陳昱

什么是“數(shù)學(xué)畫”？簡而言之，即兒童運用直觀之“形”表征抽象之“數(shù)”，從而幫助理解數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題，其立足點是兒童認知特點和數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)。所以說，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)既有兒童趣味，又深蘊數(shù)學(xué)真味，是引導(dǎo)兒童認知逐漸“數(shù)學(xué)化”的過程。

一、“數(shù)學(xué)畫”的形態(tài)

1.畫數(shù)學(xué)，促進概念理解。

（1）畫“數(shù)”。在第一學(xué)期起步階段，教師只是要求孩子“畫出心目中的數(shù)學(xué)”，比如：學(xué)習(xí)了自然數(shù)的認識，孩子回家畫出自己心目中的“數(shù)”。從孩子們的畫作看，只有個別孩子表現(xiàn)的是“數(shù)像什么”（如圖1），或者將數(shù)字擬人化（如圖2），大多數(shù)孩子都畫出了“數(shù)是什么”（如圖3），少數(shù)用同一幅畫既表示出“數(shù)像什么”又表示出“數(shù)是什么”（如圖4）。有一個孩子一口氣畫出6種不同場景表示“0”，既有“1個也沒有”、也有“起點”的含義，生動活潑，極富想象力和童趣（如圖5）。

（2）畫“生活中的數(shù)學(xué)”。國慶節(jié)假期孩子們觀察生活，畫出“生活中的數(shù)學(xué)”，很有意思，每幅畫都是兒童視角下的多彩數(shù)學(xué)（如圖6、圖7）。

（3）畫加減法。后來，孩子們逐漸學(xué)會用簡單的數(shù)學(xué)符號表達數(shù)學(xué)含義，畫加減法的算式意義。在不斷進步的同時，他們漸漸形成了自己的“數(shù)學(xué)畫”風(fēng)格，這可以從畫連加、連減的畫作對比中清楚分辨（如圖8、圖9）。

2.畫思路，輔助問題解決。到了一年級下學(xué)期，孩子們已經(jīng)會用“數(shù)學(xué)畫”輔助解決一些思考題，也就是畫出問題的思路。我們深刻感受到，“數(shù)學(xué)畫”不僅因其形象直觀、富有童趣而被孩子們廣泛喜愛和接受，更重要的是通過數(shù)形結(jié)合，特別是幾何直觀，將比較復(fù)雜、困難的問題變得簡單、容易，能夠培養(yǎng)學(xué)生有序思考、大膽猜想、勇于嘗試、逐步抽象等能力，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維拐杖。

（1）送給小明多少支彩筆？

（2）這幢樓一共有幾層？

二、“數(shù)學(xué)畫”的特點

1.“數(shù)學(xué)畫”回歸兒童視角。

心理學(xué)研究表明，7～8歲是兒童概念性工具發(fā)展的一個決定性轉(zhuǎn)折點，這個階段兒童的運演已經(jīng)不再受自我中心和中心化的影響，逐漸具有可逆性、守恒性以及依賴于實物的整體性，處于這一階段的兒童很難回答“a比b長，b比c長，誰最長？誰最短？”的問題，但借助實物就可以回答。我們在實踐中發(fā)現(xiàn)，圖畫可以達到實物同樣的效果?！皵?shù)學(xué)畫”教學(xué)契合了低年級兒童認知規(guī)律，讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)回歸兒童視角，更有利于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

發(fā)現(xiàn)兒童是教育的前提，是教育成功的密碼，也是教師的最高境界，“課程的方式應(yīng)該是兒童的生活方式。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該回歸兒童視角，鼓勵兒童用自己喜歡的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。兒童是天生的畫家，幾乎每個孩子都喜歡涂鴉，當(dāng)他們用動物、植物、人物、景物乃至簡單的圖形、符號等這些自己熟悉的形象表達自己所理解的數(shù)學(xué)知識時，他們的心情是愉悅的，思想是自由的。

孩子們創(chuàng)作的一幅幅數(shù)學(xué)畫滿蘊濃濃的兒童趣味：在兒童眼中，數(shù)學(xué)不是灰色的、枯燥的，而是彩色的、有趣的；數(shù)學(xué)不是冰冷的、生硬的，而是溫暖的、豐潤的。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)只有回歸兒童視角才能走向高效。

2.“數(shù)學(xué)畫”尊重個性差異。

我們認識并充分尊重兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的差異性，允許他們在各自的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上、從已有經(jīng)驗出發(fā)、采用自己擅長的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、表現(xiàn)數(shù)學(xué)、解決問題，尤其強調(diào)獨立思考，并在自我反思和同伴交流中不斷進步。下面以“豆豆在哪兒”為例具體說明：

（1）尊重學(xué)生思維的層次性差異。針對配套練習(xí)冊問題：27個小朋友排成一排，豆豆排在正中間的位置，從左往右數(shù)，豆豆排第（ ）；從右往左數(shù)，豆豆排第（ ）。每位學(xué)生都能通過“數(shù)學(xué)畫”解決問題，作品呈現(xiàn)出多種思維層次，大體可分成兩大類：（1）將27個人（也有用毛毛蟲、蘋果等代替）一個一個全部畫出來的；（2）只畫出部分人的。

第1類也分為不同的層次：①僅僅畫出27個并指出豆豆位置的；②標有相關(guān)數(shù)字和箭頭等符號表明思路的；③圖文并茂，專門用文字和算式說明思路的。

第2類蘊含的數(shù)學(xué)思考更加豐富和有價值，反映的數(shù)學(xué)思維更有品質(zhì)。表面上看，好像不如第1類完整美觀，但只要問問小作者是怎么想的，立馬令人驚喜！

生1：我畫了7個后不夠畫了，我不想重畫，就想啊想，還剩20人，心里知道每邊站10人，所以豆豆在從左往右第14個，從右往左也是第14個。（如圖14）

生2：因為27太多了，畫不下。我想，27里有20和7，20是雙數(shù)，很好分；7是單數(shù)，不好分；只要把7分好就行了?。ㄈ鐖D15）

生3：27人太多了，畫不下，我就畫個長方形表示10人，兩邊就是20人，剩下的一邊一個分21、22、23、24、25、26，正好分完，最后第27個不能分，放在中間，就是豆豆。（如圖16）

（2）尊重學(xué)生思維的形象性差異。低年級兒童在用“數(shù)學(xué)畫”解決問題過程中，啟動其形象思維，會根據(jù)自己的生活經(jīng)驗和喜好賦予數(shù)學(xué)抽象以個性化的直觀形象，讓兒童的數(shù)學(xué)思考附著在具體物象上，幫助兒童理順問題的內(nèi)在關(guān)系，解決問題。所以同樣的問題，甚至同樣的思維層次，展現(xiàn)的形象卻各不相同。有人物、蘋果、籃球、毛毛蟲等，也有簡化小人、幾何圖形等，形象各異。

3.“數(shù)學(xué)畫”鼓勵想象和創(chuàng)新。

創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中。古希臘哲學(xué)家亞里士多德認為：想象力是發(fā)明、發(fā)現(xiàn)及其他創(chuàng)造活動的源泉；中國學(xué)者吳克楊說：想象力不是生來就有的先天素質(zhì)，而是后天開拓的結(jié)果，它是完全能夠培養(yǎng)的一種能力。“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)新意識。

（1）先想后畫——留給兒童自由想象的空間?！皵?shù)學(xué)畫”落筆之前需要思考，所以一直多以家庭作業(yè)方式出現(xiàn)，而且不設(shè)限制，鼓勵孩子“想怎么畫就怎么畫”，只需圍繞主題（某個數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)問題）即可，留給孩子充分的思考時間和想象空間。思考的自由避免了思維的束縛，激發(fā)了想象的力量，為孩子們的創(chuàng)造打開大門。

（2）邊想邊畫——引導(dǎo)兒童借助圖畫輔助思考。對兒童而言，“數(shù)”是抽象的、難以理解和把握的；“形”是直觀的、容易理解和探索的。數(shù)形結(jié)合的畫圖策略既可以幫助兒童理解數(shù)學(xué)概念，又可以輔助兒童分析數(shù)量關(guān)系、解決數(shù)學(xué)問題。

在畫圖分析的過程中，幾何直觀發(fā)揮巨大作用，形象直觀的“形”能有效促使兒童思考和發(fā)現(xiàn)，找到創(chuàng)造性思維的生發(fā)點，給予他們無窮的啟示。兒童就在這樣邊想邊畫、邊畫邊想中體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)、尋得問題的解決方法。

（3）畫過再想——教會兒童提升數(shù)學(xué)思維。

教學(xué)實踐表明，對某一知識和問題的反思整理有助于兒童從整體上把握分析問題、解決問題的方法，從而有機會超越方法產(chǎn)生策略，感悟數(shù)學(xué)思想，提升創(chuàng)造能力；而欣賞和評價同伴作品則能給予兒童很好的啟發(fā)，促使其優(yōu)化思考?！皵?shù)學(xué)畫”展評便具有這樣的作用：①在推介畫作中整理思路、完整表達，使思路和理解更清晰更深入。②在欣賞評價他人畫作中反思借鑒，使思考更全面更優(yōu)化。③在改進畫作中體會進步，使思考更積極更愉悅。

“數(shù)學(xué)畫”溝通抽象與具象，打通已知與未知，連接生活與數(shù)學(xué)，鼓勵和培養(yǎng)兒童的創(chuàng)造性思維，兒童在“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)過程中不斷增進多種能力，最終使創(chuàng)新成為可能。

“數(shù)學(xué)畫”中絢麗的色彩、變化的形象都是兒童豐富想象力的表現(xiàn)，教師并沒有因其“失真”或不夠數(shù)學(xué)化而加以批評，代之以尊重基礎(chǔ)上的引導(dǎo)，增進數(shù)學(xué)思維的同時盡可能滿足兒童的心理需求。

三、“數(shù)學(xué)畫”的課堂展評

作為數(shù)學(xué)實踐作業(yè)，“數(shù)學(xué)畫”的課堂展評很重要。以第一種形態(tài)的“數(shù)學(xué)畫”為例，“畫數(shù)學(xué)”只是手段和方式，目的是促使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識、準確掌握數(shù)學(xué)概念。這樣的教學(xué)目標除了有賴于學(xué)生課堂上對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，有賴于課后在理解數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上的再創(chuàng)造，還要靠“數(shù)學(xué)畫”展評課來引導(dǎo)和落實。

“數(shù)學(xué)畫”展評課的大體流程是：（1）教師選擇典型“數(shù)學(xué)畫”課堂分層交流；（2）小作者推介畫作；（3）學(xué)生提問和評議，教師點撥和引導(dǎo)，小作者回答和改進。具體來說，“數(shù)學(xué)畫”展評課要做好三件事：

1.分享“我畫的是什么，為什么這么畫？”

在“數(shù)學(xué)畫”的課堂展示中，首先請作者說說“我畫的是什么，為什么這么畫”，從而了解作者對于所畫數(shù)學(xué)知識的理解情況，教師可以有針對性地加以提問和引導(dǎo)，力求突破學(xué)生的認識困難，掃清學(xué)習(xí)障礙，深化概念理解。

有些畫作，只有聽了作者的解說，我們才能看懂。比如圖17，這是一位小男孩的作品，畫的是他和爸爸在洗澡，老師問：“畫得不錯，可是這里有數(shù)學(xué)嗎？”男孩立即高聲答道：“有數(shù)學(xué)呀！老師，你知不知道我爸爸是怎么洗澡的？”老師捂嘴笑：“那我哪知道啊！”小男孩也得意地笑：“我爸爸可牛了！每次洗澡都帶我做‘洗澡操——1、2、3、4，2、2、3、4……”邊說邊比畫著搓澡動作……不用我多說了，孩子們眼中的數(shù)學(xué)是多么鮮活、多么有趣??！

有的畫作包含著小作者沒有意識到的數(shù)學(xué)含義，需要老師點撥。如圖18，小作者只提及樓房按照從高到矮可以排出第1～第5，老師可以順勢追問：“你是從高到矮排的，還可以怎么排？”“除了按高矮排，還可以按什么排？”啟發(fā)學(xué)生靈活思考：還可以從矮到高排序，也可以按照從左到右或從右到左的位置順序排序等。

有的畫作容易引起學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的誤解，需要老師“反例正用”。如圖19，小作者解說中序數(shù)第1～第5（花瓶從左往右順序）正好對應(yīng)著基數(shù)1～5（花瓶中花兒的朵數(shù)），容易造成思維定式，老師可以作如下處理：

（1）追問：那從右往左數(shù)，第1～5分別在哪？

（2）拿掉其中第4個花瓶里的1朵花，問：從左往右數(shù)它還在第4個嗎？為什么？

（3）打亂花瓶的位置，比如將一開始第2瓶花移到最后，問：現(xiàn)在它排第幾？

（4）小組討論：剛才按位置排序，插2朵花的花瓶有可能在第2，有可能不在第2；如果要使插2朵花的花瓶不論怎么數(shù)都是第2個，應(yīng)該按什么排？（按花的數(shù)量從少到多排）

2欣賞“他畫的是什么，可不可以這么畫？”

同樣的數(shù)學(xué)知識，不同學(xué)生理解不同、表達也不同。相互交流作品，多元表征，利于學(xué)生全面認識數(shù)學(xué)概念。

數(shù)字“0”，甲同學(xué)：1杯果汁喝完，是0杯；乙同學(xué)：2只小鳥從樹上飛走，是0只；丙同學(xué)：5個蘋果全部落下，樹上是0個蘋果……讓學(xué)生思考：“他畫的是什么？可不可以這么畫？”讓學(xué)生認識：原來0還可以這樣畫！

學(xué)生間互動分享，可以相互補充、相互啟發(fā)。如在展評課上，為了引導(dǎo)孩子們增進概念理解和數(shù)學(xué)思考，我和孩子們展開互動：

師（問圖20的小作者）：你的畫里有第1～5嗎？在哪呢？看不懂哦！

還沒等他回答，同桌站起來了：我知道！房頂有5層，我來指給你們看?。ㄗ愿鎶^勇地上臺，從上向下一路指）第1、第2、第3、第4、第5。

小作者笑了：可是我畫的是從底下往上面第1～5層。（臺上的立馬尷尬）

師：那他指錯了？這樣數(shù)出第1～5行嗎？（短暫的沉默）

小作者：也行！從下往上數(shù)和從上往下數(shù)出來的不一樣。

師：你上來指一指、數(shù)一數(shù)吧！

同桌：我倆有一個是一樣的！（眾人迷惑）

師：哪一個你倆一樣？

同桌：第3層的中間這里。（掌聲）

3.反思“還可以怎么畫，它到底表示什么意思？”

還以0為例，追問：“0還可以怎么畫？這樣畫下去能畫多少？”“為什么不同的圖畫表示的都是0？它們有什么共同點？”引導(dǎo)學(xué)生在之前學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上進一步觀察、比較、反思、概括，得出：0表示1個也沒有（還表示起點）。從而從具體情境中抽象出數(shù)0。如此，學(xué)生頭腦中才真正建立起0的概念，而不是停留在“0像鴨蛋圓又圓”的“認0”和“寫0”層面。像這樣借助形象直觀的圖畫輔助學(xué)生進行概括，符合兒童心理學(xué)相關(guān)理論。

臺灣名師吳如皓說：“曾經(jīng)有人問一個科學(xué)家，如何保持熱情？科學(xué)家回答：一是數(shù)學(xué)，二是數(shù)學(xué)，三還是數(shù)學(xué)。而我曾問學(xué)生最痛恨的學(xué)科是什么？學(xué)生回答：一是數(shù)學(xué)，二是數(shù)學(xué)，三還是數(shù)學(xué)?！蓖瑯邮菙?shù)學(xué)，為什么給科學(xué)家與學(xué)生的感受有如此大的反差？央視主持人崔永元曾說：“數(shù)學(xué)是噩夢?！本W(wǎng)上調(diào)查，竟有超七成網(wǎng)友支持數(shù)學(xué)退出高考……這些現(xiàn)象難道還不能促使我們好好反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)嗎？就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，基于兒童的心理特征和認知規(guī)律，既有兒童趣味又有數(shù)學(xué)味的教學(xué)才是受學(xué)生歡迎的，才是可持續(xù)的?！皵?shù)學(xué)畫”教學(xué)正是基于以上考慮的新嘗試。

責(zé)任編輯：徐新亮