余小飛，劉 斌

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 南陽 473000)

三重積分的應(yīng)用探討

余小飛，劉 斌

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 南陽 473000)

本文根據(jù)三重積分的應(yīng)用，主要研究空間立體的體積、物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。

三重積分；體積；質(zhì)心；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1 空間立體的體積

根據(jù)三重積分的定義可知，空間區(qū)域Ω的體積為

案例1 求由曲面x2+y2+z2=2az與z2+y2≤z2所界的立體的體積．

解析將其變換為柱面坐標(biāo)，有

r2+z2=2az，r2≤z2，

因而區(qū)域Ω為

于是，所圍成立體的體積為

2 物體的質(zhì)心

設(shè)有一物體，占有R3中閉區(qū)域Ω，在點(diǎn)(x,y,z)處的密度為ρ(x,y,z)，假設(shè)ρ(x,y,z)在Ω上連續(xù)，該物體對(duì)xOy平面、yOz平面、zOx平面的靜矩Mxy，Myz，Mzx分別為

解析因?yàn)榫鶆蛭矬w的密度為常數(shù)，即ρ(x,y,z)≡c(c為常數(shù))，因此

又由對(duì)稱性，知

Myz=Mzx=0，

所以

3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)在R3內(nèi)有一質(zhì)點(diǎn)，其坐標(biāo)為(x,y,z)，質(zhì)量為m，由力學(xué)知，該質(zhì)點(diǎn)對(duì)x軸，y軸，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Ix=(y2+z2)，Iy=(z2+x2)，Iz=(x2+y2)．

如果設(shè)點(diǎn)(x,y,z)處的密度為ρ(x,y,z)，且在閉區(qū)域Ω內(nèi)連續(xù)，則根據(jù)三重積分的概念可知，

例3 設(shè)球在動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z)的密度與該點(diǎn)至球心距離成比例，求質(zhì)量為M的非均勻球體x2+y2+z2≤R2對(duì)于其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

解析不失一般性，取Oz軸在球內(nèi)的一段作為直徑．令

x=rcosφcosθ，y=rsinφcosθ，z=rsinθ，

則其質(zhì)量為

由此，得

從而，密度為

于是，所求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

[1]費(fèi)定輝，周學(xué)圣．?dāng)?shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M]．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2008：368-369．

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].第三版下冊(cè).北京:高等教育出版社，2006：247-251.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社，2004：709 -718.

(編輯 趙欣宇)

Discussion on the Application of Three Integral

YU Xiaofei, LIU Bin

(Henan Polytechnic Institute, Nanyang 473000, China)

In this paper, based on the application of three integral, the volume of space, the center of mass and the rotational inertia are mainly studied.

three integral; volume; center; rotational inertia

2017-03-10

余小飛(1986-)，男，理學(xué)碩士，講師。主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

G712

A

1672-0601(2017)06-0119-02