王勇

絕對值不等式主要涉及絕對值三角不等式、絕對值不等式的解法與證明、利用不等式的“恒成立”“能成立”“恰成立”求解參數(shù)的取值范圍等. 下面結(jié)合典型例題對絕對值不等式?？碱}型分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

絕對值三角不等式的應用

例1 ，的最小值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 根據(jù)絕對值三角不等式得，

，

當且僅當，即時取等號.

，

當且僅當，即時取等號.

于是，，故所求最小值為3.

答案 C

例2 已知，且，，求證：.

分析 先將寫成，然后利用絕對值三角不等式求證即可.

解 ，

由絕對值三角不等式得，

，

即.

點評 本題將化為，既與已知條件掛鉤，又為利用絕對值三角不等式創(chuàng)造條件，是一石二鳥之舉.

絕對值不等式的求解與性質(zhì)

例3 設不等式的解集為，且，.

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的最小值.

解析 （1）因為，且，

所以，且.

解得，.

又因為，所以.

（2）由（1）知，函數(shù).

因為，

當且僅當，即時取等號，所以的最小值為3.

點評 本題第（1）問求解的關(guān)鍵是根據(jù)元素與集合的關(guān)系得到關(guān)于的兩個不等式；第（2）問需要先明確函數(shù)解析式，再利用絕對值三角不等式求最小值.

絕對值不等式的求解與不等式“恒成立”問題

例4 設.

（1）求的解集；

（2）若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

解析 （1）由得，

或

或

解得，

所以的解集為

（2）

當且僅當時取等號.

由不等式對任意實數(shù)恒成立得，

，即.

解得，，或.

故實數(shù)的取值范圍是.

點評 本題第（1）問利用“零點分段法”求解；第（2）問先利用絕對值三角不等式求出的最大值，再利用不等式恒成立原理得到，最后利用“零點分段法”求解即可.

絕對值不等式的求解與不等式“有解”問題

例5 已知函數(shù).

（1）當時，解關(guān)于的不等式；

（2）若，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

解析 （1）當時，可化為.

①當時，不等式可化為，解得，；

②當時，不等式可化為，無解；

③當時，不等式可化為，解得，.

故原不等式的解集為.

（2）由“，使得不等式成立”可得， .

又，

故.

解得，.

故所求實數(shù)的取值范圍是.

點評 本題第（1）問用“零點分段法”求解即可；第（2）問用到如下原理：一般地，若函數(shù)存在最值，則有實數(shù)解；有實數(shù)解；有實數(shù)解；有實數(shù)解.

絕對值不等式的求解與綜合性問題

例6 設實數(shù)均滿足不等式組

（1）證明：；

（2）比較的大小，并說明理由.

解析 （1）解不等式得，

或

解得，.

解不等式得，，

解得，.

所以原不等式組的解集為.

則.

所以，

即

（2），理由如下.

由（1）得，，則.

因為

所以，即

點評 本題將含有絕對值不等式的解法與證明融為一體，所用技法屬于通性通法，考生應切實掌握. 而不等式證明的基本方法（比較法、綜合法、分析法），考生也應熟練掌握，不宜追求深奧險怪.