孫禹鋒 陳鳳騰 韋 欣

（徐州工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 徐州 221000）

漸開線直齒圓柱齒輪修形優(yōu)化探討

孫禹鋒 陳鳳騰 韋 欣

（徐州工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 徐州 221000）

為了減小齒輪嚙合過程中的接觸應(yīng)力，在傳統(tǒng)齒廓修形理論的基礎(chǔ)上，以嚙合齒輪的傳動誤差最小為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用 遺傳算法對齒輪的修形參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)采用有限元分析的方法對修形前后的齒輪進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明，在確保滿足齒輪傳誤差最小的條件下，用該方法確定的齒輪優(yōu)化修形參數(shù)，可以減小齒輪嚙合過程中的齒根處44.43%接觸應(yīng)力。

直齒圓柱齒輪；遺傳算法；有限元分析；傳動誤差；接觸應(yīng)力

齒輪傳動是機(jī)械傳動中重要的傳動之一，而實(shí)際齒輪的傳動往往受到齒輪失效因素的影響，因此提出齒輪齒廓修形來減小齒輪變形對傳動產(chǎn)生的影響。國內(nèi)外不少學(xué)者對齒輪齒廓修形進(jìn)行了大量研究，Muthusamy Nataraj利用ANSYS軟件建立嚙合齒輪，并分析齒輪修形前后的應(yīng)力變化及分布；國內(nèi)的楊延力、周志峰等人詳細(xì)地給出了齒輪齒廓修形參數(shù)的計(jì)算方法；孫建國基于有限元計(jì)算齒輪修形對嚙入沖擊的影響。

上述研究雖然提出了齒輪修形參數(shù)的確定方法，但是沒有考慮實(shí)際狀況造成齒輪的傳遞誤差對修形參數(shù)的影響。而在實(shí)際應(yīng)用中，傳動齒輪由于振動而引起疲勞斷裂的可能性會急劇增加，嚴(yán)重危及了傳動齒輪的壽命。故本文以齒輪齒廓修形為基礎(chǔ)，采用遺傳算法，以減小齒輪傳動誤差波動為目標(biāo)，優(yōu)化齒輪修形參數(shù)，并應(yīng)用ANSYS軟件對優(yōu)化前后齒輪分析和驗(yàn)證。

1 漸開線齒輪修形參數(shù)

齒輪齒廓修形的具體操作方法就是把原來的漸開線齒廓在接近齒根圓角或者齒頂?shù)牡胤叫奕ズ苄∫徊糠?，使其偏離理論齒廓。該修形可減輕主動輪與從動輪之間，由受載變形所引起的嚙合沖擊以及傳動誤差。

目前齒輪齒廓修形通常有以下兩種方法：一種方法是在一個(gè)齒輪的齒頂和齒根上進(jìn)行修形，相嚙合的另一個(gè)齒輪不進(jìn)行修形；另一種方法是同時(shí)對嚙合齒輪進(jìn)行修形。齒廓修形主要圍繞圖，中三個(gè)基本要素最大修形量修形長度L和修形曲線展開。三要素的修形示意圖如圖1所示：

圖1 齒輪修形參數(shù)圖

圖2 修改后齒輪參數(shù)修形圖

本文選擇傳動誤差最小為優(yōu)化的目標(biāo)，可以化簡計(jì)算的過程，在結(jié)合袁哲等人的方法前提下，對齒輪修形三要素進(jìn)行改進(jìn)。令主從動齒輪的最大修形量分別為Sp和Sg，修形角度分別為使齒輪修形參數(shù)如圖2所示。

設(shè)m為齒輪模數(shù)，則齒輪齒形修整量一般為0.02m以下，修整高度為0.6m以下。把修整高度換算成修形角度，得到修形角度和修形量的最大值分別為64.331m和0.06m，最小值為應(yīng)用遺傳算法在0.01和10范圍內(nèi)搜索最佳修形量。

2 確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

eA能夠轉(zhuǎn)化為嚙合線上的位移，表示為e，設(shè)從動輪的基圓半徑為rb2，即：

如果傳動過程中沒有產(chǎn)生振動，那么e的值就恒為零。但是實(shí)際的齒輪傳動中，振動是不可避免的，所以需要將齒輪傳動誤差e控制在一個(gè)很小的范圍以內(nèi)變化。若假設(shè)齒輪嚙合過程中產(chǎn)生的最大傳動誤差為emax，那么對任意嚙合點(diǎn)i處到最大值嚙合點(diǎn)的傳動誤差的波動為：

令齒輪法向增加為正，在對齒輪修形的過程中，設(shè)嚙合齒輪對在嚙合點(diǎn)i的修形量之和為pi，該嚙合點(diǎn)齒輪對的綜合變形量為則：

從式（5）中可以看出，在任意嚙合點(diǎn)位置，若要使齒輪的振動越小，齒輪那一點(diǎn)的修形量之和pi，與這一點(diǎn)的綜合變形量的差ei就要越接近傳動誤差的最大值。

為了讓傳動誤差最小，為此將其作為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用單目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解。

遺傳算法是一種自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索算法，應(yīng)用算法求解問題時(shí)，在編碼規(guī)則、適應(yīng)度函數(shù)和遺傳算子確定以后，算法能夠利用計(jì)算過程中解的變化自動發(fā)現(xiàn)空間的特征和規(guī)律。遺傳算法具有實(shí)用、高效、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，并且在解決非線性、多目標(biāo)優(yōu)化等模型上體現(xiàn)出較好的性能，適合齒輪齒廓修形的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

根據(jù)上述分析，建立遺傳算法模型如下：

step1編碼機(jī)制：采用二進(jìn)制碼的方式進(jìn)行編碼，將修形參數(shù)Sp和Sg都一個(gè)視為精度為64的染色體，其中每個(gè)參數(shù)的精度為16，分別如下：

step3目標(biāo)函數(shù)：采用上文建立的以嚙合齒輪的傳動誤差最小，即式（5）為遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)：

step4適應(yīng)度函數(shù)：由于本文研究的是最小值問題，因此設(shè)置適應(yīng)度函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)相同，適應(yīng)度函數(shù)值越高的染色體被選中的機(jī)會越大。

step5復(fù)制：遺傳算法中的復(fù)制是指從種群中選擇生命力強(qiáng)的個(gè)體，并將其遺傳到下一代的過程，本文中該過程可以選擇采用俄羅斯輪盤賭法即通過每個(gè)個(gè)體的選擇概率，計(jì)算累計(jì)概率。第k個(gè)個(gè)體的累計(jì)概率為然后產(chǎn)生0到1之間的隨機(jī)數(shù))進(jìn)行比較來決定選擇個(gè)體。

step6交叉：交叉現(xiàn)象模擬了生物進(jìn)化中的繁殖現(xiàn)象，通過兩個(gè)舊的染色體的交叉互換產(chǎn)生新的染色體。本文采用隨機(jī)的方式在兩個(gè)染色體之間隨機(jī)選擇兩個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行互換。

step7變異：變異運(yùn)算模擬生物在自然繁殖過程中由于偶然因素引起的突變，若沒有，則無法在初始基因組合以外的空間進(jìn)行搜索，將會使算法陷入早期局部最優(yōu)解而終止運(yùn)算。定義Pm為變異操作的概率，本文中取變異概率Pm=0.05。即每次染色體交換以后，通過變異算子以概率Pm隨機(jī)反轉(zhuǎn)任意一個(gè)基因位的二進(jìn)制字符，產(chǎn)生新的染色體。

3 計(jì)算實(shí)例與討論

3.1 原始齒輪應(yīng)力分析

在Pro/E建立一對漸開線嚙合齒輪的三維模型，其中齒輪基本參數(shù)模數(shù)m＝4，齒數(shù)z＝20，其他參數(shù)如表1所示，將完成的模型導(dǎo)入ANSYS軟件中。

表1 齒輪基本參數(shù)表

齒輪動態(tài)瞬時(shí)接觸分析基本參數(shù)設(shè)置如下，齒輪材料為結(jié)構(gòu)剛、使用默認(rèn)的網(wǎng)格劃分方法，并對齒輪嚙合面處使用sizing進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化。

3.1.1 邊界條件進(jìn)行設(shè)置：設(shè)定轉(zhuǎn)動副載荷，主動輪轉(zhuǎn)動副載荷設(shè)置為轉(zhuǎn)速；從動輪轉(zhuǎn)動副載荷設(shè)置為轉(zhuǎn)矩，分別為10rad/ s、

3.1.2 接觸函數(shù)的選擇與設(shè)置：本文齒輪嚙合表面接觸函數(shù)選擇為加強(qiáng)拉格朗日函數(shù)，摩擦系數(shù)設(shè)置為0.2；法向剛度因子FKN，由于齒輪的接觸主要為體格體積上的問題，因此FKN參數(shù)選擇為1。

設(shè)置完成后，點(diǎn)擊求解得到如圖3所示的應(yīng)力云圖：

圖3 未修形前齒輪應(yīng)力云圖

從圖3中可以很明顯看到齒根處的應(yīng)力為74.594。說明齒根處受到了很大的應(yīng)力，極有可能造成齒根斷裂等失效現(xiàn)象。

3.2 齒輪修形參數(shù)優(yōu)化計(jì)算

在確定了理論修形量之后，還應(yīng)該通過上文建立的遺傳算法模型結(jié)合實(shí)際的模擬，確定最佳修形量。對于最佳修形量的確定，本文在理論修形量0.014mm的基礎(chǔ)上，通過每次增加0.001mm和減少0.001mm的方法改變遺傳算法中最大修行量的取值范圍，分別做4組，如表2所示最大修形量S取0.010～0.017mm，然后利用遺傳算法模型對各組進(jìn)行優(yōu)化搜索，得到各a值如表2所示。選擇Walker修形曲線的齒廓參數(shù)方程，對原齒輪進(jìn)行齒廓修形，Walker修形曲線的表達(dá)式為：

保持原始齒輪在ANSYS中的設(shè)置不變，對各修形量下的齒輪進(jìn)行模擬分析，并得出模擬的齒根接觸最大應(yīng)力如表2：

表2 齒輪修形結(jié)果對比表

通過比較各組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)a＝66.375，既傳統(tǒng)修形量為0.016mm時(shí)，以齒根處的應(yīng)力最小為45.588MPa，減小了31.32%。說明修形后齒根處受應(yīng)力已經(jīng)得到的顯著的減小。此時(shí)，修形后齒輪齒根受力云圖如圖4所示：

圖4 修行后齒輪應(yīng)力云圖

4 結(jié)語

（1）轉(zhuǎn)化了齒輪修形基本參數(shù)，將其與遺傳算法進(jìn)行結(jié)合，考慮了以傳動誤差最小為目標(biāo)，精 確快速地確定齒輪的修形參數(shù)從結(jié)果顯示，優(yōu)化設(shè)計(jì)后的修形參數(shù)能夠較大幅度地減小齒輪的應(yīng)力；（2）分別建立了標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪和修形齒輪的瞬時(shí)動態(tài)有限元分析模型，仿真齒輪嚙合中應(yīng)力變化。對比多次修形前后齒輪的應(yīng)力減少，得到當(dāng)齒根處的最大應(yīng)力從61.2991MPa下降為45.588MPa，效率為31.32%，即傳統(tǒng)修形量為0.016mm時(shí)修形效果最好。

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（責(zé)任編輯：黃銀芳）

TH123

1009-2374（2017）07-0037-03

10.13535/j.cnki.11-4406/n.2017.07.017

孫禹鋒（1995-），男，浙江人，徐州工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院本科學(xué)生，研究方向：機(jī)械CAD/CAE。

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