張美娟,張 銘

(1.中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,北京 100081)(2.中國政法大學(xué)科學(xué)技術(shù)教學(xué)部,北京 102249)

非時(shí)齊馬氏過程的隨機(jī)單調(diào)性

張美娟1,張 銘2

(1.中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,北京 100081)(2.中國政法大學(xué)科學(xué)技術(shù)教學(xué)部,北京 102249)

本文研究了非時(shí)齊馬氏過程的隨機(jī)單調(diào)性問題.利用時(shí)齊的馬氏過程隨機(jī)單調(diào)性的相關(guān)證明方法,加以改進(jìn),獲得了非時(shí)齊馬氏過程隨機(jī)單調(diào)性的顯式判定方法,并進(jìn)一步將這一充分性條件推廣為等價(jià)條件.

非時(shí)齊馬氏過程;隨機(jī)單調(diào)性;耦合;偏序

1 引言

耦合方法是概率論研究中使用的一個(gè)重要方法,在研究時(shí)齊的馬氏過程時(shí),曾經(jīng)對(duì)耦合方法有過系統(tǒng)的介紹和研究(參見文獻(xiàn)[5]第5章).關(guān)于耦合的研究及其應(yīng)用,陳木法教授在這一方面有著十分重要及突出的貢獻(xiàn).而關(guān)于耦合方法的應(yīng)用,一個(gè)重要的方面就是有關(guān)于馬氏過程的隨機(jī)偏序問題.

Massey[8]指出隨機(jī)偏序是研究排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的平穩(wěn)分析時(shí)很好的工具.通過隨機(jī)偏序可以研究馬氏過程的單調(diào)性,比較定理以及強(qiáng)偏序及弱偏序的問題.有關(guān)時(shí)齊的隨機(jī)單調(diào)性的證明可參閱文獻(xiàn)[5].Massey在文獻(xiàn)[8]中給出了馬氏過程隨機(jī)單調(diào)性的一般性判定準(zhǔn)則,但這一準(zhǔn)則是從理論意義上得到的,并沒有給出顯式的結(jié)果.本文綜合了文獻(xiàn)[5,8]的結(jié)論及方法,給出了非時(shí)齊馬氏過程單調(diào)性的顯式判定方法,更方便于具體操作及應(yīng)用,并將這一充分性條件的判定準(zhǔn)則推廣為等價(jià)條件.

假設(shè)狀態(tài)空間()上有一個(gè)可測(cè)的偏序“”,且

定義1 如果對(duì)所有非負(fù)的單調(diào)函數(shù)f都有

稱P1(t)2(t),若P1(t)=P2(t),則稱P1(t)是隨機(jī)單調(diào)的.如果一個(gè)集合的示性函數(shù)是單調(diào)函數(shù),那么這個(gè)集合稱為單調(diào)集合.

對(duì)于時(shí)齊馬氏過程的隨機(jī)單調(diào)性,有判定方法：對(duì)于有界q對(duì),P1(t)2(t)當(dāng)且僅當(dāng)其相應(yīng)的q對(duì)對(duì)任意的單調(diào)集合A滿足

對(duì)于非時(shí)齊的情形而言,將前面的定義推廣到非時(shí)齊馬氏過程中,就有

定義2 對(duì)于兩個(gè)非時(shí)齊的半群Pk(s,t),k=1,2,如果對(duì)所有非負(fù)的單調(diào)函數(shù)f都有

則稱P1(s,t)2(s,t).若任意的s≤t都有P1(s,t)=P2(s,t),稱P1(s,t)是隨機(jī)單調(diào)的.

于是參考文獻(xiàn)[5]中的引理5.45,就得到了非時(shí)齊隨機(jī)單調(diào)性的判定法則,即

定理3假設(shè)(qk(t,x),qk(t,x,dy))(k=1,2)對(duì)于t≥0是有界q對(duì),那么P1(s,t)2(s,t)當(dāng)且僅當(dāng)其相應(yīng)的q對(duì)對(duì)任意的單調(diào)集合A都滿足

2 定理3的證明

證對(duì)于有界的q對(duì),由文獻(xiàn)[5]中可知存在唯一的過程P(s,t)與之對(duì)應(yīng).若有P1(s,t)?P2(s,t),則意味著對(duì)于x1?x2,

于是對(duì)于任意的t≥0都有

那么可以取f為示性函數(shù)IA,其中A為單調(diào)集合,于是

對(duì)于x12且x2∈Ac的情形,由于A是單調(diào)集合,所以IA(x1)≤IA(x2)=0,即x1∈Ac,于是有

那么對(duì)于x12,且x1∈A的情況,同樣由于A是單調(diào)集合,所以IA(x2)≥IA(x1)=1,也就是說x2∈A.由于

于是可得

反過來,如果(1.4)式對(duì)所有的0≤s≤t都成立,那么對(duì)于任意的0≤s≤t,可以令

此時(shí),qk(s,t)可以看做是qk(u)(u∈[s,t])的線性組合,于是對(duì)于qk(u)滿足的性質(zhì)(1.4)式,qk(s,t)也是同樣滿足的,即對(duì)于所有的單調(diào)集合A有

至此定理證明完畢.

注在這里注意到,對(duì)于保守的q對(duì),1-P(t,t+△t;x;A)=P(t,t+△t;x;Ac),而對(duì)于x1,x2∈A,來說,類似前面的證明有

所以還可以得到對(duì)于保守的q對(duì),(1.4)式也等價(jià)于

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THE STOCHASTIC MONOTONICITY OF INHOMOGENEOUS MARKOV PROCESSES

ZHANG Mei-juan1,ZHANG Ming2
(1.School of Statistics and Mathematics,Central University of Finance and Economics,Beijing 100081,China)(2.Department of Science and Technology,China University of Political Science and Law,Beijing 102249,China)

In this paper,we study the stochastic monotonicity of inhomogeneous Markov processes. By using and improving the proof method for the stochastic monotonicity of homogeneous Markov processes,we obtain the explicit criterion for stochastic monotonicity of inhomogeneous Markov processes.Further more,this article extends this sufficient criterion to the equivalent condition.

inhomogeneous Markov processes;stochastic monotonicity;coupling;partial order

on：60J99

O211.62

A

0255-7797(2017)04-0819-04

2016-03-30接收日期：2016-04-08

中國政法大學(xué)青年教師資助計(jì)劃(1000-10816108).

張美娟(1985-),女,河北石家莊,講師,主要研究方向：隨機(jī)游動(dòng),分枝過程.

張銘.