杜興華

( 東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，黑龍江 大慶 163318 )

(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的所有單行波解的分類、表示及分叉行為

杜興華

( 東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，黑龍江 大慶 163318 )

利用多項式完全判別系統(tǒng)法，求出(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的所有單行波解的分類和表示(包括新解)，顯示參數(shù)變化導(dǎo)致的分叉現(xiàn)象，從局域運動轉(zhuǎn)變到周期波動，體現(xiàn)模型豐富的物理內(nèi)涵。

多項式完全判別系統(tǒng)； 行波解； 廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程； 分叉現(xiàn)象

0 引言

求解非線性發(fā)展方程的精確行波解是非線性科學(xué)中的主要課題，已發(fā)展出來反散射法[1]、Backlunud法[2]、Darboux變換法[3]、延拓法[4-5]、Painleve分析法[6]、 Lie群法[7-8]、 Tanh函數(shù)法[9]。劉成仕提出多項式完全判別系統(tǒng)法[10-14]，即通過化所求方程為初等積分形式，利用多項式完全判別系統(tǒng)構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確行波解，可以求得多種非線性發(fā)展方程豐富的精確行波解。對于某些非線性發(fā)展方程，可以得到所有單行波解的分類，其中包含其他方法得不到的新解。筆者利用多項式完全判別系統(tǒng)法，研究(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(GCBS)方程[15-17]，求出GCBS方程的所有單行波解的分類和表示，其中包含新解，同時討論解的物理意義及物理模型豐富的動力學(xué)行為。

1 單行波解分類

考慮(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(GCBS)方程

αuxt+βuxuxz+δuzuxx+uxxxz=0,

(1)

式中：α≠1；β、δ為任意非零常數(shù)。

式(1)是由Bogoyavlenskii O I利用Calogero F建議修改的Lax格式構(gòu)造的，是Schiff J利用約化規(guī)范場論中的Yang-Mills方程得到的[18-20]。當(dāng)令α=4，β=4，δ=2時，式(1)變成Bogoyavlenskii-Schiff方程；當(dāng)α=4，β=8，δ=4時，式(1)變成(2+1)維Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(CBS)方程。如文獻(xiàn)[15]利用廣義Riccati方程展開法獲得一些精確解；文獻(xiàn)[17]構(gòu)造無窮序列類孤子新解。

對式(1)做行波變換

u(x,z,t)=u(ξ),ξ=kx+lz-ωt。

(2)

將式(2)代入式(1)得到非線性微分方程

-αkωu″+βk2lu′u″+δk2lu′u″+k3lu(4)=0。

(3)

對式(3)進(jìn)行關(guān)于ξ積分得

?=c1,

(4)

式中：c1為積分常數(shù)。

做變換

ν=u′,

(5)

將式(5)代入式(4)并積分得

(6)

式中：c0為積分常數(shù)。

做變換

(7)

則式(6)變成

(8)

令

F(w)=w3+d2w2+d1w+d0,

(9)

其中

(10)

將式(8)化為初等積分

(11)

式中：ξ0為積分常數(shù)。F(w)完全判別系統(tǒng)為

(12)

根據(jù)三階多項式完全判別系統(tǒng)Δ和D，分為四種情形討論。

情形1Δ=0，D<0，F(xiàn)(w)=0有一個二重實根和一個單重實根，即

F(w)=(w-α1)2(w-α2),

(13)

式中：α1、α2為實常數(shù)，且α1≠α2。對式(11)進(jìn)行積分得

(14)

(15)

如果w>α2，則式(6)的精確解為

(16)

(17)

(18)

情形2Δ=0，D=0，F(xiàn)(w)=0有一個三重實根，即

F(w)=(w-α1)3。

(19)

式(6)的精確解為

(20)

情形3Δ>0,D<0,F(w)=0，有三個不同的實根，即

F(w)=(w-α1)(w-α2)(w-α3),

(21)

式中：α3為實常數(shù)，且α1<α2<α3。式(12)變?yōu)?/p>

(22)

當(dāng)α1

(23)

當(dāng)w>α3時，式(6)的精確解為

(24)

情形4Δ<0,F(w)=0有一個實根和一對共軛復(fù)根，即

F(w)=(w-α1)(w2+pw+q),

(25)

式中：p、q為實常數(shù),且p2-4q<0。式(12)變?yōu)?/p>

(26)

當(dāng)w>α1時，式(6)的精確解為

(27)

定理 式(1)的所有單行波解的分類：

(1)如果ν1(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(28)

(2)如果ν2(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(29)

(3)如果ν3(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(30)

(4)如果ν4(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(31)

(5)如果ν5(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(32)

(6)如果ν6(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(33)

(7)如果ν7(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(34)

式(28-30)為孤波解，表示能量在無窮遠(yuǎn)衰減的波動現(xiàn)象，類似于量子力學(xué)中局域波函數(shù)，表示粒子運動的一種局域現(xiàn)象。式(31)是有理解，也在遠(yuǎn)處衰減，但是沒有式(28-30)衰減的迅速，表示一種較大范圍的局域效應(yīng)。式(32-34)是橢圓函數(shù)解，表示周期的波動現(xiàn)象。

對于不同的參數(shù)，式(1)解的形式是完全不同的。特別是當(dāng)判別系統(tǒng)的值達(dá)到臨界點時，解開始發(fā)生分叉現(xiàn)象，從局域運動轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谶\動，體現(xiàn)模型豐富的動力學(xué)行為。

2 單行波解實現(xiàn)

(35)

(36)

當(dāng)α<0時,式(1)的行波解為

(37)

(38)

(39)

當(dāng)w>0時，式(1)的行波解為

(40)

(41)

3 結(jié)束語

利用多項式完全判別系統(tǒng)法，將(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程化為積分形式，利用三階多項式完全判別系統(tǒng)，求出方程的所有單行波解的分類，其中包含其他方法沒有得到的新解，如式(32-34)。 在不同等參數(shù)條件下解是可以實現(xiàn)的，根據(jù)解的分類，對于不同的參數(shù)選取，解的形式發(fā)生變化，即發(fā)生典型的分叉現(xiàn)象，從局域運動到周期運動變化，顯示模型豐富的物理內(nèi)涵。對于不同的環(huán)境條件，模型顯示不同的物理圖像，比一般的動力系統(tǒng)相圖法更簡單直接。

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2017-05-02；編輯：任志平

國家自然科學(xué)基金項目(11375030)

杜興華(1969-)，女，碩士，教授，主要從事數(shù)學(xué)物理方面的研究。

O192； O189.1

A

2095-4107(2017)03-0111-06

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2017.03.012