張正娣 劉楊 張?zhí)K珍 畢勤勝

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

余維-1非光滑分岔下的簇發(fā)振蕩及其機(jī)理?

張正娣 劉楊 張?zhí)K珍 畢勤勝?

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

(2016年8月15日收到;2016年11月2日收到修改稿)

不同尺度耦合會(huì)導(dǎo)致一些特殊的振蕩行為,通常表現(xiàn)為大幅振蕩與微幅振蕩的組合,也即所謂的簇發(fā)振蕩.迄今為止,相關(guān)工作大都是圍繞光滑系統(tǒng)開(kāi)展的,而非光滑系統(tǒng)中由于存在著各種形式的非常規(guī)分岔,從而可能會(huì)導(dǎo)致更為復(fù)雜的簇發(fā)振蕩模式.本文旨在揭示存在非光滑分岔時(shí)動(dòng)力系統(tǒng)的不同尺度耦合效應(yīng).以典型的含兩個(gè)非光滑分界面的廣義蔡氏電路為例,通過(guò)引入周期變化的電流源以及一個(gè)用于控制的電容,選取適當(dāng)?shù)膮?shù)使得周期頻率與系統(tǒng)頻率之間存在量級(jí)差距,建立了含不同尺度的四維分段線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)模型.基于快子系統(tǒng)在不同區(qū)域中的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析,以及系統(tǒng)軌跡穿越非光滑分界面時(shí)的分岔分析,得到了不同余維非光滑分岔的存在條件及其分岔行為.重點(diǎn)探討了余維-1非光滑分岔下的簇發(fā)振蕩的吸引子結(jié)構(gòu)及其產(chǎn)生機(jī)理,揭示了非光滑分岔下系統(tǒng)復(fù)雜振蕩行為的本質(zhì).

非光滑電路系統(tǒng),不同尺度,簇發(fā)振蕩,非常規(guī)分岔

1 引 言

在實(shí)際工程系統(tǒng)中往往存在大量非光滑因素,如碰撞[1]、干摩擦[2]、開(kāi)關(guān)[3]、脈沖控制[4]等.根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型中的非光滑度的不同,非光滑系統(tǒng)大致可以分為以下三類(lèi)：1)非光滑連續(xù)系統(tǒng),系統(tǒng)的向量場(chǎng)連續(xù),而其Jacobi矩陣不連續(xù),如蔡氏電路系統(tǒng)[5];2)Filippov系統(tǒng),系統(tǒng)的向量場(chǎng)和其Jacobi矩陣均不連續(xù),但其狀態(tài)空間連續(xù),如干摩擦系統(tǒng)[6];3)非光滑脈沖系統(tǒng),系統(tǒng)的向量場(chǎng)、Jacobi矩陣及其狀態(tài)空間均不連續(xù),如碰撞系統(tǒng)[7].

與光滑系統(tǒng)相比,非光滑動(dòng)力系統(tǒng)存在許多特殊的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,如豐富的運(yùn)動(dòng)形式、分岔行為及通向混沌路徑的多樣性[8].同時(shí),由于系統(tǒng)的非光滑性,傳統(tǒng)的分析分岔及復(fù)雜性的方法對(duì)非光滑系統(tǒng)不再適用,需要探索一些新的方法和手段[9],因此,非光滑系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的理論分析、數(shù)值計(jì)算和應(yīng)用研究具有一定的挑戰(zhàn)性.

針對(duì)非光滑動(dòng)力系統(tǒng),國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者開(kāi)展了一系列研究.例如,Shaw和Holmes[10]對(duì)低維情形下的沖擊振子和分段線(xiàn)性振子系統(tǒng)展開(kāi)了一系列研究,發(fā)現(xiàn)該類(lèi)系統(tǒng)存在著次諧響應(yīng)、倍周期分岔等非線(xiàn)性特征;Nordmark等[11]通過(guò)建立Poincaré-Nordmark映射,分析了沖擊振子發(fā)生碰撞時(shí)的運(yùn)動(dòng)形式,發(fā)現(xiàn)其中存在著一種被稱(chēng)作擦邊碰撞的現(xiàn)象,且在周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的振子,通過(guò)擦邊分岔可以直接進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng);Hu[12]針對(duì)分段光滑的系統(tǒng),分析了向量場(chǎng)的非光滑性對(duì)Poincaré映射可微性的影響;Xu[13]探究了該類(lèi)系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的產(chǎn)生機(jī)理;陸啟韶和金俐[14]研究分析了在剛性約束下的n維非線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,建立了這一類(lèi)型的系統(tǒng)在剛性約束附近具有的局部映射關(guān)系,給出了該系統(tǒng)局部映射Jacobi矩陣的計(jì)算方法;姜海波等[15]對(duì)脈沖作用下Chen系統(tǒng)進(jìn)行了非光滑分岔分析,運(yùn)用了Floquet理論揭示了系統(tǒng)周期解的分岔機(jī)理.

由于缺乏有效的分析手段,相關(guān)研究大都是圍繞著平衡點(diǎn)或周期軌道展開(kāi)的[16],并通過(guò)不同的數(shù)值方法建立其相應(yīng)的分岔圖,例如強(qiáng)制法,僅能給出穩(wěn)定的周期軌道,又如軌道跟蹤法,雖然能夠給出相關(guān)的不穩(wěn)定軌道,但僅能展現(xiàn)常規(guī)分岔模式.為解釋非光滑分岔機(jī)理,以Leine為代表的學(xué)者引入微分包含理論來(lái)分析系統(tǒng)在非光滑分界面上的分岔特性[17],通過(guò)分析廣義Jacobi矩陣的特征值隨輔助參數(shù)的退化情況,揭示各種非光滑分岔的動(dòng)力特性及其相應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理.

迄今為止,相關(guān)工作大都是針對(duì)同一尺度下的非光滑系統(tǒng)的分岔展開(kāi)的,基本上沒(méi)有涉及不同尺度耦合下的非光滑動(dòng)力系統(tǒng)的研究,而事實(shí)上,不同尺度耦合系統(tǒng),涉及到科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域.例如,飛行器中存在著快速的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與相對(duì)較慢的平動(dòng)之間的耦合[18],繩系衛(wèi)星中系繩的縱橫向振動(dòng)與衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)之間的耦合[19],催化反應(yīng)中存在著不同量級(jí)的反應(yīng)速率[20],而幾乎所有的神經(jīng)元模型幾乎都包含不同尺度之間的耦合[21].

不同尺度耦合系統(tǒng)的研究最早可以追溯到Poincaré研究行星軌道時(shí)提出的奇異攝動(dòng)方程，但是直到諾貝爾獎(jiǎng)獲得者Hodgkin和Huxley[22]建立了快慢兩尺度神經(jīng)元放電模型(H-H模型),成功地再現(xiàn)了其中的簇發(fā)放電行為,不同尺度耦合系統(tǒng)的復(fù)雜性才引起了學(xué)術(shù)界的高度重視.由于傳統(tǒng)的非線(xiàn)性理論無(wú)法解決不同尺度之間的相互作用,早期相關(guān)工作大都局限在近似求解、數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)分析.直到2000年,Izhikevich[23]引入了Rinzel的快慢分析法才將相關(guān)研究上升到機(jī)理分析的層次.雖然近年來(lái)在不同尺度耦合領(lǐng)域取得了一定的進(jìn)展,但絕大部分結(jié)果均是針對(duì)光滑系統(tǒng)取得的,而非光滑系統(tǒng)由于存在著非光滑分岔,不僅會(huì)導(dǎo)致一些特殊的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象,也會(huì)使得相應(yīng)的簇發(fā)振蕩結(jié)果更加復(fù)雜.同時(shí),針對(duì)時(shí)域上不同尺度耦合的工作開(kāi)展較多,而頻域上不同尺度耦合由于不存在明顯的快慢子系統(tǒng),相關(guān)工作開(kāi)展較少.

自Chua和Lin[24]構(gòu)建了存在混沌現(xiàn)象的蔡氏電路以來(lái),其動(dòng)力特性引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注并開(kāi)展了大量的研究[25,26].以原始的具有分段線(xiàn)性特性的蔡氏電路為基礎(chǔ),通過(guò)引起其他元器件或改變其中非線(xiàn)性阻尼的伏安特性,得到了各種形式的蔡氏電路,給出了許多典型的非線(xiàn)性現(xiàn)象,如倍周期分岔的混沌道路、多渦卷混沌吸引子等等[27,28].但是,相關(guān)工作均是在同一尺度上開(kāi)展的,同時(shí),很少考慮其中的非光滑分岔特性.本文旨在揭示存在非光滑分岔時(shí)系統(tǒng)頻域上的不同尺度效應(yīng).以典型的含兩個(gè)非光滑分界面的廣義蔡氏電路為例,通過(guò)引入周期變化的電流源以及用于控制的電容,適當(dāng)選擇參數(shù),使得激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率,建立了含頻域兩尺度耦合的四維分段線(xiàn)性非光滑動(dòng)力系統(tǒng).討論了非光滑分界面上的非常規(guī)分岔?xiàng)l件,分析了余維-1非光滑分岔下的簇發(fā)振蕩及其產(chǎn)生機(jī)理.

2 數(shù)學(xué)模型

具有分段線(xiàn)性特性的蔡氏電路不僅在實(shí)驗(yàn)室容易搭建,而且存在著諸如概周期振蕩、混沌振蕩等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為,因此常被作為基礎(chǔ)模型來(lái)研究各種非線(xiàn)性現(xiàn)象.本文在典型的非光滑廣義蔡氏電路的基礎(chǔ)上,引入控制電容C1和周期變化的電流源iG,如圖1所示,其中包含兩個(gè)電感L1和L2,兩個(gè)電容C1和C2以及一個(gè)分段線(xiàn)性的非線(xiàn)性電阻RG,同時(shí)并聯(lián)一個(gè)周期變化的電流源iG,其相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型可以表示為

圖1 電路原理圖Fig.1.Circuit schematic diagram.

3 快子系統(tǒng)分岔分析

取定參數(shù)Ω=0.01,α=0.001,而其他參數(shù)為常規(guī)量,也即考慮在弱控制下系統(tǒng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率ω之間存在量級(jí)差距時(shí)其動(dòng)力學(xué)行為. 顯然,在固有頻率對(duì)應(yīng)的任一周期T∈[τ0,τ0+2π/ω]內(nèi), 外激勵(lì)項(xiàng)w將在WA=Asin(Ωτ0)和WB=Asin(Ωτ0+2πΩ/ω)之間變化,由于Ω?ω,WA≈WB,也即雖然外激勵(lì)項(xiàng)會(huì)在±A之間變化,但在任一固有頻率所對(duì)應(yīng)的周期內(nèi),w變化非常緩慢,因此,整個(gè)外激勵(lì)項(xiàng)w可視為慢變參數(shù).因此快子系統(tǒng)可以表示為

而慢子系統(tǒng)則為

在區(qū)域D0中,快子系統(tǒng)具有如下惟一的平衡點(diǎn)E0：

而在區(qū)域D±中,快子系統(tǒng)分別存在惟一的平衡點(diǎn)E±：

其中k1=γ+δb-qδb+qδa,k2=γ-δγ+δγbqδγb+qδγa,k3=-qδγb+qδγa+δγb. 系統(tǒng)中可能會(huì)產(chǎn)生兩種不同形式的非光滑分岔,一是在分界面處發(fā)生fold分岔,其產(chǎn)生條件為

另一是在分界面處發(fā)生Hopf分岔,其產(chǎn)生條件為

圖2 (q,δ)平面上的非光滑分岔集Fig.2.The non-smooth bifurcation sets on the(q,δ)plane.

取定參數(shù)β=1.2,γ=0.6,a=-3.0,b=0.6,A=3.0,圖2給出了(q,δ)平面上的非光滑分岔圖,顯然當(dāng)δ＜0.9446時(shí),隨著q在[0,1]之間變化,廣義Jacobi矩陣存在零特征值,因此會(huì)產(chǎn)生余維-1非光滑fold分岔,而當(dāng)δ＞0.9446時(shí),不僅會(huì)存在零特征值,也會(huì)存在一對(duì)純虛根,因此存在二次穿越現(xiàn)象,導(dǎo)致余維-2非光滑fold-Hopf分岔.

4 非光滑余維-1周期簇發(fā)振蕩

4.1 周期簇發(fā)振蕩運(yùn)動(dòng)過(guò)程

由圖2可知,當(dāng)δ=0.9時(shí),在分界面上僅會(huì)產(chǎn)生余維-1非光滑fold分岔,此時(shí)快子系統(tǒng)在三個(gè)不同區(qū)域中分別存在著三個(gè)不同的平衡點(diǎn),計(jì)算可知,E0為不穩(wěn)定鞍點(diǎn),其相應(yīng)的特征值為λ1=2.8476,λ2,3=-0.3738±0.6551I;E±為穩(wěn)定焦點(diǎn),其相應(yīng)的特征值為λ1=-1.0651,λ2,3=-0.0375±0.5503I.圖3給出了δ=0.9時(shí)系統(tǒng)在(y,v)和(u,v)平面上的相圖.

圖3δ=0.9時(shí)的相圖 (a)(y,v)平面的相圖;(b)(u,v)平面的相圖Fig.3.Phase portraits forδ=0.9：(a)On the(y,v)plane;(b)on the(u,v)plane.

我們以(y,v)平面上的相圖為例來(lái)說(shuō)明軌跡的運(yùn)動(dòng)情況.假設(shè)軌跡從非光滑分界面v=+1上的A1點(diǎn)出發(fā),由于在D+域內(nèi)存在惟一的穩(wěn)定焦點(diǎn)E+,此時(shí)軌跡將大致按照E+的特性,逐漸振蕩趨于E+.在此過(guò)程中,由于外激勵(lì)是一個(gè)慢變過(guò)程,因此系統(tǒng)軌跡主要由快子系統(tǒng)決定.當(dāng)軌跡逼近于E+時(shí),由于E+是穩(wěn)定的焦點(diǎn),快子系統(tǒng)只會(huì)使得系統(tǒng)軌跡駐留在E+點(diǎn),因此慢變的外激勵(lì)的影響將會(huì)體現(xiàn)出來(lái).在外激勵(lì)的作用下,其相應(yīng)的平衡點(diǎn)E+的位置會(huì)發(fā)生變化,大致沿著E+A3向分界面移動(dòng),從而導(dǎo)致系統(tǒng)軌跡緩慢地由A2點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A3點(diǎn).當(dāng)軌跡到達(dá)分界面上的A3點(diǎn),由于在D0域內(nèi)存在惟一的不穩(wěn)定鞍點(diǎn),在慢變外激勵(lì)驅(qū)動(dòng)下,系統(tǒng)軌跡快速地穿越D0域,到達(dá)分界面v=-1上的A4點(diǎn),并從A4點(diǎn)出發(fā),逐漸振蕩趨于D-區(qū)域中惟一穩(wěn)定的焦點(diǎn)E-.經(jīng)過(guò)與D+區(qū)域內(nèi)相對(duì)稱(chēng)的過(guò)程,抵達(dá)分界面v=-1上的A6點(diǎn),并快速穿越區(qū)域D0,到達(dá)起始點(diǎn)A1,完成一個(gè)周期的簇發(fā)振蕩.

4.2 周期簇發(fā)振蕩的結(jié)構(gòu)

為進(jìn)一步說(shuō)明周期簇發(fā)振蕩的結(jié)構(gòu),圖4給出了其相應(yīng)的時(shí)間歷程.

從圖3(a)中可以看出,在簇發(fā)振蕩對(duì)稱(chēng)的半個(gè)周期內(nèi),大致包含三個(gè)部分：1)從分界面上A1點(diǎn)逐漸趨于E+的逼近過(guò)程;2)從E+附近向分界面上A3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程;3)從A3穿越區(qū)域D0到A4的過(guò)程.其中第二過(guò)程占據(jù)了主要部分.

第一過(guò)程對(duì)應(yīng)于從A1到E+的逼近過(guò)程(見(jiàn)圖4(c)),振蕩頻率主要受E+所對(duì)應(yīng)的共軛復(fù)根的虛部的影響,通過(guò)計(jì)算,其振蕩周期的理論值為T(mén)S=2π/0.5503=11.4177,這與圖4(c)中的數(shù)值模擬值TP=11.4272相符合,其振蕩幅值的變化主要受該對(duì)共軛復(fù)根的實(shí)部影響,其在v方向上的變化可以用曲線(xiàn)AP來(lái)描述,近似為VP=VP0exp[-0.0375(t-tP0)],其中VP0和tP0分別對(duì)應(yīng)于在A1處圍繞E+振蕩在方向上的幅值和時(shí)間.從圖4(c)可以看出曲線(xiàn)AP大致與從A1點(diǎn)到E+的振蕩幅值符合,因此,按照振幅衰減到起始振幅的1%為標(biāo)準(zhǔn),從A1點(diǎn)到E+時(shí)間的理論值可以計(jì)算為T(mén)1=122.80,這與圖4(c)中的數(shù)值模擬值TP1=141.45也較為符合.

第二過(guò)程主要對(duì)應(yīng)于隨慢變量x的變化平衡點(diǎn)向分界面移動(dòng)的過(guò)程,由于受外激勵(lì)的影響,該過(guò)程從E+振蕩趨于A3點(diǎn),其振蕩周期為T(mén)E=2π/Ω,這與圖4(b)中的數(shù)值模擬結(jié)果一致,而振蕩幅值主要受(3)式中的第一式所對(duì)應(yīng)的特征值λT=0.0001(-β-1)=-0.00022的控制,其在v方向上隨時(shí)間的變化大致可以用曲線(xiàn)AT來(lái)描述,其相應(yīng)的表達(dá)式為VE=V0exp[-0.00022(t-t0)],其中v0和t0對(duì)應(yīng)于軌跡在E+處的v值及所對(duì)應(yīng)的時(shí)間,因此,可以從理論上計(jì)算從E+到A3點(diǎn)的時(shí)間為T(mén)2=ln(10.8761)/0.00022=10848.0.

第三過(guò)程對(duì)應(yīng)于穿越區(qū)域D0的過(guò)程,由于時(shí)間非常短,可以忽略不計(jì),通過(guò)計(jì)算可以得到簇發(fā)振蕩周期的理論解為T(mén)J=2(10848.0+122.80)=21941.6,與數(shù)值模擬結(jié)果T0=23140符合良好(見(jiàn)圖4(a)).

4.3 簇發(fā)振蕩機(jī)理分析

為揭示該簇發(fā)振蕩的機(jī)理,在此采用包絡(luò)分析法. 其主要思想是,分別考察外激勵(lì)項(xiàng)w=Asin(Ωt)在w=±A極值處的平衡態(tài)及其分岔模式,并結(jié)合系統(tǒng)的相圖,得到不同簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)理.圖5給出了在(x,v)平面上系統(tǒng)簇發(fā)振蕩的相圖與快子系統(tǒng)的包絡(luò)平衡線(xiàn)的疊加圖.

圖5 (x,v)平面上簇發(fā)振蕩相圖與快子系統(tǒng)(x,v)平衡曲線(xiàn)的疊加圖Fig.5.The overlap diagram between the phase portrait and the equilibrium branches of the fast subsystem on the(x,v)plane.

圖5中B±分別對(duì)應(yīng)于w=±A=±0.5時(shí)三個(gè)不同區(qū)域的快子系統(tǒng)的平衡線(xiàn).假設(shè)系統(tǒng)軌跡從分界面v=+1上的A1點(diǎn)(見(jiàn)圖3(a))出發(fā),軌跡受D+區(qū)域內(nèi)的系統(tǒng)控制,逐漸趨于D+區(qū)域內(nèi)快子系統(tǒng)惟一穩(wěn)定焦點(diǎn)E+,由于A1點(diǎn)與E+之間存在較大的距離,使得逼近過(guò)程存在大幅振蕩特性,也即處于激發(fā)態(tài)并大致按照E+的特性,振幅逐漸減小,振蕩趨于E+,進(jìn)入沉寂態(tài)雖然此時(shí)快子系統(tǒng)的軌跡將穩(wěn)定于E+,但耦合系統(tǒng)的軌跡由于受第二個(gè)尺度也即慢變周期激勵(lì)的影響,將按照外激勵(lì)周期做小幅周期振蕩,也即開(kāi)始激發(fā)態(tài)振蕩.在該過(guò)程中,由于整個(gè)外激勵(lì)值在±A之間周期變化,導(dǎo)致耦合系統(tǒng)在該階段周期振蕩的軌跡在分別取w=±A所得到的快子系統(tǒng)的兩條平衡線(xiàn)之間來(lái)回變化,并受兩條平衡線(xiàn)的制約,使得軌跡逐漸振蕩趨于分界面v=+1.

當(dāng)軌跡到達(dá)分界面v=+1上的A3點(diǎn)時(shí),受平衡線(xiàn)的制約,軌跡將穿越分界面,而由于在D0域內(nèi)存在惟一的不穩(wěn)定鞍點(diǎn),所以在慢變外激勵(lì)驅(qū)動(dòng)下,系統(tǒng)軌跡快速地穿越D0域,到達(dá)分界面v=-1上的A4點(diǎn),形成沉寂態(tài)并從A4點(diǎn)出發(fā),逐漸振蕩趨于D-區(qū)域中惟一穩(wěn)定的焦點(diǎn)E-.同樣,由于A4點(diǎn)和E-之間存在著較大的距離,使得該逼近過(guò)程存在著較大幅值的振蕩,導(dǎo)致激發(fā)態(tài)由于慢變激勵(lì)項(xiàng)w按照外激勵(lì)頻率Ω在w=±A之間周期變化,導(dǎo)致軌跡也按照頻率Ω在w=±A所對(duì)應(yīng)的兩條平衡線(xiàn)之間周期來(lái)回變化,直至軌跡到達(dá)分界面v=-1上的A6點(diǎn),并快速穿越區(qū)域D0,到達(dá)起始點(diǎn)A1,完成一個(gè)周期的簇發(fā)振蕩.

需要指出的是,由于D0區(qū)域中不穩(wěn)定鞍點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)特征值較大,使得軌跡會(huì)快速穿越D0區(qū)域,分別趨于D±中的穩(wěn)定焦點(diǎn),同時(shí),當(dāng)軌跡抵達(dá)D+或D-區(qū)域中w=±A時(shí)快子系統(tǒng)的兩條平衡線(xiàn)之間時(shí),振蕩軌跡會(huì)在這兩條平衡線(xiàn)之間來(lái)回周期振蕩,也即軌跡為w=±A時(shí)快子系統(tǒng)的兩條平衡線(xiàn)包絡(luò).

5 結(jié) 論

對(duì)于周期激勵(lì)下含兩非光滑分界面的廣義蔡氏電路,選取適當(dāng)?shù)膮?shù)使得周期頻率與系統(tǒng)頻率之間存在量級(jí)差,建立了一個(gè)含頻域兩時(shí)間尺度的四維分段線(xiàn)性系統(tǒng).通過(guò)對(duì)快子系統(tǒng)進(jìn)行平衡點(diǎn)以及非光滑分岔分析可知,在具體參數(shù)下,當(dāng)系統(tǒng)軌跡穿越非光滑分界面時(shí),會(huì)產(chǎn)生余維-1非常規(guī)fold分岔,從而導(dǎo)致了簇發(fā)振蕩現(xiàn)象的產(chǎn)生.這與光滑系統(tǒng)中的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象不同,光滑系統(tǒng)中軌跡是在系統(tǒng)同時(shí)存在的不同穩(wěn)定平衡點(diǎn)之間跳躍,而在該非光滑系統(tǒng)中,軌跡是在不同區(qū)域中惟一的平衡點(diǎn)之間的跳躍,從而揭示了非光滑因素下非常規(guī)fold分岔對(duì)系統(tǒng)簇發(fā)振蕩行為的影響機(jī)理.本文僅探討了非光滑系統(tǒng)中的余維-1非常規(guī)fold分岔導(dǎo)致的簇發(fā)振蕩,對(duì)于系統(tǒng)的更復(fù)雜的簇發(fā)振蕩還有待進(jìn)一步研究.

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PACS:05.45.-a,05.45.Pq DOI:10.7498/aps.66.020501

Bursting oscillations as well as the mechanism with codimension-1 non-smooth bifurcation?

Zhang Zheng-DiLiu Yang Zhang Su-Zhen Bi Qin-Sheng?

(Faculty of Science,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

15 August 2016;revised manuscript

2 November 2016)

The coupling of different scales in nonlinear systems may lead to some special dynamical phenomena,which always behaves in the combination between large-amplitude oscillations and small-amplitude oscillations,namely bursting oscillations.Up to now,most of therelevant reports have focused on the smooth dynamical systems.However,the coupling of different scales in non-smooth systems may lead to more complicated forms of bursting oscillations because of the existences of different types of non-conventional bifurcations in non-smooth systems.The main purpose of the paper is to explore the coupling effects of multiple scales in non-smooth dynamical systems with non-conventional bifurcations which may occur at the non-smooth boundaries.According to the typical generalized Chua’s electrical circuit which contains two non-smooth boundaries,we establish a four-dimensional piecewise-linear dynamical model with different scales in frequency domain.In the model,we introduce a periodically changed current source as well as a capacity for controlling.We select suitable parameter values such that an order gap exists between the exciting frequency and the natural frequency.The state space is divided into several regions in which different types of equilibrium points of the fast sub-system can be observed.By employing the generalized Clarke derivative,different forms of non-smooth bifurcations as well as the conditions are derived when the trajectory passes across the non-smooth boundaries.The case of codimension-1 non-conventional bifurcation is taken for example to investigate the effects of multiple scales on the dynamics of the system.Periodic bursting oscillations can be observed in which codimension-1 bifurcation causes the transitions between the quiescent states and the spiking states.The structure analysis of the attractor points out that the trajectory can be divided into three segments located in different regions.The theoretical period of the movement as well as the amplitudes of the spiking oscillations is derived accordingly,which agrees well with the numerical result.Based on the envelope analysis,the mechanism of the bursting oscillations is presented,which reveals the characteristics of the quiescent states and the repetitive spiking oscillations.Furthermore,unlike the fold bifurcations which may lead to jumping phenomena between two different equilibrium points of the system,the non-smooth fold bifurcation may cause the jumping phenomenon between two equilibrium points located in two regions divided by the non-smooth boundaries.When the trajectory of the system passes across the non-smooth boundaries,non-smooth fold bifurcations may cause the system to tend to different equilibrium points,corresponding to the transitions between quiescent states and spiking states,which may lead to the bursting oscillations.

non-smooth circuit system,multiple scales,bursting oscillations,non-conventional bifurcation

:05.45.-a,05.45.Pq

10.7498/aps.66.020501

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11472115,11472116)和江蘇省青藍(lán)工程資助的課題.

?通信作者.E-mail：qbi@ujs.edu.cn.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11472115,11472116)and the Qinglan Project of Jiangsu Province,China.

?Corresponding author.E-mail：qbi@ujs.edu.cn.