廣東博羅縣園洲鎮(zhèn)星州雙語學(xué)校 鄧翠花
學(xué)生在初中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中,當(dāng)直接解題遇到瓶頸,無法突破時,學(xué)會適當(dāng)添加輔助線就變得至關(guān)重要。在初中八年級第十一章三角形單元,我選取“飛鏢”模型作為此次幾何模型探討課堂的課題(如圖)。
課前,我特地找了學(xué)生已經(jīng)做過幾道“飛鏢”模型的習(xí)題,在模型課前印好發(fā)給學(xué)生。
(課堂內(nèi)容精選)
師:同學(xué)們,這節(jié)模型課,我們的主題在你們手上的這張題卷中,課前請你們?nèi)プ隽诵〗M討論,給這些題目的圖形命名。
生:老師,這些圖形和上一次模型課的“飛鏢”模型很像
師:是的,我們今天要一起來探討的幾何模型也是這個“飛鏢”模型,這次是探討和三角形角有關(guān)的角。同學(xué)們,請看ppt。
已知∠A=5 10,∠B=2 00,∠C=300,求∠D的度數(shù)。
生:老師,這個∠D既不是某一個三角形的內(nèi)角,也不是某一個三角形的外角,這個要怎么算?
師:問得好!同學(xué)們,平時我們做幾何題,如果解題遇到瓶頸,無法繼續(xù)時,一般會怎么做?
生:(立刻有學(xué)生反應(yīng))做輔助線!
師:對!就是作輔助線,而且,就這道題來說,作輔助線的方法很多,請同學(xué)們用自己所學(xué),小組內(nèi)合作,10分鐘的時間,作出輔助線,并給出合理的解題過程。
(10分鐘后)
師:有沒有哪個小組來分享成果?(沒有人舉手)如果哪個小組分享的成果合理,這次我將用他們小組來命名他們的圖形哦,要不要試試?(學(xué)生們有些躍躍欲試)沒關(guān)系的,哪怕只是一點點思路也可以說說呀?。ㄗ诘谝慌乓粋€學(xué)生舉手了)
生:老師,元琛畫了。
師:元琛你能分享一下嗎?
?。豪蠋?,我只畫了輔助線,還沒有做解題過程。
師:你能上來畫一下嗎?
?。豪蠋?,我連接了BC。
師:嗯,對!我們來看看這個輔助線添上去之后,能不能幫助我們解題。(這個時候陳元琛又舉手了)
師:元琛,你有什么要說?
?。豪蠋?,你說我畫得對,那我就會解了。
(元琛寫下解題過程)
師:元琛,你的解題思路相當(dāng)清晰,過程很完整
師:那還有誰有思路嗎?(遼峰舉手了,我示意他起來。)遼峰,你有什么想法。
遼:我覺得可以延長BD,交AC于點E。
師:你能解嗎?
遼:有。
(遼峰寫下解題過程)
師:熟練地掌握了三角形外角的性質(zhì)(這個時候,偉才舉手了)我們的班長有話說!
才:老師,我們小組的和遼峰小組的很相似,我們延長CD交AB于F,解題過程也很相似。
師:輔助線也是可以的,解題過程也確實是和陳遼峰的小組的很相似,但是,老師覺得,這個也是你們小組的成果。現(xiàn)在已經(jīng)有三種輔助線了,還有沒有不一樣的思路?(這個時候譚圣宏看向我,但是沒有舉手)圣宏,你也來說說?
宏:老師,我是連接了AD,還沒想到怎么解。
師:方法很好!你還沒有解題方法,我們一起來想,看能不能做出來。有沒有人會?程:老師,我會。
(程寫下解題過程)
宏:哇!我只是這樣想想,沒想到也是一種方法,太厲害了!
師:有想法就相當(dāng)于成功來一半。其他的小組也要加油哦,還有誰來說說?振威,你來說說?
威:老師,我的和圣宏很像,比他的延長了一些。
∵∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE=∠C+∠CAD.
∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=∠B+∠C+∠BAC=200+300+510=1010
師:很好!不僅有輔助線的方案,還說清楚了解題過程,振威,很不錯哦!還有嗎?老師好激動呀!你們有這么多的方法!我們來看看其他同學(xué)的想法(青廷舉手了)
廷:老師,我想得到一種,我上去畫給你看。
師:這個想法很好呀!能解出來嗎?
廷:可以。
(青廷寫下解題過程)
師:很不錯哦,兩個小組的方案在你的腦袋里生出了新的方案。
師:遼峰,你還解題方法嗎?
遼:老師,我用平行線。
師:平行線?你能上來寫一下嗎?
遼:解:D作D E∥A B,過C作CF∥AB,則有DE∥CF
∴∠B=∠BDE
同理:∠A=∠ACF,∠EDC=∠DCF
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC=∠B+∠FCD
且∠FCD=∠DCA+∠ACF=∠DCA+∠A
∴∠BDC=∠B+∠DCA+∠A=200+30 0+510=1010
師:太厲害了!你把之前學(xué)習(xí)的平行線的知識也結(jié)合進(jìn)去了!(此時,班上響起了熱烈的掌聲)遼峰解法淺顯易懂,太精彩了!
師:這節(jié)模型課太精彩了,我們給自己掌聲(課室再次響起一片掌聲)!請看黑板,觀察我們這節(jié)課的“飛鏢”模型,目前為止,我們作出7種不同的方案,并且都能成功地解決這個問題。你們有收獲嗎?請觀察這些結(jié)論,∠D和∠A、∠B、∠C有怎樣的關(guān)系?
生:∠D=∠A+∠B+∠C
師:是的。這個結(jié)論,在小題中可以直接用,在解答題或證明題中是要重新證明的。老師這里有兩道題目(略)作為作業(yè),看自己是不是已經(jīng)掌握了“飛鏢”模型。下課!
(精選到此結(jié)束)
這種通過以前學(xué)習(xí)過的高頻習(xí)題,引出一個具有代表性的幾何模型,尋求不同的輔助線添加方案,以達(dá)到“一題多解”,再將這些被添加了輔助線的圖形還原真題,讓學(xué)生做類型題或變式題做鞏固,并總結(jié)出最快最有效輔助線,達(dá)到“多題歸一”的效果。這樣讓學(xué)生自己尋求解決方案的課堂模式,有利于調(diào)動學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極性與主動性,更增加了學(xué)生之間的合作交流,其中課堂上,學(xué)生們敏捷的思維也是讓我折服。
近年來,許多教育理念都在提倡“一題多解”,讓學(xué)生通過一題多解,找到解決問題的關(guān)鍵點,用最快捷,最巧妙的解題方法解決問題,這是其一;我認(rèn)為還有更關(guān)鍵的一點是,教師對“一題多解”題目的選取,如果能拿幾道題,像這節(jié)模型課一樣,總結(jié)出模型,再深入去觀察、分析、解決與反思,可以把各個階段所學(xué)的知識、知識的各個方面緊密聯(lián)系起來,加深對知識的理解,認(rèn)識和體會數(shù)學(xué)是一個整體,更重要的是能起到以一當(dāng)十,解一道題懂一類題的作用。這樣不僅提高了學(xué)習(xí)效率,更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,創(chuàng)新意識和探索精神,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力,學(xué)會學(xué)習(xí)!