張生蘭

2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心概念之二是符號意識，符號對于數(shù)學(xué)來說是特有的，它既是數(shù)學(xué)的語言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。符號意識是學(xué)習(xí)者在感知、認(rèn)識、運用數(shù)學(xué)符號方面所做出的一種主動性反應(yīng)，符號意識滲透著符號化的數(shù)學(xué)思想方法。本文對小學(xué)階段的符號化思想做一些介紹。

一、符號化思想的概念

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)語言是一種科學(xué)的語言，它使人表達(dá)問題時條理清楚、準(zhǔn)確、簡潔、結(jié)構(gòu)分明。數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界是一個符號化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計算、推理和解決問題的工具，數(shù)學(xué)符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)學(xué)有了符號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點，同時也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展；國際通用的數(shù)學(xué)符號的使用，使數(shù)學(xué)成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。

二、如何理解符號化思想

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較重視培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，并提出了幾點要求。那么，在小學(xué)階段，如何理解這一重要思想呢？下面結(jié)合案例做簡要解析。

第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號表示：a+b=b+a。再如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：S=ab。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。

第二，理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。如假設(shè)一個正方形的邊長是a，那么4a就表示該正方形的周長，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應(yīng)用模型的過程。

第三，會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關(guān)系一旦確定，便可以用數(shù)學(xué)符號表示出來，但數(shù)學(xué)符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數(shù)量關(guān)系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉(zhuǎn)換的。

第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)的運算和推理。能夠進(jìn)行正確的運算和推理是非常重要的數(shù)學(xué)基本功，也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。

三、符號化思想的具體應(yīng)用

數(shù)學(xué)的發(fā)展雖然經(jīng)歷了幾千年，但是數(shù)學(xué)符號的規(guī)范和統(tǒng)一卻經(jīng)歷了比較慢長的過程。如我們現(xiàn)在通用的算術(shù)中的十進(jìn)制計數(shù)符號數(shù)字0～9于公元8世紀(jì)在印度產(chǎn)生，經(jīng)過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數(shù)在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀(jì)韋達(dá)、笛卡爾和萊布尼茲等數(shù)學(xué)家逐步引進(jìn)和完善了代數(shù)的符號體系。

1、數(shù)與代數(shù)方面

阿拉伯?dāng)?shù)字：0～9；百分號%；千分號‰；用數(shù)軸表示數(shù)。

數(shù)的運算符號： +、-、×、÷、（ ） 、﹝﹞、﹛﹜、2（平方）、3（立方）。

數(shù)的大小關(guān)系：=、≈、>、<、≥、≤、≠。

運算定律：加法交換律a+b=b+a；加法結(jié)合律a+b+c=a+（b+c）；乘法交換律ab=ba；

乘法結(jié)合律 （ab）c=a（bc）；乘法分配律a（b+c）=ab+ac。

方程：ax+b=c。

數(shù)量關(guān)系：時間、速度和路程s=vt；數(shù)量、單價和總價a=np；正比例關(guān)系y/x=k；

反比例關(guān)系xy=k。

用表格表示數(shù)量間的關(guān)系；用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系。

2、空間與圖形方面

用字母表示計量單位：長度單位：km、m、dm、cm、mm；面積單位：km2、m2、dm2、cm2、mm2；質(zhì)量單位：t、kg、g。

用符號表示圖形、用字母表示點：三角形ABC，線段AB，直線CD，直線 L。

用符號表示角：∠1、∠2、∠3、∠4、∠ABC、∠A。

兩線段平行：AB∥CD；

兩線段垂直：AB⊥CD。

用字母表示公式：三角形面積S=1/2ab；平行四邊形面積S=ah；梯形面積S=1/2（a+b）h；圓周長C=2πr；圓面積S=πr2；長方體體積v=abc；正方體體積v=a^3；圓柱體積v=sh；圓錐體積v=1/3sh

3、統(tǒng)計與概率方面

統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表：用統(tǒng)計圖表描述和分析各種信息。

可能性：用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小。

四、符號化思想的教學(xué)。

符號化思想作為數(shù)學(xué)最基本的思想之一，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)學(xué)生的符號意識作為必學(xué)的內(nèi)容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性在日常教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生在探索中歸納和理解數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。學(xué)生只有理解和掌握了數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵和思想，才有可能利用它們進(jìn)行正確的運算、推理和解決問題。

數(shù)學(xué)符號是人們在研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程中產(chǎn)生的，它來源于生活，但并不是生活中真實的物質(zhì)存在，而是一種抽象概括。一個數(shù)學(xué)符號一旦產(chǎn)生并被廣泛應(yīng)用，它就具有明確的含義，就能夠進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)運算和推理證明，因而它具有精確性。數(shù)學(xué)能夠幫助人們完成大量的運算和推理證明，但如果沒有簡捷的思想和符號的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡捷的符號參與了運算和推理證明，數(shù)學(xué)的簡捷性就體現(xiàn)出來了。如歐洲人12世紀(jì)以前基本上用羅馬數(shù)字進(jìn)行計數(shù)和運算，由于這種計數(shù)法不是十進(jìn)制的，大數(shù)的四則運算非常復(fù)雜，嚴(yán)重阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展和普及。直到12世紀(jì)印度數(shù)字及十進(jìn)制計數(shù)法傳入歐洲，才使得算術(shù)有了較快發(fā)展和普及。數(shù)學(xué)符號的發(fā)展也經(jīng)歷了從各自獨立到逐步規(guī)范、統(tǒng)一和國際化的過程，最明顯的就是早期的數(shù)字符號從各自獨立的埃及數(shù)字、巴比倫數(shù)字、中國數(shù)字、印度數(shù)字和羅馬數(shù)字到統(tǒng)一的阿拉伯?dāng)?shù)字。數(shù)學(xué)符號經(jīng)歷了從發(fā)明到應(yīng)用再到統(tǒng)一的逐步完善的過程，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展；反之，數(shù)學(xué)的發(fā)展也促進(jìn)了符號的發(fā)展。因而，數(shù)學(xué)和符號是相互促進(jìn)發(fā)展的，而且這種發(fā)展可能是一個慢長的過程。因而，符號意識的培養(yǎng)也應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程中，并需要一定的訓(xùn)練才能達(dá)到比較熟練的程度。

參考文獻(xiàn)：

[1]《2011版小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》

[2]人教版一至六年級《小學(xué)數(shù)學(xué)教師參考用書》endprint