=0.2不變的情況下,讓參數(shù)c從1.45變化到1.66,對于不同初值(0.03,0,0.01,-0.01)和(-0.01,0.02,0.01,0.01),得到的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖12所示,其中圖12(a)和圖12(b)是初值為(0.03,0,0.01,-0.01)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖,而圖12(c)和圖12(d)是初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖,圖12(e)是兩個(gè)不同初值的分岔圖.由圖12(a)-圖12(d)可以看到,在相同初值情況下Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖一致.但是,從圖12(a)和圖12(c)看到,不同初值的情況下,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜不完全一致,參數(shù)c∈[0.1601,0.1602]期間,初值為(0.03,0,0.01,-0.01)情況下LE1＞0,而初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)情況下LE1＜0.

同樣地,在不同初值的情況下,系統(tǒng)的分岔圖不一致,從圖12(b)和圖12(d)看到,初值為(0.03,0,0.01,-0.01)情況下的分岔圖有一次跳躍,而初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)情況下的分岔圖有兩次跳躍.從圖12(e)清楚地看到,存在共存分岔模式現(xiàn)象,隨著參數(shù)c的增加,從一個(gè)穩(wěn)定的周期軌道演變成上下兩條穩(wěn)定的周期軌道;經(jīng)一次倍周期后,兩者合在一起進(jìn)行二次倍周期、多次倍周期分岔道路進(jìn)入混沌軌道,共存分岔模式現(xiàn)象第一次消失;這之后,又分開為兩條獨(dú)立的混沌帶;然后,隨著混沌帶的擴(kuò)展,合并成一個(gè)大的混沌帶,共存分岔模式現(xiàn)象最終徹底消失,在這個(gè)大的混沌帶里存在著多個(gè)大小不一的多個(gè)周期窗.

3.2.5 吸引子的共存與重合

系統(tǒng)在取a=0.48,b=1,d=4,e=1,f=2.7,g=0.2,初值為(0.03,0,0.01,-0.01)和(-0.01,0.02,0.01,0.01)時(shí),讓c從0.145到0.166之間變化,會出現(xiàn)吸引子共存的現(xiàn)象.為了便于觀察,初值為(0.03,0,0.01,-0.01)和(-0.01,0.02,0.01,0.01)的吸引子分別用紅色和藍(lán)色表示.當(dāng)c在[0.1491,0.1592]區(qū)間內(nèi),出現(xiàn)了吸引子共存,吸引子為周期或擬周期的吸引子;在c=0.15時(shí),共存的擬周期吸引子如圖13(b)所示;在c=0.158時(shí),共存的周期吸引子如圖13(d)所示;并且,隨著c的變化,兩個(gè)吸引子的距離會發(fā)生變化.在c取值在[0.1608,0.1612]區(qū)間,出現(xiàn)了混沌吸引子共存,在c=0.1608時(shí),共存的混沌吸引子如圖13(e)所示.c為其他值時(shí),吸引子共存現(xiàn)象消失,當(dāng)c=0.146時(shí),一般的周期吸引子如圖13(a)所示;在c=0.16時(shí),一般的擬周期吸引子如圖13(d)所示;在c=0.164時(shí),一般的混沌吸引子如圖13(f)所示.當(dāng)c≥0.1662時(shí),系統(tǒng)發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象.若將吸引子共存視為兩個(gè)吸引子分開,吸引子共存消失視為兩個(gè)吸引子重合,實(shí)際上,此期間是兩個(gè)吸引子重合、分開、重合、分開、重合的過程.并且,吸引子的共存與重合與圖12的共存分岔相符合.

圖12 (網(wǎng)刊彩色)不同初值下的參數(shù)c的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖 (a)初值為(0.03,0,0.01,-0.01)的Lyapunov指數(shù)譜;(b)初值為(0.03,0,0.01,-0.01)的分岔圖;(c)初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)的Lyapunov指數(shù)譜;(d)初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)的分岔圖;(e)兩個(gè)不同初值的分岔圖Fig.12.(color online)Bifurcation diagram and Lyapunov spectrum with respect tocunder different initial conditions：(a)Lyapunov spectrum and(b)bifurcation diagram under the initial conditions of(0.03,0,0.01,-0.01);(c)Lyapunov spectrum and(d)bifurcation diagram under the initial conditions of(-0.01,0.02,0.01,0.01);(e)bifurcation diagram of two different initial conditions.

通過以上共存分岔和共存吸引子的分析,可得如下結(jié)論.

1)所謂共存分岔或共存吸引子,實(shí)際是一種共存振蕩,是指系統(tǒng)參數(shù)不變而僅初值變化時(shí)所引起的不同振蕩狀態(tài)變化的特性.即系統(tǒng)參數(shù)恒定時(shí),初值變化可使其轉(zhuǎn)換到不同的運(yùn)動狀態(tài),可從一混沌吸引子轉(zhuǎn)換到另一拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同的混沌吸引子,即多個(gè)混沌吸引子共存.類似可有周期吸引子共存、混沌-周期吸引子共存等.

2)共存振蕩反映了系統(tǒng)更高的初值敏感性.一般的混沌初值敏感性是指混沌運(yùn)動軌跡(或混沌振蕩信號)對不同的初值具有高度敏感性,即系統(tǒng)參數(shù)不變時(shí),不同的初值產(chǎn)生完全不同的混沌軌跡.此時(shí)盡管混沌軌跡不同,但大都存在于一個(gè)相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的混沌吸引子之中,或運(yùn)動軌跡隨初值在同一吸引子之中跳躍.而在共存振蕩中,不但運(yùn)動軌跡在同一結(jié)構(gòu)的混沌吸引子之中對初值敏感,對不同結(jié)構(gòu)的混沌吸引子,不同結(jié)構(gòu)的周期吸引子也極其敏感.即初值變化時(shí),其運(yùn)動軌跡不但在同一吸引子中跳躍,可從一個(gè)混沌吸引子跳躍到另一混沌吸引子,還可從周期吸引子跳躍到混沌吸引子,也可從一周期吸引子跳到另一周期吸引子.

3)共存振蕩現(xiàn)象可存在多種實(shí)際應(yīng)用.例如,根據(jù)共存混沌吸引子現(xiàn)象,可以把一個(gè)混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)為多個(gè)偽隨機(jī)信號源,每個(gè)信號源對應(yīng)于一個(gè)不同初值的混沌吸引子;再如,根據(jù)混沌-周期吸引子共存或周期-混沌吸引子共存現(xiàn)象進(jìn)行混沌控制與反控制,混沌控制可以消除系統(tǒng)的混沌振蕩,使其工作于非混沌狀態(tài),而混沌反控制可使系統(tǒng)由周期轉(zhuǎn)換為混沌.

圖13 (網(wǎng)刊彩色)共存吸引子與常規(guī)吸引子 (a)c=0.146;(b)c=0.1495;(c)c=0.158;(d)c=0.16;(e)c=0.1608;(f)c=0.164Fig.13.(color online)Coexisting attractor or conventional attractor of the system when(a)c=0.146;(b)c=0.1495;(c)c=0.158;(d)c=0.16;(e)c=0.1608;(f)c=0.164.

4 電路設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

混沌系統(tǒng)可由電路來物理實(shí)現(xiàn),電路實(shí)現(xiàn)時(shí)需要考慮時(shí)間常數(shù)的選擇.時(shí)間常數(shù)會影響混沌信號在時(shí)域變化的快慢以及混沌信號頻譜的分布范圍,常被稱為時(shí)間尺度變化因子,為了便于觀察,選擇合適的時(shí)間尺度變換因子尤為重要.因此,對(6)式引入時(shí)間尺度變換因子K,若取a=1.55,b=1,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5,則(6)式改寫為：

若用等效電路替代圖4中的憶感器,將時(shí)間尺度變換因子取為K=10000,所有電容取為10 nF,根據(jù)(10)式便可建立如圖14所示的憶感器文氏電橋混沌系統(tǒng)的電路,電路中的乘法器A1和A2由集成電路AD633來實(shí)現(xiàn),其他元件的取值如圖14所示.電路的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖15所示,其結(jié)果與圖6中數(shù)值仿真的結(jié)果基本一致,證實(shí)了理論分析的正確性.

圖14 憶感器文氏電橋混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的電路原理圖Fig.14.The circuit schematic of realizing the meminductive Wein-bridge chaotic system.

圖15 實(shí)驗(yàn)中由示波器測量得到的混沌吸引子 (a)x-y平面相圖;(b)y-z平面相圖;(c)z-u平面相圖;(d)u-x平面相圖Fig.15.Experiment results of chaotic oscillator：(a)xyphase diagram;(b)y-zphase diagram;(c)z-uphase diagram;(d)u-xphase diagram.

5 結(jié) 論

本文針對目前憶感器內(nèi)部狀態(tài)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是磁通量的情況,拓展其物理概念,提出了一種新的憶感器數(shù)學(xué)模型,建立了等效電路,檢測了電路的電壓、電流、磁通量、狀態(tài)變量的關(guān)系,分析其φ-i特性,發(fā)現(xiàn)與常見的憶感器模型一樣,呈現(xiàn)緊致的滯回曲線.在此憶感器模型基礎(chǔ)上,構(gòu)造了憶感器文氏電橋混沌系統(tǒng),并分析其非線性特性,分析發(fā)現(xiàn)此系統(tǒng)與其他混沌系統(tǒng)相比,不僅具有體現(xiàn)很好魯棒性的恒Lyapunov指數(shù)譜、全局非線性調(diào)幅,還有極強(qiáng)初值敏感性的共存分岔模式和吸引子共存等復(fù)雜的非線性現(xiàn)象,這是少見的現(xiàn)象.文獻(xiàn)[26,31]中混沌系統(tǒng)雖然出現(xiàn)了共存分岔模式和吸引子共存,但沒出現(xiàn)恒Lyapunov指數(shù)譜、全局非線性調(diào)幅;文獻(xiàn)[32,33]中混沌系統(tǒng)雖然出現(xiàn)了恒Lyapunov指數(shù)譜、全局非線性調(diào)幅,但沒出現(xiàn)共存分岔模式和吸引子共存現(xiàn)象.電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了混沌現(xiàn)象的存在,證實(shí)了理論分析的正確性.由于此文氏電橋憶感器混沌系統(tǒng)不含電感元件,便于集成,并且兼具恒Lyapunov指數(shù)、全局非線性調(diào)幅、共存分岔模式和吸引子共存等現(xiàn)象,因此該系統(tǒng)具有良好的潛在應(yīng)用價(jià)值,可作為多碼源偽隨數(shù)發(fā)生器,同時(shí)產(chǎn)生多路強(qiáng)魯棒性的偽隨機(jī)序列而應(yīng)用于混沌密碼和保密通信之中.

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PACS:05.45.-a,05.45.Jn,05.45.Pq DOI:10.7498/aps.66.020502

Meminductive Wein-bridge chaotic oscillator?

Xu Bi-Rong1)2)Wang Guang-Yi1)?

1)(Institute of Modern Circuits and Intelligent Information,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310018,China)
2)(School of Mechanical and Electrical Engineering,Wuyi University,Wuyishan 354300,China)

29 July 2016;revised manuscript

5 November 2016)

A meminductor is a new type of memory device.It is of importance to study meminductor model and its application in nonlinear circuit prospectively.For this purpose,we present a novel mathematical model of meminductor,which considers the effects of internal state variable and therefore will be more consistent with future actual meminductor device.By using several operational amplifiers,multipliers,capacitors and resistors,the equivalent circuit of the model is designed for exploring its characteristics.This equivalent circuit can be employed to design meminductor-based application circuits as a meminductor emulator.By employing simulation experiment,we investigate the characteristics of this meminductor driven by sinusoidal excitation.The characteristic curves of current-flux(i-φ),voltage-flux(v-φ),v-ρ(internal variable of meminductor)andφ-ρfor the meminductor model are given by theoretical analyses and simulations.The curve of current-flux(i-φ)is a pinched hysteretic loop passing through the origin.The area bounding each sub-loop deforms as the frequency varies,and with the increase of frequency,the shape of the pinched hysteretic loop tends to be a straight line,indicating a dependence on frequency for the meminductor.Based on the meminductor model,a meminductive Wien-bridge chaotic oscillator is designed and analyzed.Some dynamical properties,including equilibrium points and the stability,bifurcation and Lyapunov exponent of the oscillator,are investigated in detail by theoretical analyses and simulations.By utilizing Lyapunov spectrum,bifurcation diagram and dynamical map,it is found that the system has periodic,quasi-periodic and chaotic states.Furthermore,there exist some complicated nonlinear phenomena for the system,such as constant Lyapunov exponent spectrum and nonlinear amplitude modulation of chaotic signals.Moreover,we also find the nonlinear phenomena of coexisting bifurcation and coexisting attractors,including coexistence of two different chaotic attractors and coexistence of two different periodic attractors.The phenomenon shows that the state of this oscilator is highly sensitive to its initial valuse,not only for chaotic state but also for periodic state,which is called coexistent oscillation in this paper.The basic mechanism and potential applications of the existing attractors are illustrated,which can be used to generate robust pseudo random sequence,or multiplexed pseudo random sequence.Finally,by using the equivalent circuit of the proposed meminducive model,we realize an analog electronic circuit of the meminductive Wien-bridge chaotic system.The results of circuit experiment are displayed by the oscilloscope,which can verify the chaotic characteristics of the oscillator.The oscillator,as a pseudo random signal source,can be used to generate chaotic signals for the applications in chaotic cryptography and secret communications.

meminductor,Wien bridge,chaos,coexisting attractor

:05.45.-a,05.45.Jn,05.45.Pq

10.7498/aps.66.020502

?國家自然科學(xué)基金 (批準(zhǔn)號：61271064,60971046,61401134)、浙江省自然科學(xué)基金 (批準(zhǔn)號：LZ12F01001,LQ14F010008)、福建省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號：2016J01761)和浙江省重點(diǎn)科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(批準(zhǔn)號：2010R50010)資助的課題.

?通信作者.E-mail：wanggyi@163.com

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.61271064,60971046,61401134),the Natural Science Foundations of Zhejiang Province,China(Grant Nos.LZ12F01001,LQ14F010008),the Natural Science Foundations of Fujian Province,China(Grant No.2016J01761),and the Program for Zhejiang Leading Team of S&T Innovation,China(Grant No.2010R50010).

?Corresponding author.E-mail：wanggyi@163.com