毛海濤，王正成，王曉菊，邵東國

（1.重慶三峽學(xué)院 土木工程學(xué)院，重慶 404100；2.河海大學(xué) 環(huán)境學(xué)院，江蘇 南京 210098；3.武漢大學(xué) 水利水電學(xué)院，湖北 武漢 430027）

無限深透水壩基懸掛式垂直防滲體保角變換-邊界元滲流計(jì)算

毛海濤1，3，王正成1，王曉菊2，邵東國3

（1.重慶三峽學(xué)院 土木工程學(xué)院，重慶 404100；2.河海大學(xué) 環(huán)境學(xué)院，江蘇 南京 210098；3.武漢大學(xué) 水利水電學(xué)院，湖北 武漢 430027）

無限深透水壩基輪廓復(fù)雜，透水層深度大，其滲流計(jì)算精度難以保證。本文提出用保角變換-邊界元法計(jì)算含有無限域滲流計(jì)算問題。保角變換將復(fù)雜的壩基輪廓線邊值問題變換為水平線邊值問題，使?jié)B流計(jì)算邊界問題大大簡(jiǎn)化；邊界元法在求解邊界簡(jiǎn)單的無限域滲流方面優(yōu)勢(shì)明顯，兩種方法聯(lián)合使用進(jìn)行求解，能充分發(fā)揮保角變換和邊界元法各自優(yōu)點(diǎn)。通過組合法計(jì)算結(jié)果表明：聯(lián)合法計(jì)算更加快捷、簡(jiǎn)單，計(jì)算結(jié)果更加符合無限域的實(shí)際情況，可為解決無限域滲流問題提供一條途徑。

保角變換；邊界元；無限域；滲流；壩基

1 研究背景

復(fù)變函數(shù)中的保角變換在工程中的應(yīng)用多見于流體力學(xué)方面，這方面的研究也是最早的［1］。Schwarz和Christoffel給出了任意的多邊形內(nèi)部和上半平面之間的變換方法［2］。因此，可以將壩基復(fù)雜的地下輪廓線視為多邊形，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單規(guī)則的形狀進(jìn)行分析。對(duì)于無限域滲流區(qū)域輪廓可將其視為廣義多邊形，轉(zhuǎn)化為水平線性進(jìn)行求解［3］。邊界元最早在巖土工程得到應(yīng)用，其中在滲流計(jì)算中也應(yīng)用廣泛［4］。邊界元僅僅對(duì)邊界進(jìn)行離散，誤差只來源于邊界，所以計(jì)算精度較高［5］。將保角變換后的簡(jiǎn)單滲流邊界利用邊界元進(jìn)行離散，借助數(shù)值軟件進(jìn)行計(jì)算，可以使無限深透水壩基復(fù)雜的滲流計(jì)算問題得到大大簡(jiǎn)化。

因此，本研究通過選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q函數(shù)，將無限深透水壩基的復(fù)雜滲流輪廓進(jìn)行保角變換，將其轉(zhuǎn)換為水平線性邊界，利用邊界元對(duì)其進(jìn)行邊界離散，并借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。提出解析與數(shù)值相結(jié)合的新方法，能較好的解決無限域的滲流問題，計(jì)算用時(shí)短且精度高。

2 模型建立

2.1 保角變換對(duì)于建立無限深透水地基上采用倒懸掛式防滲墻防滲的土石壩，其壩基的形狀可以簡(jiǎn)化為圖1（a）所示，復(fù)變函數(shù)中克力斯托弗-席瓦爾茲定理可將其視為廣義四邊形FBCD，F(xiàn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。A，E點(diǎn)分別是上下游壩腳所在的位置。［6］

實(shí)際計(jì)算中，假設(shè)上游壩腳A到防滲墻的距離AB=xa，下游壩腳E到防滲墻的距離ED=xe。用克力斯托弗-席瓦爾茲積分式，將實(shí)際計(jì)算Z平面四邊形壩基轉(zhuǎn)化到ζ平面實(shí)軸ξ上從而求解（圖1（b））。轉(zhuǎn)化為直線基礎(chǔ)的公式如下：

式中：Z為Z平面上的復(fù)數(shù)，Z＝x+yi；ω為平面上的復(fù)數(shù)，ω=u+vi；a1，a2，…，an為相應(yīng)多邊形頂角A1，A2，A3的點(diǎn)經(jīng)轉(zhuǎn)換后在ε軸上的坐標(biāo)；β1，β2，…，βn為相應(yīng)于多邊形的內(nèi)角除以π所得值；A，B為復(fù)常數(shù)，由邊界條件確定。

水平基礎(chǔ)滲透特性復(fù)數(shù)函數(shù)公式為：

圖1 滲流計(jì)算的復(fù)平面轉(zhuǎn)換圖

將Z=x+yi，ω=u+vi代入上式（3），分開實(shí)部和虛部得到：

2.2 邊界元法由保角變換將相對(duì)復(fù)雜的壩基輪廓，轉(zhuǎn)化成直線型邊界，邊界元在處理簡(jiǎn)單邊界的問題優(yōu)勢(shì)明顯。在描述勢(shì)流的微分方程（Laplace方程），其邊界條件為［7］：

其中，-u、-v為已知邊界條件，在Γ1邊界有B′A′F′和D′E′F′；Γ2邊界有B′C′D′。將邊值問題代入格林公式則有：

利用基本解的性質(zhì)和加權(quán)余量法可將滲流的拉普拉斯方程寫成如下積分式：

式中：ci為系數(shù)矩陣，為邊界上點(diǎn)i位移向量；u，q為滲流場(chǎng)任意一點(diǎn)的位移和面力向量；u*、q*為以基本解為元素的向量［8］。

2.3 離散化對(duì)上式進(jìn)行離散化，以單元節(jié)點(diǎn)的值ui，qi（i=1，2，…，n）代替單元上的值，則

令：

用矩陣符號(hào)，可將式（6）表示成［9］：

由定解條件可知，上式（9）含有n-m個(gè)未知數(shù)，將n-m個(gè)未知數(shù)組成矢量X，得到新的代數(shù)方程組：

將式（10）解得結(jié)果代入式（3），反求x，y即得實(shí)際運(yùn)動(dòng)Z平面的滲流參數(shù)。

3 算例與對(duì)比分析

某土石壩壩前水深5m，視為無限深透水地基，壩基滲透系數(shù)為6.43m/d，允許滲透坡降0.15，懸掛式防滲墻深度為30m，防滲墻距上下游壩角距離分別為10m和35m。求算：（1）壩基平均滲透坡降；（2）上游的單寬入滲流量。

圖2 保角變換平面變換圖

由保角變換將懸掛式防滲墻轉(zhuǎn)化為如圖2，是一個(gè)非常容易通過邊界元法計(jì)算的滲流場(chǎng)邊值問題。將場(chǎng)域邊界剖分為76個(gè)常數(shù)單元，其借助邊界元軟件THBEM2計(jì)算壩基內(nèi)部的水頭等值線分布圖如圖3所示。

并與用有限元法和保角變換解析法計(jì)算所得到的水頭等值線分布圖進(jìn)行了比較。分別取如圖所示的①②③處3個(gè)結(jié)點(diǎn)的計(jì)算值與理論值進(jìn)行比較如表1。

圖3 水頭等值線分布圖

表1 不同計(jì)算方法結(jié)果比較

計(jì)算發(fā)現(xiàn)，組合法計(jì)算結(jié)果能滿足計(jì)算要求，且相對(duì)有限元法計(jì)算剖分單元更少，計(jì)算更快捷。相比較解析法精度更高。

4 結(jié)論

保角變換法與具有諸多優(yōu)點(diǎn)的邊界元法相結(jié)合，發(fā)揮兩種方法的優(yōu)勢(shì)，避開了各自的弊端，用于求解復(fù)雜滲流場(chǎng)工程問題。通過建立無限深透水地基采用懸掛式防滲墻滲流邊值問題進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明：保角變換邊界元組合法是一種能有效解決復(fù)雜壩基輪廓滲流場(chǎng)數(shù)值分析方法，不僅能將復(fù)雜的壩基輪廓變得簡(jiǎn)單，單元剖分少，計(jì)算快捷，而且相對(duì)與其他方法精度也較高。特別是在處理無限域復(fù)雜滲流邊界方面優(yōu)勢(shì)明顯。

［1］ 李志勇.基于保角變換的六角形中子擴(kuò)散半解析節(jié)塊法及數(shù)值結(jié)果［J］.核科學(xué)與工程，2014，34（1）：16-22.

［2］ 賈紅剛，聶玉峰.各向異性板半無限裂紋平面問題的保角變換解法［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，36（2）：243-248.

［3］ 鄧琴，郭明偉，李春光，等.基于邊界元法的邊坡矢量和穩(wěn)定分析［J］.巖土力學(xué)，2010，31（6）：1971-1976.

［4］ 姚振漢，蒲軍平，尹欣，等.邊界元法應(yīng)用的若干近期研究［J］.力學(xué)季刊，2001，22（1）：10-17.

［5］ 程長征，周煥林，胡宗軍，等.近壩基面滲流場(chǎng)的邊界元法分析［J］.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，36（12）：1308-1313.

［6］ 周宏偉，張亞衡，李愛民，等.孔隙介質(zhì)中流體滲流邊界演化過程的實(shí)驗(yàn)研究［J］.科學(xué)通報(bào)，2008，53（03）：351-358.

［7］ 田玲玲.直接邊界元法及其在地下水滲流問題中的應(yīng)用［J］.西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，25（1）：44-45，49.

［8］ 李新強(qiáng)，陳祖煜.三維裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流計(jì)算的邊界元法及程序［J］.中國水利水電科學(xué)研究院學(xué)報(bào)，2006，4（2）：81-87.

［9］ 柏承新，趙代深.考慮穩(wěn)定滲流場(chǎng)滲流體積力的彈性問題邊界元解法［J］.水利學(xué)報(bào)，1989（4）：64-69.

Seepage calculation for suspended vertical impervious body on the infinite deep pervious damfoundation based on conformal transformation and boundary element method

MAO Haitao1，3，WANG Zhengcheng1，WANG Xiaoju2，SHAO Dongguo3
（1.Civilengineering instituteofchongqing threeGorgesCollege，Chongqing 404100，China；2.Collegeof environment，HohaiUniversity，Jiangsu 210098，China；3.Wuhan University Instituteofwaterconservancy and hydroelectricpower，Wuhan 430072，China）

The outline of the infinite deep dam foundation is quite complex，and its permeable layer is deep.This unique characteristic determines that it would not be an easy task to guarantee or achieve the calculation accuracy of seepage.Therefore，in terms of the calculating method，conformal transformation& boundary element method is proposed and adopted in this paper to deal with problems which are associated with seepage calculation problem of infinite domain.Conformal transformation method can change complicated dam foundation outline boundary problems to horizontal boundary problem，which will greatly simplify the boundary problem of seepage calculation.Boundary element method shows its great superiority in coping with seepage problem of infinite domain whose boundary is easy to calculate.The combination of the two methods can give full play to their respective advantages.By means of adopting the combination calculation method，the calculated results illustrate the fact that the combination method is much faster and simpler，the result is more accurate and in accordance with the real situation of the infinite field，which provides an approach to dealing with the infinite field seepage problems.

conformal transformation；BEM；infinite field；seepage；dam foundation

TU443

A

10.13244/j.cnki.jiwhr.2017.03.010

1672-3031（2017）03-0223-04

（責(zé)任編輯：韓 昆）

2016-04-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51309262）；重慶市科委基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目（cstc2015jcyjA00030、cstc2015jcyjA00022）；重慶三峽學(xué)院校企合作項(xiàng)目（15XQ01）；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（KJ1601024）

毛海濤（1980-），男，山西平陸人，副教授，主要從事土石壩滲流機(jī)理研究。E-mail：maohaitao1234@163.com