胡玉祿胡權(quán) 朱小芳 李斌 邱海艦 高鸞鳳

(電子科技大學(xué),微波電真空器件國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610054)

螺旋線行波管三維返波互作用理論與數(shù)值模擬?

胡玉祿?胡權(quán) 朱小芳 李斌 邱海艦 高鸞鳳

(電子科技大學(xué),微波電真空器件國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610054)

(2016年5月31日收到;2016年9月12日收到修改稿)

建立了三維非線性返波互作用模型,用于精確分析大功率螺旋線行波管中返波振蕩非線性過程問題,并提出了計(jì)算返波振蕩功率的方法及磁場抑制手段.該理論模型包括三維線路場方程、三維運(yùn)動(dòng)方程以及三維空間電荷場.首先比較三維模型與原有一維模型之間的差異,發(fā)現(xiàn)一維空間電荷場的徑向交流電流分布模型與三維模型的差異是導(dǎo)致振蕩頻率偏大及起振長度縮短的主要原因.然后計(jì)算返波飽和輸出功率大小并揭示返波飽和功率和振蕩頻率與互作用長度的關(guān)系,并探討了磁場對返波振蕩的抑制影響.最后以某一毫米波行波管為例,實(shí)驗(yàn)對比了一維與三維模型計(jì)算的振蕩頻率與熱測的差異,其中三維模型的相對誤差小于4.8%.

返波振蕩,飽和振蕩功率,磁場抑制振蕩,螺旋線行波管

1 引 言

螺旋線行波管是工作在微波毫米波頻段的寬頻帶、高增益功率放大器[1],在雷達(dá)、通信和電子對抗等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.然而大功率螺旋線行波管往往面臨寄生振蕩的問題.寄生振蕩會(huì)破壞行波管的工作穩(wěn)定性并限制其功率的提升,其中返波振蕩尤為明顯.產(chǎn)生返波振蕩的原因是群速與電子注方向相反的電磁波(即反向電磁波),其-1次空間諧波與電子注同步并相互作用,使得電磁波能量沿著與電子注相反的方向反饋放大.在一定電流及互作用長度條件下,導(dǎo)通電子注的行波管在未加信號時(shí)就能形成點(diǎn)頻的自激振蕩使行波管不穩(wěn)定.這種振蕩限制了電流和互作用長度的增大,從而限制了輸出功率的提升[2].

為研究行波管內(nèi)電子與波的相互作用,需要建立注波互作用理論,包括線性與非線性理論[1,3-5].而返波電磁波與電子相互作用現(xiàn)象的研究必須建立返波互作用理論.對于返波的不穩(wěn)定研究最早由Heffner[6]于1954年開始.1955年Johnson[7]利用小信號理論全面分析了返波振蕩現(xiàn)象,計(jì)算得到了不同空間電荷參量下的不同步參量與歸一化起振長度的關(guān)系,進(jìn)而得到振蕩頻率與起振長度,同時(shí)也可以得到起振電流,從而奠定了小信號線性理論研究返波振蕩的基礎(chǔ).2001年起B(yǎng)elyavskiy等[8,9]分析了圓形螺旋線行波管及脈沖行波管中周期永磁場(period permanent magnet,PPM)磁場周期對起振長度以及振蕩頻率的影響.最近幾年,一些學(xué)者在非線性理論的基礎(chǔ)上對返波振蕩進(jìn)行了研究[10-12],相對于小信號理論,非線性理論研究可以更為準(zhǔn)確地計(jì)算分析行波管的起振電流和起振長度,還可以研究大信號輸入下的功率跌落等問題.文獻(xiàn)[13]在一維場論注波互作用理論的基礎(chǔ)上,引入磁場對角向速度的影響,建立二維非線性返波注波互作用理論,并與實(shí)際測試管進(jìn)行比較,實(shí)驗(yàn)測試的工作電壓隨頻率的變化趨勢與理論值基本一致,且理論值具有一定的計(jì)算精度[14].但是該模型建立在一維理論基礎(chǔ)上,無法分析磁場對徑向電子注波動(dòng)的影響,且一維空間電荷場模型過于理想,與實(shí)際情況有所偏差.本文采用三維返波場分布、三維運(yùn)動(dòng)方程及三維空間電荷場方程共同構(gòu)建了三維返波互作用模型,利用該模型可以研究大信號狀態(tài)下的返波振蕩非線性過程.同時(shí)還對比分析了一維、三維空間電荷場模型的差異及其原因,揭示了返波飽和振蕩功率與起振長度、振蕩頻率的關(guān)系,討論了磁場對返波振蕩抑制的影響,最后進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值的對比.

2 理論模型

2.1 場方程

根據(jù)電磁波在周期性慢波結(jié)構(gòu)中的Floquet定理,線路場可以表示為各諧波的展開形式.由于行波管注波互作用場變化緩慢,可以將射頻電場Erf和磁場Hrf分別寫成緩變復(fù)振幅fn,m(z)、空間諧波橫向分布函數(shù)φn,m(r),?n,m(r)和指數(shù)相位因子乘積的線性疊加：

式中n表示時(shí)間諧波次數(shù),m表示空間諧波次數(shù),βzn是第n次諧波的零次空間諧波縱向傳播常數(shù),βH=2π/p,p表示螺距,c.c.是場的共軛.由于行波管內(nèi)磁場相對于電場強(qiáng)度較弱,所以只對電場進(jìn)行推導(dǎo)建立電場激勵(lì)方程.為簡單起見,只考慮基波頻率下-1次空間諧波問題,所以電場公式可以化簡為

需要注意的是返波振蕩分析反向波-1次空間諧波與電子注的同步問題,所以反向波波數(shù)β-1為

式中Φ0為零次空間諧波的相移,v0為電子注初速度.

同時(shí)空間諧波橫向分布函數(shù)φm(r)的三個(gè)方向分量可以表示為

根據(jù)耦合阻抗定義

定義歸一化耦合阻抗為

歸一化場幅值分量為F-1,使得P=|F-1(z)|2,則有

將場方程代入有源Maxwell方程并利用Poynting定理,最后得到返波的場激勵(lì)方程為

式中ψ表示電子相位,〈·〉為電子平均算子符號,k表示電子索引號,I表示電子注電流,α為衰減系數(shù),Λz為場與電子的累積相位差,

2.2 相位方程

電子的相位為ψ=ω(z/v0-t),求導(dǎo)可得

式中vz,k表示第k個(gè)電子在z軸的縱向速度.

2.3 運(yùn)動(dòng)方程

由洛倫茲力方程和能量守恒定律可以得到：

式中電子動(dòng)量p=m0γυ,γ為相對論因子.將線路場表達(dá)式代入可以得到各個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)方程為

目前線路場只考慮了反向波的-1次空間諧波對電子注的作用.盡管由于邊界條件的制約,反向波的零次空間諧波分量也與-1次空間諧波的場相當(dāng),但是反向波零次空間諧波的相速完全與電子注相反,能調(diào)制電子注但并未發(fā)生能量交換,調(diào)制的電子部分可視為不相干的空間電荷波,盡管這種調(diào)制引起的電子疏密變化有可能導(dǎo)致空間電荷場的變化,但考慮到這部分場沒有直接參與注波互作用過程,為了簡單起見,忽略反向波零次空間諧波的影響.

同時(shí)模型并未考慮前向波互作用的影響,因?yàn)楸疚目紤]的是沒有輸入信號下的靜態(tài)振蕩,除非互作用電路不連續(xù)導(dǎo)致兩者耦合,否則前向波與反向波是完全獨(dú)立的,本文模型也暫不考慮電路不連續(xù)的影響.

2.4 三維交流空間電荷場

交流空間電荷場借鑒前向波的三維空間電荷場模型[3],是對螺旋線為半徑的圓波導(dǎo)內(nèi)的有源Helmholz方程進(jìn)行求解：

式中βe=ω/v0為電子波數(shù),Esc和Bsc分別表示電場和磁場的交流空間電荷場,J和ρ分別表示電流和電荷密度.由于電子注受到-1次空間諧波的調(diào)制,其分布形態(tài)接近-1次空間諧波形式,因此將電流密度J表達(dá)式展開為各次諧波形式：

這里電流縱向分布采用n次諧波擬合,而角向運(yùn)動(dòng)受射頻場角向調(diào)制,只采用一次變化.同時(shí)宏電子構(gòu)建的電流分布可以用有限大小的粒子表示：

式中dk為有限大小粒子的面積,Sk(x⊥)為粒子k所在區(qū)域的分布函數(shù).在分布區(qū)域內(nèi)Sk(x⊥)函數(shù)值為1,否則為0.

將空間電荷場按照電流諧波形式展開：

代入(16)式和(17)式中,最終諧波展開的縱向空間電荷場分量為

2.5 計(jì)算方法

返波互作用過程是反向波的-1次空間諧波與電子相互作用的過程,電子注行進(jìn)方向與電磁波群速相反,即vg=?ω/?β-1＜0(假設(shè)電子注方向?yàn)檎?,因此與電子注互作用過程中電磁波被激勵(lì)的同時(shí)能量回傳,反過來調(diào)制電子注之前狀態(tài),這是一個(gè)分布式反饋迭代的過程,最終在互作用區(qū)域開始位置(電子注入口端)返波功率最大(圖1,Ai為反饋分量).

圖1 返波振蕩示意圖Fig.1.Sketch of backward wave oscillation.

如果以離散的方式分析這一過程,計(jì)算非常復(fù)雜且計(jì)算時(shí)間長,造成這一問題的原因是電磁波傳播方向與電子注運(yùn)動(dòng)方向相反.為簡化返波振蕩的迭代計(jì)算過程,通常采用同向試探的方法.即假設(shè)在穩(wěn)定狀態(tài)下返波功率已經(jīng)收斂,則沿電子注方向看返波與電子注相互作用,但功率逐漸降低,直到輸出口功率降低到噪聲水平.因此可以預(yù)設(shè)一返波輸出功率與電子注同向計(jì)算并進(jìn)行試探,直到出口功率滿足條件為止.

對于上述模型,計(jì)算一次注波互作用過程需要聯(lián)立(8)式、(10)式及(13)式-(15)式,并利用龍格庫塔法數(shù)值積分求解這些微分方程組,從互作用入口到出口每一步微分方程的求解都需要利用(22)式和(23)式求一次空間電荷場.上述計(jì)算是在一定的工作頻率下進(jìn)行的,由于返波振蕩頻點(diǎn)非常窄,除非是在振蕩頻率附近,否則返波增益非常小,因此通過頻率掃描尋找最大返波增益的方式,可以快速確定振蕩頻率范圍,然后再調(diào)整飽和功率和微調(diào)振蕩頻率,使得最終結(jié)果既滿足最大返波增益要求又滿足飽和功率要求.

需要注意的是,這里的返波振蕩計(jì)算是在返波穩(wěn)定收斂的情況下進(jìn)行的,如果振蕩非常劇烈,出現(xiàn)分岔和混沌,上述方法將不再適用.

3 數(shù)值分析

3.1 一維模型與三維模型對比

圖2 (網(wǎng)刊彩色)有無空間電荷場條件下一維模型與三維模型的最小增益頻率掃描圖Fig.2.(color online)Backward wave gain versus frequency with or without space charge field in 1D and 3D models.

以某Ka波段行波管為例,數(shù)值分析了該行波管下的返波振蕩情況.圖2和圖3所示為一維模型與三維模型在有無空間電荷場條件下的最小增益掃描頻率圖以及在振蕩頻率點(diǎn)下的增益分布圖.圖中藍(lán)色線為一維模型計(jì)算結(jié)果,紅色線為三維模型計(jì)算結(jié)果,預(yù)設(shè)返波輸出功率為1 W.可以看到,忽略空間電荷場作用時(shí),一維模型與三維模型較為接近,頻率相差0.05 GHz(一維模型振蕩頻率為43.11 GHz,三維模型為43.04 GHz),起振長度相差1.2 mm(一維模型起振長度為28.6 mm,三維模型為29.8 mm).一維模型與三維模型的空間電荷場分布差異影響了振蕩頻率以及起振長度.采用文獻(xiàn)[13]中的一維空間電荷場分布時(shí),振蕩頻率與無空間電荷場的一維模型振蕩頻率差別不大,為43.12 GHz,起振長度由4.8 mm延長為33.4 mm.而包含空間電荷場的三維模型計(jì)算的振蕩頻率為42.88 GHz,起振長度為43.4 mm,其軌跡波動(dòng)曲線如圖4所示.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)有無空間電荷場條件下一維模型與三維模型中返波增益隨軸分布圖Fig.3.(color online)Backward wave gain versus axis distance with or without space charge field in 1D and 3D models.

圖4 三維模型下電子軌跡曲線(輸出功率1 W,頻率42.88 GHz)Fig.4.The trajectory curves of electrons in 3D model(output power is 1 W at 42.88 GHz).

需要注意的是由于互作用沿電子注方向計(jì)算,所以增益為負(fù),最小增益的絕對值即為最大返波增益.

比較可知,顯然一維模型與三維模型結(jié)果差異較大,其原因是文獻(xiàn)[13]中計(jì)算一維空間電荷場所用的交流電流分布jz,n采用半徑的一次變化(正比例變化)：

圖5 (網(wǎng)刊彩色)一維模型與三維模型在不同位置的徑向電流分布圖Fig.5.(color online)The current distribution in the radial direction in 1D and 3D models.

3.2 返波飽和功率計(jì)算

通過電子注徑向分析判斷,三維空間電荷場更為合理.利用三維模型計(jì)算得到管內(nèi)不同返波飽和功率下的返波增益隨軸分布以及對應(yīng)的振蕩頻率變化情況(圖6-圖9).顯然振蕩功率的變化與互作用長度直接相關(guān),互作用長度的延長增加了返波飽和功率(圖8),同時(shí)振蕩頻率也略有下降(圖9,圖中頻率變化范圍較小).然而返波飽和功率不可能無限制增加,隨著互作用長度延長,飽和功率增加,對電子軌跡的調(diào)制影響迅速加強(qiáng),當(dāng)功率增加至一定程度,大量軌跡被截獲.同時(shí)飽和功率太大無法使出口功率下降至噪聲水平.另外,隨著功率的增加,調(diào)制電子注在互作用初期平均速度逐漸降低(互作用初期電子吸收能量),因而需要更低相速的返波與之同步,根據(jù)返波色散的相位-頻率圖,頻率隨相速降低而降低,這也說明了振蕩頻率下降的原因.

3.3 磁場分布抑制振蕩

磁場能影響電子軌跡徑向波動(dòng)以及角速度,以此來影響返波振蕩.文獻(xiàn)[13]在考慮一維模型的基礎(chǔ)上增加磁場對角速度的作用,但磁場引起的軌跡徑向波動(dòng)對返波振蕩抑制更明顯(圖10),當(dāng)周期磁場峰值大于布里淵磁場的倍(實(shí)際采用2倍布里淵磁場)時(shí),電子軌跡明顯被壓制而向下波動(dòng),電磁場互作用有效面積減小,同時(shí)徑向半徑小的-1次空間諧波耦合阻抗也迅速減小,導(dǎo)致返波相互作用的抑制效果更明顯,從而進(jìn)一步延長了起振長度,抑制了返波振蕩(圖11).

圖6 (網(wǎng)刊彩色)不同飽和功率下的返波增益隨軸分布曲線Fig.6.(color online)The backward wave gain curves under different saturation powers.

圖7 返波互作用長度與飽和功率關(guān)系圖Fig.7.The saturation power versus interaction length of backward wave.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)不同飽和功率下返波增益隨頻率分布曲線Fig.8.(color online)The backward wave gain curves under different saturation powers and frequencies.

圖9 返波互作用長度與振蕩頻率的關(guān)系Fig.9.The oscillation frequency of backward wave versus interaction length.

圖10 存在強(qiáng)磁場時(shí)三維模型的電子軌跡曲線(輸出功率1 W,頻率42.88 GHz)Fig.10.The ripple curves of the trajectories of electrons in 3D model with a strong magnetic field(output power is 1 W at 42.88 GHz).

圖11 不同磁場強(qiáng)度下三維模型返波增益隨軸分布圖Fig.11.The backward wave gain curves in different magnetic fields in 3D model.

3.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以某一毫米波行波管為例,對比了實(shí)驗(yàn)測試的振蕩頻率與一維和三維模型計(jì)算結(jié)果(圖12和圖13),發(fā)現(xiàn)振蕩頻率隨電壓的變化趨勢一致,且呈現(xiàn)頻率上升趨勢,一維模型計(jì)算的振蕩頻率相對誤差在6.7%以內(nèi),三維模型的相對誤差在4.8%以內(nèi),因而三維模型結(jié)果更接近實(shí)際值.頻率隨電壓上升的原因是電子注能量增加,需要更高相速的返波頻率與之匹配.

圖12 一維模型和三維模型振蕩頻率計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比Fig.12.The oscillation frequency comparison among computation results of 1D and 3D models and experiment results.

圖13 一維模型和三維模型振蕩頻率計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差對比Fig.13. The relative error of oscillation frequency computation results of 1D and 3D models compared with experimental results.

4 結(jié) 論

本文建立了三維非線性返波激勵(lì)模型,可以精確分析三維軌跡波動(dòng)狀態(tài)下的大功率螺旋線行波管返波振蕩問題,同時(shí)提出了返波飽和功率的迭代計(jì)算方法.首先對比了一維模型與三維模型結(jié)果,發(fā)現(xiàn)一維電流解析的徑向分布模型與三維軌跡的實(shí)際分布差異較大,使得空間電荷場模型不一致,從而影響結(jié)果.然后討論了返波飽和功率的影響因素,發(fā)現(xiàn)在一定范圍內(nèi)互作用長度的延長增加了返波飽和功率激勵(lì),且振蕩頻率略有降低,分析了磁場對返波振蕩的抑制作用,最后通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比可得,一維模型振蕩頻率與實(shí)測結(jié)果相比相對誤差最大為6.7%,而三維模型的相對誤差在4.8%以內(nèi).三維計(jì)算模型比一維模型更接近實(shí)際情況.

感謝中國電子科技集團(tuán)第12研究所陳波老師提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

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PACS:84.40.Fe,07.85.Qe DOI:10.7498/aps.66.028401

Study of three-dimensional nonlinear backward-wave interaction model and numerical simulation for helical traveling wave tube?

Hu Yu-Lu?Hu Quan Zhu Xiao-Fang Li Bin Qiu Hai-Jian Gao Luan-Feng

(National Key Laboratory of Science and Technology on Vacuum Electronics,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 610054,China)

31 May 2016;revised manuscript

12 September 2016)

The wide band high power traveling wave tubes(TWTs)employed in radar,communication systems,etc.are always facing the backward wave oscillation(BWO)problem.However,it takes much time and computer resource to simulate BWO by the large electromagnetic software.Thus,several parametric models are developed to solve the problem faster.Most of those models do not discuss the saturated oscillation power.In this paper,a three-dimensional(3D)nonlinear backward-wave interaction model is presented,by which the BWO phenomenon can be accurately studied in TWTs and the oscillation power is also analyzed.This model is established with the equation of 3D excitation fields combined with 3D motion equations and 3D space charge force.The oscillation frequencies and the start-oscillation lengths are calculated by one-dimensional(1D)and 3D models,respectively,and they are carefully compared in the cases of with and without the space charge force,indicating that the space charge force in 1D model is much weaker than in 3D model.The reason for that is the model of current density for space charge model in 1D model is supposed to be proportional to particle radius,but the one in 3D model is almost uniform,which is indicated by 3D beam trace distribution analysis.The BWO saturated powers and the oscillation frequencies are studied by this nonlinear 3D backward-wave interaction model.The simulation results show that the BWO saturated power increases as the beam-wave interaction length extends before many trajectories intercept the helix.While the oscillation frequencies decrease,the large saturated power supplies more energy to the beam at the very beginning in beam-wave interaction starting region.Then the BWO suppression induced by the magnetic field effect of the beam ripple is also under consideration.As the magnetic force increases,not only some cross area of interaction beam is suppressed,but also the interaction impedance of-1 space harmonic decreases.So increasing magnetic field strength can obviously reduce BWO,while the effect on forward wave interaction should be balanced.Finally,a Ka-band tube is used to validate the 1D and 3D nonlinear backward-wave interaction models.The BWO frequencies at different voltages are compared among the experimental results and the calculations by 1D and 3D models.The results from the 3D model in the test voltage range are 4.8%lower than the experimental data,while the difference from the results of the 1D model is 6.7%.The 3D model seems to be more accurate than the 1D model.

backward wave oscillation,saturated oscillation power,oscillation induced by magnetic field,helical traveling wave tubes

:84.40.Fe,07.85.Qe

10.7498/aps.66.028401

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號：61201003,61301054)資助的課題.

?通信作者.E-mail：yuluhu@uestc.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.61201003,61301054).

?Corresponding author.E-mail：yuluhu@uestc.edu.cn