劉忠君

在學(xué)習(xí)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的過(guò)程中，要強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，重視思想與方法的提煉，加強(qiáng)題型的積累與知識(shí)的應(yīng)用.

點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)

例1 取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸.

（1）點(diǎn)的極坐標(biāo)是 ，點(diǎn)的直角坐標(biāo)是 ；

（2）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是 ，點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是 ，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是 .

解析 （1）由互化公式得，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.

（2）畫出坐標(biāo)系（圖略），由對(duì)稱性得，，，.

點(diǎn)評(píng) 利用互化公式，將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)較為容易，而將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，唯一確定，但由（）確定角時(shí)，一般應(yīng)根據(jù)點(diǎn)所在的象限取最小正角. 另外，第（2）問(wèn)也可推廣，即點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)為.

極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化

例2 （1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)兩條曲線與分別交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).

解析 （1）∵，

∴，即.

∴. 化簡(jiǎn)得，.

（2）方法1：由得，.

又，

∴.

∴.

由得，A（1，0），.

由距離公式得，.

方法2：聯(lián)立與解得，

.

又，∴，或.

∴A（1，0），B（1，）. 畫出圖形（略），由余弦定理得，.

點(diǎn)評(píng) 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的條件是：極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正方向重合且長(zhǎng)度單位一致. 其次，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，通常要進(jìn)行一系列的變形（如三角恒等變形），構(gòu)造出形如，，等式子，然后進(jìn)行整體代換. 注意：在對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此要對(duì)變形過(guò)程加以檢驗(yàn). 另外，在直接利用極坐標(biāo)方程求解（如方法2）時(shí)，一要注意極角的范圍，二要結(jié)合圖形，否則容易出錯(cuò).

參數(shù)方程與普通方程的互化

例3 當(dāng)時(shí)，參數(shù)方程（為參數(shù)）表示的圖形是 .

解析 方法1：原方程可化為①，②，兩式相除得，③.

將③式代入②式中并化簡(jiǎn)得，方程（），其圖形是橢圓（除掉點(diǎn)（0，-1））.

方法2：原方程可化為，.

令（，），

則 消去得，（），其圖形是橢圓（除掉點(diǎn)（0，-1））.

點(diǎn)評(píng) 將參數(shù)方程化為普通方程，應(yīng)根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒? 常見(jiàn)的消參方法有：代入消參法、三角消參法和變換法. 在消參的過(guò)程中，要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)的取值范圍的限制（即參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性）.

曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的求法

例4 在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，半徑為2的圓的圓心的極坐標(biāo)為（2，）.

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程.

解析 （1）設(shè)是圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OM于H點(diǎn)，則Rt△COH中，OH=OC·cos∠COH.

∵∠COH=∠COM=，OH=OM=，OC=2，

∴=2cos，即為所求的圓C的極坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為，∵，

∴P的極坐標(biāo)為（）.

代入圓C的極坐標(biāo)方程得，=4cos（），即.

∴，此方程即為點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程.

點(diǎn)評(píng) （1）求曲線的極坐標(biāo)方程的一般步驟：①建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)；②由曲線上的點(diǎn)所滿足的條件，建立關(guān)于極徑與極角之間的關(guān)系式（或方程）；③將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程；④檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求.

（2）本例是在準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征的基礎(chǔ)上，直接在極坐標(biāo)系中進(jìn)行變換求解的. 另外，求曲線的極坐標(biāo)方程時(shí)，也可先求曲線的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

例5 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，中心為（3，0），一個(gè)焦點(diǎn)在直角坐標(biāo)原點(diǎn). 當(dāng)橢圓的過(guò)直角坐標(biāo)原點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為時(shí)，求弦所在的直角坐標(biāo)方程.

解析 橢圓的方程為，其極坐標(biāo)方程為.

設(shè)過(guò)直角坐標(biāo)原點(diǎn)的弦的所在的直線的傾斜角為，弦的兩端點(diǎn)分別為，，

則有，.

又由題意得，.

所以.

解得，.

所以，或.

所求直線方程為，或.

點(diǎn)評(píng) 本例在處理過(guò)橢圓中心的弦長(zhǎng)時(shí)，用極坐標(biāo)方法比直角坐標(biāo)方法要簡(jiǎn)便的多. 另外，圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為（為離心率，為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）.當(dāng)時(shí)表示橢圓，當(dāng)時(shí)表示拋物線，當(dāng)時(shí)表示雙曲線. 用此方程解決與圓錐曲線有關(guān)的某些問(wèn)題，可避免復(fù)雜的計(jì)算.

例6 如圖，已知拋物線，A（-1，0），過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且直線上的點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

解析 設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入拋物線方程得，，化簡(jiǎn)得，.

設(shè)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，

則，.

由韋達(dá)定理得，，.

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則.

由得，.

∴，即.

∴，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

點(diǎn)評(píng) 本例既可看作是“參數(shù)法”求曲線方程的一個(gè)實(shí)例，也可看作是直線的參數(shù)方程的應(yīng)用. 解決此類問(wèn)題時(shí)，一要熟練掌握常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程形式和參數(shù)的意義，二要把握題設(shè)中的條件與參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系. 注意，參數(shù)可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變量，也可以是沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變量.

曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用

例7 （1）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離等于 .

（2）已知直線：（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)，則= .

解析 （1）由互化公式得，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為，直線對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為，故所求距離為1.

（2）直線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式即為（為參數(shù)），曲線的方程可化為.

將，代入并化簡(jiǎn)得，

.

由韋達(dá)定理得，，.

故.

點(diǎn)評(píng) 在極坐標(biāo)系中求解距離問(wèn)題，一是轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的距離求解，二是在極坐標(biāo)系中構(gòu)造三角形，利用余弦定理求解. 同理，參數(shù)方程問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為普通方程問(wèn)題求解. 注意：直接利用直線的參數(shù)方程求解時(shí)，一定要將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式（為參數(shù)），并注意參數(shù)的幾何意義.

例8 （1）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）. 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線，直線（其中滿足，）. 若曲線與的公共點(diǎn)都在上，則= .

（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）. 在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為. 若圓C與直線相切，則= .

解析 （1）由題意知，曲線的普通方程是，①

曲線的直角坐標(biāo)方程是，②

直線的直角坐標(biāo)方程是.

①-②得，.

由題意知，此方程即為的方程.

故.

又，所以.

（2）直線的普通方程為.

由題意得，，解得，，或6.

點(diǎn)評(píng) 涉及參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問(wèn)題，求解方法通常是分別轉(zhuǎn)化為普通方程與直角坐標(biāo)方程后求解. 極坐標(biāo)方程在轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)注意兩坐標(biāo)系之間的關(guān)系，同時(shí)還要考慮，的限制條件與題中的隱含條件.