張 穎 傅 強(qiáng)

一、引言

目前,常用的分位數(shù)回歸模型的估計(jì)方法分為兩類。一類是直接進(jìn)行優(yōu)化求解,如單純形法和內(nèi)點(diǎn)法。另一類是借助于貝葉斯原理進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

直接優(yōu)化求解屬于頻率學(xué)派的范疇,是傳統(tǒng)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。經(jīng)典估計(jì)方法將參數(shù)視為固定常數(shù),然后利用最小二乘或極大似然等方法計(jì)算參數(shù)的估計(jì)值,得到參數(shù)的漸近分布和統(tǒng)計(jì)性質(zhì),并進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。貝葉斯學(xué)派與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)法在參數(shù)估計(jì)的原理上存在不同。貝葉斯學(xué)派將待估參數(shù)視為隨機(jī)變量,利用貝葉斯原理和觀測(cè)樣本得到參數(shù)的后驗(yàn)分布。在無(wú)法得到參數(shù)后驗(yàn)分布的具體表達(dá)形式時(shí),采用重復(fù)抽樣技術(shù)解決參數(shù)的估計(jì)問題。因此,相對(duì)于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)對(duì)樣本量的敏感,貝葉斯統(tǒng)計(jì)在小樣本情形下也能得到可靠的參數(shù)信息。與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法的另一區(qū)別是貝葉斯方法在估計(jì)中加入了參數(shù)的先驗(yàn)信息。合適的先驗(yàn)分布可提高估計(jì)的精度。而當(dāng)無(wú)先驗(yàn)信息可提供時(shí),參數(shù)后驗(yàn)分布的估計(jì)會(huì)和最小二乘估計(jì)量一致,并不會(huì)影響到估計(jì)量的良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

總之,貝葉斯估計(jì)可以充分利用樣本信息以及參數(shù)的先驗(yàn)信息,是簡(jiǎn)單有效地獲得參數(shù)后驗(yàn)分布的方法。從損失函數(shù)最小化出發(fā),Koenker和 Machado(1999)［1］將分位數(shù)回歸與貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷相結(jié)合,首次建立了服從非對(duì)稱拉普拉斯分布ALD(Asymmetric Laplace Distribution)的誤差項(xiàng)和目標(biāo)參數(shù)的似然函數(shù)之間的關(guān)系。Yu和Moyeed(2001)［2］完善了這一方法,并詳細(xì)證明了求損失函數(shù)最小等價(jià)于誤差項(xiàng)服從ALD時(shí)最大化似然函數(shù)。

在分位數(shù)回歸的CAViaR模型中,貝葉斯方法的應(yīng)用也越來(lái)越普遍?；诓粚?duì)稱拉普拉斯分布,Hsu(2010)［3］討論了CAViaR模型中參數(shù)的先驗(yàn)選擇,并利用MCMC方法完成了對(duì)模型的貝葉斯分析。曾惠芳(2011)［4］利用三階傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)擬合CAViaR模型中的非參部分,研究了上證綜指周數(shù)據(jù)的在險(xiǎn)價(jià)值VaR?；贑hou(2005)［5］提出的日內(nèi)極差(CARR)模型,Chen等(2012)［6］建立了極差以及閥值范圍值(TRV,Threshold Range Value)的CAViaR模型。他們采用亞太經(jīng)濟(jì)合作體的五國(guó)的市場(chǎng)指數(shù)數(shù)據(jù)(S＆P500,Nikkei225,TAIEX,HIS,KOSPI) 以及兩國(guó)匯率數(shù)據(jù)(歐元對(duì)美元和日元對(duì)美元),發(fā)現(xiàn)貝葉斯CAViaR模型比傳統(tǒng)的CAViaR能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)VaR,且優(yōu)于歷史模擬法及參數(shù)模型(GARCH和RiskMetrics) 方法。陳磊等(2013)［7］對(duì)布倫特原油價(jià)格的實(shí)證表明,貝葉斯CAViaR模型比傳統(tǒng)的CAViaR模型對(duì)油價(jià)風(fēng)險(xiǎn)VaR的預(yù)測(cè)更好,根據(jù)平均相對(duì)偏差和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)資本要求發(fā)現(xiàn),不對(duì)稱CAViaR模型可以有效刻畫油價(jià)VaR的動(dòng)態(tài)變化。王新宇等(2013)［8］構(gòu)建了有變點(diǎn)的CAViaR模型,提出變點(diǎn)的SAV和IGARCH模型的貝葉斯推理及MCMC實(shí)現(xiàn),并檢驗(yàn)了創(chuàng)業(yè)板指數(shù)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因首次限售解禁而發(fā)生的結(jié)構(gòu)改變。這些研究表明,與傳統(tǒng)的優(yōu)化求解相比,貝葉斯方法能更好地估計(jì)CAViaR模型的參數(shù)。

張穎等(2012)［9］提出GJR-CAViaR模型研究收益對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不對(duì)稱影響,彌補(bǔ)了AS-CAViaR和TARCH-CAViaR模型設(shè)定中在參數(shù)限制上的不足,并利用實(shí)證指出在GJR、AS及TARCH三種CAViaR模型中,GJR-CAViaR模型的樣本內(nèi)預(yù)測(cè)結(jié)果總體效果較好。但是,尚未有文獻(xiàn)提出如何進(jìn)行GJR-CAViaR模型參數(shù)的貝葉斯推斷。GJR-CAViaR模型屬于遞歸的分位數(shù)回歸方程,模型的非線性及半?yún)⑿栽斐韶惾~斯估計(jì)比較復(fù)雜,而且,不對(duì)稱拉普拉斯分布屬于非標(biāo)準(zhǔn)的分布,只有將模型參數(shù)的滿條件分布轉(zhuǎn)化為常用已知分布,才能借助于Gibbs抽樣來(lái)估計(jì)參數(shù)。因此,有必要對(duì)如何解決這類模型的貝葉斯估計(jì)提出分析框架。本文提出GJR-CAViaR模型的貝葉斯估計(jì)的算法實(shí)現(xiàn),并基于Gibbs抽樣建立上證綜指日收益率的GJR-CAViaR模型參數(shù)估計(jì)。

二、分位數(shù)回歸的貝葉斯估計(jì)理論基礎(chǔ)

（一）分位數(shù)回歸理論

Koenker和 Bassett(1978)［10］提出了分位數(shù)回歸理論,該理論是對(duì)中位數(shù)回歸的擴(kuò)展。假設(shè)線性回歸方程為:

定義誤差項(xiàng)u的損失函數(shù)ρ(u)如式(2)所示。其中,I(u)為指示函數(shù),0＜τ＜1。

分位數(shù)回歸估計(jì)的目標(biāo)是損失函數(shù)最小,其目標(biāo)函數(shù)表示如式(4)。

可以看出,分位數(shù)回歸對(duì)正負(fù)誤差項(xiàng)賦予了不同的權(quán)重。當(dāng)τ＝0.5時(shí),式(4)的目標(biāo)函數(shù)將簡(jiǎn)化為誤差項(xiàng)的絕對(duì)值之和最小(least absolute deviation,LAD),也就是傳統(tǒng)上的中位數(shù)回歸。

目標(biāo)函數(shù)式(4)不可微,因此無(wú)法得到模型的解析解。這個(gè)時(shí)候只能通過線性規(guī)劃或者貝葉斯的方法來(lái)求解。

（二）貝葉斯分位數(shù)回歸

Yu和Moyeed(2001)［2］的研究是該領(lǐng)域最重要的文獻(xiàn)之一。他們給出貝葉斯分位數(shù)回歸的原理,并基于不對(duì)稱拉普拉斯分布建立分位數(shù)回歸模型的貝葉斯估計(jì)框架。

拉普拉斯分布以皮埃爾—西蒙·拉普拉斯的名字命名。標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)稱的拉普拉斯分布是由兩個(gè)具有同樣的位置參數(shù)的獨(dú)立同分布的指數(shù)分布背靠背拼接在一起,也被稱為雙指數(shù)分布。一般化的拉普拉斯分布考慮了分布的非對(duì)稱性,Yu和Moyeed(2001)［2］給出服從不對(duì)稱拉普拉斯分布的隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)表示,如式(5)。

式(5)中,σ＞0是尺度參數(shù)(scale parameter),μ是位置參數(shù)(location parameter),0＜p＜1是偏度參數(shù)(asymmetrc parameter),ρp(x－μ)是損失函數(shù),定義如式(2)。x滿足不對(duì)稱拉普拉斯分布,記作x～ALD(μ,σ,p) 。

隨機(jī)變量x的分位數(shù)函數(shù)為

可以看出,

式(7)說(shuō)明隨機(jī)變量x的p分位數(shù)等于其位置參數(shù)μ,這個(gè)就是ALD分布可作為分位數(shù)回歸模型的誤差分布的依據(jù)。而偏度參數(shù)p就是式(2)中的分位數(shù)水平τ。

對(duì)于線性回歸模型yi＝x＇iβ＋ui,假定模型的殘差項(xiàng)u服從不對(duì)稱拉普拉斯分布,ui～ALD(0,σ,τ)。根據(jù)拉普拉斯分布的線性變換性質(zhì),yi～ALD(x＇iβ,σ,τ) 。則因變量y的概率密度函數(shù)可表示成式(8)。

則樣本y＝(y1,y2,…,yn)的似然函數(shù)可表示成式(9)。

其中,

可以看出,求分位數(shù)回歸的損失函數(shù)最小化等價(jià)于式(9)的似然函數(shù)的最大化。貝葉斯分位數(shù)回歸的關(guān)鍵就是利用誤差項(xiàng)的非對(duì)稱的拉普拉斯分布,將對(duì)損失函數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為對(duì)似然函數(shù)的求解。

Yu和Moyeed(2001)［2］還證明了即使待估參數(shù)β的先驗(yàn)分布是不真實(shí)的分布(Improper distribution),只要β滿足p(β)∝1,那么β的后驗(yàn)分布就是真實(shí)分布(Proper distribution)。也就是說(shuō),β的后驗(yàn)密度函數(shù)p(β｜y)存在,y是觀測(cè)值。即:

MCMC模擬所必須遵循的原則就是參數(shù)的后驗(yàn)分布是真實(shí)分布,但對(duì)參數(shù)的先驗(yàn)分布并沒有這個(gè)要求。所以,在貝葉斯分位數(shù)回歸中,即使參數(shù)的先驗(yàn)分布設(shè)定為均勻分布,得到的后驗(yàn)分布也是真實(shí)的,不會(huì)對(duì)MCMC的估計(jì)結(jié)果造成影響。

三、GJR-CAViaR模型的貝葉斯估計(jì)理論

張穎等(2012)［9］提出的GJR-CAViaR模型是基于CAViaR模型的不對(duì)稱收益模型,就正負(fù)收益對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)VaR的不對(duì)稱性建模,并定量描述此影響的不對(duì)稱程度。模型的設(shè)定如下:

當(dāng)利用如式(15)的目標(biāo)函數(shù)估計(jì)參數(shù)β的時(shí)候,也就是執(zhí)行分位數(shù)回歸的時(shí)候,gt(β)就是yt的τ條件分位數(shù)(τ是分位數(shù)水平),即在險(xiǎn)價(jià)值VaR。但是,我們并不知道gt(β)的具體形式,只知道gt(β)的演化方程如式(13)。

下面討論GJR-CAViaR模型的Gibbs抽樣。Gibbs抽樣是將多變量抽樣轉(zhuǎn)化為對(duì)滿條件分布進(jìn)行單變量抽樣的算法,重點(diǎn)是如何推斷出條件分布。以不對(duì)稱拉普拉斯分布為基礎(chǔ)的半?yún)⒌姆治粩?shù)回歸模型CAViaR模型的貝葉斯推斷很難得到參數(shù)的解析后驗(yàn)分布,也就是說(shuō),無(wú)法得到參數(shù)解析的滿條件分布,不能直接使用Gibbs抽樣來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的模擬。因此,需要引入其他標(biāo)準(zhǔn)的分布來(lái)得到模型參數(shù)解析的滿條件分布,并實(shí)現(xiàn)模型的Gibbs抽樣。文獻(xiàn)中主要通過兩種方式解決這個(gè)問題。其一,利用混合正態(tài)分布與有偏的拉普拉斯分布(skewed-laplace)的等價(jià)關(guān)系(Tsionas,2003［11］),推導(dǎo)出不同參數(shù)的后驗(yàn)邊緣分布,解決拉普拉斯分布對(duì)應(yīng)的貝葉斯分位數(shù)回歸問題。其二,把不對(duì)稱拉普拉斯分布表示成標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的組合,實(shí)現(xiàn)貝葉斯分位數(shù)回歸(Kozumi和 Kobayashi,2011［12］)。不對(duì)稱拉普拉斯分布和常用的正態(tài)分布及指數(shù)分布存在如下關(guān)系。假設(shè)隨機(jī)變量ε服從于不對(duì)稱拉普拉斯分布,z服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布z～E(1),u是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,u～N(0,1)。則有式(16)成立。

其中,

式(17)與(18)中的τ就是式(15)分位數(shù)回歸中的分位數(shù)水平τ。Kozumi和 Kobayashi(2011)［12］指出 Tsionas(2003)［11］的方法有兩點(diǎn)不足。其一,算法會(huì)產(chǎn)生高度相關(guān)的抽樣點(diǎn)從而降低有效性；其二,當(dāng)樣本量很大的時(shí)候運(yùn)算速度慢。故本文選擇 Kozumi和 Kobayashi(2011)［12］的方法來(lái)處理不對(duì)稱拉普拉斯分布的問題。根據(jù)式(12),假設(shè)隨機(jī)變量ε服從不對(duì)稱拉普拉斯分布,則GJR-CAViaR模型可等價(jià)表示為

當(dāng)引入尺度參數(shù)σ時(shí),上式可改寫為

令vt＝σ zt,則vt～E(σ),上式重新寫作

在給定vt的時(shí)候,yt服從均值為gtβ()＋θ vt,方差為φ2σ vt的條件正態(tài)分布。此時(shí),可求得y＝(y1,…,yn)的聯(lián)合密度函數(shù)為

假定參數(shù)β的先驗(yàn)分布為正態(tài)分布,σ的先驗(yàn)分布為逆伽馬分布,σ～I(xiàn)G(n0/2,s0/2),其中,n0,s0為固定常數(shù),則β的滿條件分布也是正態(tài)分布,并可推導(dǎo)出下面的結(jié)論:vt的滿條件分布為逆高斯分布。

其中,

同時(shí),σ的滿條件分布為逆伽馬分布。

其中,

從上述推導(dǎo)結(jié)果可以看到,模型各個(gè)參數(shù)的滿條件分布都服從常用的已知分布。這時(shí),就可以利用Gibbs方法模擬并構(gòu)造馬爾科夫鏈,具體步驟如下:

第一步,選擇參數(shù)的初始值,β0＝

第二步,從條件正態(tài)密度函數(shù)f(β0｜y,σ,v)中抽取隨機(jī)數(shù),記作β1。

第三步,從條件逆伽馬密度函數(shù)f(σ｜y,β1,v)中抽取隨機(jī)數(shù),記作σ1。

第四步,從條件逆高斯密度函數(shù)f(v｜y,β1,σ1)中抽取隨機(jī)數(shù),記作v1。

由此成功完成一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移,參數(shù)變?yōu)?β1,σ1,v1)。利用這個(gè)新值,重復(fù)步驟1到步驟4,完成新的參數(shù)的迭代。如此重復(fù)N次,直到得到穩(wěn)定的馬爾科夫鏈,就可以得到參數(shù)的后驗(yàn)分布及估計(jì)結(jié)果。

四、GJR-CAViaR模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

王新宇等(2010)［13］以及邸俊鵬(2013)［14］都利用模擬數(shù)據(jù)證明了在分位數(shù)回歸貝葉斯推理中,估計(jì)量依賴于尺度參數(shù)的設(shè)置。將尺度參數(shù)σ參數(shù)化,可以降低參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差,提高被估系數(shù)的估計(jì)精度。這里,我們不再構(gòu)造模型進(jìn)行模擬分析,直接將尺寸參數(shù)σ看作待估變量。在實(shí)證部分,利用同花順軟件下載上證綜指的日收盤價(jià)數(shù)據(jù),計(jì)算日收盤指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率。

自1996年12月16日開始,中國(guó)股市開始實(shí)行漲停板制度。樣本區(qū)間選擇為:1996年12月16日至2014年12月31日。因?yàn)榉讲詈艽蟮恼龖B(tài)分布可近似為均勻分布,設(shè)定參數(shù)的先驗(yàn)分布為方差大的正態(tài)分布,β0～N(0,100),尺度參數(shù)σ的先驗(yàn)分布服從逆伽馬分布,σ～I(xiàn)G(10－5,10－5)。Gibbs抽樣共模擬20 000次,去掉前面10 000個(gè)抽樣值,利用后面的10 000個(gè)點(diǎn)計(jì)算參數(shù)估計(jì)值。本文涉及的抽樣方法通過R軟件和WinBUGS軟件實(shí)現(xiàn)。

（一）不同置信水平下GJR-CAViaR模型的參數(shù)估計(jì)

在樣本區(qū)間內(nèi),選擇最近的300個(gè)樣本①對(duì)于貝葉斯推斷,估計(jì)結(jié)果對(duì)樣本量的大小不太敏感。在邸俊鵬(2013)［14］的論文中,當(dāng)樣本量大于200時(shí)Gibbs抽樣估計(jì)的參數(shù)的偏誤和標(biāo)準(zhǔn)差都比較小。因此,基于充足樣本量的考慮,本文選取最近的300個(gè)上證綜指日收益率的數(shù)據(jù)。,即:2013年7月25日至2014年12月31日的收益率數(shù)據(jù),計(jì)算99%置信水平下GJR-CAViaR模型的參數(shù)估計(jì)值。表1列出了估計(jì)參數(shù)的后驗(yàn)均值、標(biāo)準(zhǔn)差、蒙特卡洛誤差以及95%的貝葉斯置信區(qū)間。

對(duì)Gibbs抽樣算法的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)有三種方式:接受率、收斂性以及抽樣的精度。我們的實(shí)證以收斂性作為判斷的標(biāo)準(zhǔn)。若馬爾科夫鏈?zhǔn)諗?則我們認(rèn)為Gibbs模擬值是真實(shí)后驗(yàn)分布的合理近似。簡(jiǎn)單地,可以從抽樣值軌跡直觀地對(duì)抽樣分布進(jìn)行檢驗(yàn)。如果抽樣值估計(jì)在某值附近上下波動(dòng),則該馬爾科夫鏈?zhǔn)諗?。另?抽樣值的相關(guān)性太強(qiáng)將導(dǎo)致算法無(wú)法到達(dá)參數(shù)的整個(gè)空間。若隨著滯后階數(shù)的增加,自相關(guān)系數(shù)趨于零,該馬爾科夫鏈?zhǔn)諗俊?/p>

表1 99%置信水平下模型參數(shù)的Gibbs抽樣估計(jì)值

圖1至圖5是樣本容量為300時(shí),不同參數(shù)在0.01分位點(diǎn)下的抽樣軌跡和核密度圖。圖中顯示不同參數(shù)的抽樣序列都比較集中,在小范圍內(nèi)上下波動(dòng),因此抽樣值構(gòu)成的馬爾科夫鏈均收斂。

圖1 β0的MCMC抽樣值軌跡和核密度圖

圖2 β1的MCMC抽樣值軌跡和核密度圖

圖3 β2的MCMC抽樣值軌跡和核密度圖

圖4 β3的MCMC抽樣值軌跡和核密度圖

圖5 σ的MCMC抽樣值軌跡和核密度圖

圖6和圖7分別給出了樣本容量為300時(shí),在0.01分位點(diǎn)下,各參數(shù)抽樣值的自相關(guān)圖。從圖中可以看出,隨著滯后期的增加,自相關(guān)系數(shù)逐漸趨近于零。

圖6 β0，β1的自相關(guān)圖

圖7 β2，β3的自相關(guān)圖

由于馬爾科夫鏈?zhǔn)諗?因此各參數(shù)的估計(jì)結(jié)果可靠?；谕瑯拥臉颖?我們還計(jì)算了0.05分位點(diǎn)下各參數(shù)的Gibbs抽樣算法的估計(jì)值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,0.05分位點(diǎn)的各參數(shù)的抽樣值軌跡以及自相關(guān)圖與0.01分位點(diǎn)的結(jié)果類似,馬爾科夫鏈均收斂。參數(shù)的抽樣值估計(jì)圖及自相關(guān)圖略。表2給出了0.05分位點(diǎn)下各參數(shù)的Gibbs抽樣的估計(jì)值。

從表1和表2的估計(jì)結(jié)果看,1%VaR以及5%VaR的GJR-CAViaR模型的所有參數(shù)的后驗(yàn)均值都位于95%的后驗(yàn)置信區(qū)間內(nèi),說(shuō)明在5%顯著性水平下各參數(shù)是顯著的。也就是說(shuō),中國(guó)證券市場(chǎng)VaR具有自回歸的特征,即當(dāng)前風(fēng)險(xiǎn)的大小會(huì)受到前一期風(fēng)險(xiǎn)的影響。且存在收益對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不對(duì)稱效應(yīng),負(fù)收益對(duì)VaR的影響更大。

表2 95%置信水平下模型參數(shù)的Gibbs抽樣估計(jì)值

（二）不同樣本容量的估計(jì)結(jié)果

為了考察不同樣本容量的貝葉斯估計(jì)結(jié)果,對(duì)于全樣本區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù),分別選擇最近的500個(gè)、800個(gè)、1 000個(gè)以及2 000個(gè)樣本估計(jì)GJR-CAViaR模型的參數(shù),并計(jì)算99%置信水平以及95%置信水平下的參數(shù)估計(jì)值。

表3 99%置信水平下不同樣本容量的參數(shù)的Gibbs抽樣估計(jì)值

續(xù)前表

參數(shù)的MCMC抽樣軌跡以及抽樣值的自相關(guān)性顯示,所有的參數(shù)抽樣構(gòu)成的馬爾科夫鏈都是收斂的,參數(shù)的估計(jì)結(jié)果都是可靠的。

從表3和表4的MCMC參數(shù)估計(jì)結(jié)果看,所有參數(shù)的后驗(yàn)均值都落在95%的后驗(yàn)置信區(qū)間內(nèi),因此,5%顯著性水平下各參數(shù)是顯著的。β1的值都比較高,β2是正數(shù),且β3顯著大于零。說(shuō)明在小樣本的情況下,仍然可以得出與大樣本相同的結(jié)論,即中國(guó)證券市場(chǎng)VaR具有自回歸的特征,當(dāng)前風(fēng)險(xiǎn)的大小受前一期風(fēng)險(xiǎn)值的影響較大。且存在收益對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不對(duì)稱效應(yīng),負(fù)收益對(duì)VaR的影響更大。而且,95%和99%置信水平下模型參數(shù)的估計(jì)結(jié)果顯示,所有估計(jì)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差都比較小。由于參數(shù)采用的是近乎無(wú)信息先驗(yàn)的正態(tài)分布,計(jì)算出的GJR-CAViaR模型的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差都比較小,也說(shuō)明了貝葉斯方法的有效性。

表4 95%置信水平下不同樣本容量的參數(shù)的Gibbs抽樣估計(jì)值

五、結(jié)論

通過不對(duì)稱拉普拉斯分布,本文探討了基于Gibbs抽樣的GJR-CAViaR模型的MCMC的算法實(shí)現(xiàn),并利用上證綜指的日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,發(fā)現(xiàn)中國(guó)證券市場(chǎng)VaR具有自回歸性質(zhì),且呈現(xiàn)出收益對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不對(duì)稱特征,且該性質(zhì)不受樣本容量和置信水平的影響。

本文關(guān)于不同樣本容量的Gibbs抽樣估計(jì)值的討論為參數(shù)的結(jié)構(gòu)變化提供了思路。在樣本分布不變的情況下,隨著樣本量的增加,參數(shù)的估計(jì)精度會(huì)隨之提高。當(dāng)我們的樣本從500、800、1 000增加到2 000的時(shí)候,參數(shù)的抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差并未出現(xiàn)隨著樣本量增加而越來(lái)越小的情況。而且,不同的樣本容量下,參數(shù)的估計(jì)值也有不同。如樣本量從1 000增加到2 000的時(shí)候,5%VaR的參數(shù)估計(jì)值的差異比較大。因此,在這個(gè)區(qū)間樣本的分布并不是保持不變的。此時(shí),選擇基于樣本容量為1 000的GJR-CAViaR模型去估計(jì)第1 001個(gè)交易日的VaR,或者選擇基于樣本容量為2 000的GJR-CAViaR模型去估計(jì)第1 001個(gè)交易日的VaR是值得思考的問題。在樣本分布沒有發(fā)生改變的情況下,樣本容量2 000的模型應(yīng)該是更好的選擇。如果樣本在這個(gè)區(qū)間內(nèi)發(fā)生了比較大的結(jié)構(gòu)變化,也許樣本容量較小而日期更近的模型會(huì)有更不錯(cuò)的結(jié)果。在CAViaR模型的估計(jì)樣本區(qū)間內(nèi)是否需要加入結(jié)構(gòu)參數(shù),如何確定區(qū)間內(nèi)樣本是否產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變化的問題,將是我們未來(lái)的研究方向。

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