彭立君

(湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)，湖南 岳陽(yáng) 414000)

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例談物理解題中似是而非的“平均值”

彭立君

(湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)，湖南 岳陽(yáng) 414000)

本文通過(guò)解析兩例采用平均值求解物理問(wèn)題的過(guò)程,分析說(shuō)明平均值求解問(wèn)題的非一般性,當(dāng)命題中的物理量處于變化狀態(tài)時(shí)應(yīng)采用微元分析，化變化量為不變量進(jìn)行處理求解．

平均值； 均勻變化； 非一般性； 微元分析

當(dāng)量值處于變化狀態(tài)時(shí),“平均值”是一種習(xí)慣的思維方式．當(dāng)物理量處于均勻變化時(shí),采用平均值處理問(wèn)題也是物理解題中的一種常用方法．同樣,命題者在命題時(shí)也往往在問(wèn)題情景中設(shè)置均勻變化的物理量,促成解題時(shí)能夠使用平均值處理．但是平均值求解并非十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)方法,有時(shí)簡(jiǎn)單采用平均值處理可能會(huì)得到正確的答案,卻不一定正確理解了物理情景,有時(shí)不經(jīng)深思采用平均值進(jìn)行問(wèn)題的求解,則會(huì)造成問(wèn)題的錯(cuò)解．下面,從兩例問(wèn)題來(lái)思考如何正確看待物理解題中的“平均值”．

1 “平均值”帶來(lái)的解題失誤

圖1

例1.當(dāng)金屬的溫度升高到一定程度時(shí)就會(huì)向四周發(fā)射電子,這種電子叫熱電子,通常情況下,熱電子的初始速度可以忽略不計(jì)．如圖1所示,相距為L(zhǎng)的兩塊平行金屬板M、N接在輸出電壓恒為U的高壓電源E2上,M、N之間的電場(chǎng)近似為勻強(qiáng)電場(chǎng),a、b、c、d是勻強(qiáng)電場(chǎng)中4個(gè)均勻分布的等勢(shì)面,K是與M板距離很近的燈絲,電源E1給K加熱從而產(chǎn)生熱電子．電源接通后,電流表的示數(shù)穩(wěn)定為I,已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e．求:

(1) 電子達(dá)到N板瞬間的速度;

(2) 電子從燈絲K出發(fā)達(dá)到N板所經(jīng)歷的時(shí)間;

(3) 電路穩(wěn)定的某時(shí)刻,M、N之間運(yùn)動(dòng)的熱電子的總動(dòng)能．

本例題流轉(zhuǎn)于網(wǎng)絡(luò)、復(fù)習(xí)資料,甚至出現(xiàn)在大型考試中,無(wú)論是網(wǎng)絡(luò)、復(fù)習(xí)資料還是考試中的參考答案一律采用平均值求解,恰恰本例雖是一種均勻變化，卻不能采用平均值求解．

參考答案(第3問(wèn)為典型錯(cuò)解):

(1) 電場(chǎng)中加速,由動(dòng)能定理得

有沒(méi)有更讓人信服的方法求解呢?

圖2

不妨作出t0時(shí)間內(nèi)的帶電粒子的v-t圖像,如圖2所示．設(shè)t0為帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,則v0為帶電粒子到達(dá)右極板時(shí)的速度．同樣也可以把圖像看作是極板間所有粒子速度隨時(shí)間的分布．由于電流穩(wěn)定為I,在相等時(shí)間間隔內(nèi)通過(guò)截面的電荷量相等,故圖中取相等的時(shí)間間隔分析,其對(duì)應(yīng)的電荷數(shù)相等．

設(shè)板間電荷總量為Q,則Q=It．

板間粒子總動(dòng)能為

Ek總=∑Eki，

本例也可以直接從電場(chǎng)力做功等于動(dòng)能的增量的角度來(lái)處理．

設(shè)板間電荷總量為Q,把電荷量按時(shí)間順序均分為n等份，第n等份恰好到達(dá)N板,有

則第i等份到達(dá)的位置距離M板為

由動(dòng)能定理知,第i等份電荷量所具有的動(dòng)能為

2 “平均值”似是而非的巧合

圖3

例2.一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為L(zhǎng),磁場(chǎng)方向豎直向下,在光滑的水平面上,一個(gè)邊長(zhǎng)為a(a

本例題也是常見(jiàn)于各種復(fù)習(xí)資料、網(wǎng)絡(luò)中,看似一種不均勻變化,但又似乎能用平均值進(jìn)行處理．最簡(jiǎn)單的想法,當(dāng)然是相加除2．這是沒(méi)有情景思考的一個(gè)想法,也巧合了本題的答案．

本題常采用動(dòng)量定理求解．

對(duì)線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程分析,由動(dòng)量定理可知

對(duì)線框穿出磁場(chǎng)過(guò)程分析,由動(dòng)量定理可知

任取很短的一段時(shí)間Δti分析,由于時(shí)間很短電流可以看作不變量．

兩邊同乘以Δti，得

則這段時(shí)間內(nèi)流過(guò)導(dǎo)線截面得電荷量為

由此可知

從以上兩例的解析過(guò)程可知,“平均值”未經(jīng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评眚?yàn)證,并不能只根據(jù)想象就可以采用,它不是一種十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)方法,是一種經(jīng)驗(yàn)后的非一般性處理問(wèn)題方法．當(dāng)處理物理量發(fā)生變化的問(wèn)題時(shí),若未經(jīng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?不應(yīng)該采用“平均值”的方式處理,應(yīng)采用微元分析把變量轉(zhuǎn)換為不變量進(jìn)行問(wèn)題的分析．

本文系湖南省教育規(guī)劃課題“數(shù)學(xué)模型在中學(xué)物理教學(xué)中的建構(gòu)與應(yīng)用研究”(批準(zhǔn)號(hào)： XJK014CZXX077)的階段性成果.

2017-02-12)