□楊 柳

（陜西國際商貿(mào)學(xué)院 陜西 咸陽 712046）

淺談分部積分列表法的用法

□楊 柳

（陜西國際商貿(mào)學(xué)院 陜西 咸陽 712046）

分部積分是針對被積函數(shù)是乘積形式的積分，分部積分公式運(yùn)用比較靈活。本文就列表的方法對分部積分加以說明，并列舉列表法適用的類型。

分部積分；乘積列表法；函數(shù)

常見的積分方法有直接積分法，換元積分法，分部積分法。在被積函數(shù)是乘積形式的積分時，如果不能直接積分或者換元積分，那么一般會用到分部積分。分部積分公式∫udv=uv-∫vdu。分部積分前提是要選取恰當(dāng)?shù)膗和v'函數(shù)，利用分部積分公式得到最后的結(jié)果，選取u和v'的方法比較固定，按照“反、對、冪、指、三”的順序依次選擇，兩個函數(shù)乘積的積分，順序靠左的函數(shù)是u，順序靠右的函數(shù)是v'，指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積中，u和v'函數(shù)的選取方式任意?；蛘哂械慕滩闹袑Ρ环e函數(shù)分類，然后直接說明每一類中u和v'函數(shù)的選取。

1 列表法的計(jì)算規(guī)則

分布函數(shù)列表法是把被積函數(shù)分為兩部分，分上下位置放置，上邊是被積函數(shù)中能夠求導(dǎo)，且越來越簡單的函數(shù)，或者多次導(dǎo)數(shù)之后結(jié)果是0的函數(shù)[1]；下邊放置的是被積函數(shù)的另外一部分，依次對其積分，積分次數(shù)與上面的導(dǎo)數(shù)次數(shù)相同即可。一般地，對積分∫f(x)g(x)dx，如果函數(shù)f(x)經(jīng)過多次求導(dǎo)，結(jié)果等于0，或者結(jié)果是f(x)，可以用如下計(jì)算方法：

對f(x)函數(shù)多次求導(dǎo)，對g(x)函數(shù)多次積分，然后依次用斜線連接上下兩行的函數(shù)，該項(xiàng)的符號由左向右依次為正負(fù)相間隔，然后寫出積分關(guān)系式，得到的結(jié)果中可以含有積分符號。

例1求不定積分∫(x3+3x)exdx.

解 被積函數(shù)可以看做兩個函數(shù)的乘積，x3+3x可以多次求導(dǎo)，而ex可以多次積分，用列表法求不定積分。

因此不定積分

∫(x3+3x)exdx=(x3+3x)ex+(3x2+3)ex+6xex+6ex+C=x3ex+3x2ex+9xex+9ex+C

例2求不定積分∫e2xcosxdx.

解 被積函數(shù)是乘積形式，但是cosx與e2x都不能經(jīng)過多次求導(dǎo)而結(jié)果是0，但是它們求導(dǎo)之后又會回到最初的形式，也可以用列表的方法。

在例1中，求導(dǎo)的結(jié)果最終是0，0和下面一行中的函數(shù)相乘的積分結(jié)果還是0，因此可以直接寫出整個積分的結(jié)果；例2中cosx求導(dǎo)兩次的時候，形式仍然是cosx，這時候得到的是一個關(guān)系式，左右兩側(cè)都含有不定積分，移項(xiàng)得到需要的結(jié)果[2]。

2 列表法適用的類型

1.適用于∫Pn(x)eαxdx，∫Pn(x)sinxdx，∫Pn(x)cosxdx，其中Pn(x)是n次多項(xiàng)式。在用列表法的時候，Pn(x)可以多次求導(dǎo)，直至導(dǎo)數(shù)等于零，而eαx,cosx,sinx都可以多次積分。

2.適用于∫Pn(x)1nxdx，∫Pn(x)αrcsinxdx，∫Pn(x)αrccosxdx，其中 1nx，αrcsinx，αrctanx 可以求導(dǎo)，而 Pn(x)可以多次積分。

3.適用于∫sinαxebxdx，∫cosαxebxdx，任意選取需要求導(dǎo)的函數(shù)，求導(dǎo)兩次之后的形式與最初相同，這時候得到關(guān)于積分的一個關(guān)系式，移項(xiàng)整理后就可以得到不定積分的結(jié)果，不定積分后需加常數(shù)C。

使用列表法的時候，具體要算到哪一步，根據(jù)情況而定。

3 列表法的評價

列表法的優(yōu)點(diǎn)是:只針對函數(shù)乘積中的某一個函數(shù)多次求導(dǎo)或積分，消除了在應(yīng)用分部積分時，既有積分又有求導(dǎo)的弊端。

列表法也有它的缺點(diǎn)：列表法有一定的局限性，對于特定的類型能取到較好的效果。但是如反三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，就不能使用列表法。

[1]錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].湖北：湖北辭書出版社,2009.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

1004-7026（2017）09-0147-01

0172.2

A

DOI：10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.09.094