李平++趙捷++楊利倩

概率與統(tǒng)計(jì)極易與隨機(jī)變量的分布列（含條件概率、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布等）、定積分、規(guī)劃問題、常用邏輯用語等交匯，是高考必考且屬于中等偏易的內(nèi)容，也是務(wù)必掌握好的內(nèi)容. 本文從四個(gè)方面的整合出發(fā)，以舉例的形式加以說明.

概率統(tǒng)計(jì)與集合（電路）的整合

例1 某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.

[一次

已知這位顧客中的一次購物量超過件的顧客占.

（1）確定的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；

（2）求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過分鐘的概率（將頻率視為概率）.

解析 （1）由已知得，

.

該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為一個(gè)容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為：（分鐘）.

（2）記為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過分鐘”，分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為分鐘”.

根據(jù)題意將頻率視為概率得，

.

是互斥事件，

.

故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過分鐘的概率為.

點(diǎn)評(píng) 兩事件至少有一個(gè)發(fā)生（和事件）對(duì)應(yīng)集合（或物理中并聯(lián)電路），和事件的概率對(duì)應(yīng)集合的“容斥原理”；兩事件同時(shí)發(fā)生（積事件）對(duì)應(yīng)集合（或物理中串聯(lián)電路）；事件的對(duì)立事件對(duì)應(yīng)集合的補(bǔ)集（即）；基本事件空間對(duì)應(yīng)構(gòu)成全集，事件的對(duì)立事件的概率對(duì)應(yīng)于. 利用集合語言、集合運(yùn)算與集合的思想，去理解事件及其概率的運(yùn)算，很容易把所求事件進(jìn)行分解，進(jìn)而利用所學(xué)知識(shí)，得到所求事件的概率，這是一種便捷、行之有效的方法.

概率統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)方法的整合

例2 一盒中裝有張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中張卡片上的數(shù)字是，張卡片上的數(shù)字是，張卡片上的數(shù)字是. 從盒中任取張卡片.

（1）求所取張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；

（2）表示所取張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（注：若三個(gè)數(shù)滿足，則稱為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù).）

解析 （1）由古典概型中的概率計(jì)算公式知，所求概率為.

（2） 的所有可能值為

而，

，

，

故的分布列為

[ ]

從而.

點(diǎn)評(píng) 概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)變量分布列、計(jì)數(shù)方法相整合，是高考的必備題型. 離散型隨機(jī)變量的分布列的書寫，離不開概率的計(jì)算，此種類型概率計(jì)算往往是“古典概型”. 而“古典概型”概率的計(jì)算往往要用到計(jì)數(shù)方法——加法原理、乘法原理、排列與組合.

概率統(tǒng)計(jì)與規(guī)劃問題的整合

例3 給定正數(shù)，然后隨意寫出兩個(gè)小于的正實(shí)數(shù)（這兩個(gè)數(shù)可以相等），求這兩個(gè)數(shù)與一起能構(gòu)成銳角三角形的概率.

解析 設(shè)寫的兩個(gè)數(shù)為，依題意知，要滿足

而能構(gòu)成銳角三角形（其中為最大的邊），應(yīng)滿足的條件是

作出上述不等式組表示的幾何區(qū)域如下圖.

則能構(gòu)成銳角三角形的概率為

.

點(diǎn)評(píng) “幾何概型”是必修概率章節(jié)中的基礎(chǔ)內(nèi)容，“幾何概型”事件的概率為區(qū)域的“測(cè)度比”，不等式組的平面區(qū)域是“幾何概型”的重要素材，這種整合也是近年來高考的常態(tài).

概率統(tǒng)計(jì)與定積分的整合

例4 如圖，在邊長(zhǎng)為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為________.

解析 因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于正方形的對(duì)角線所在直線對(duì)稱，

設(shè)圖中兩塊陰影部分的面積為.

方法1：.

方法2：.

故根據(jù)幾何概型的概率公式得，該粒黃豆落到陰影部分的概率.

點(diǎn)評(píng) 定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，這使得滿足“幾何概型”的事件的概率的計(jì)算與定積分整合成為可能.