王鵬，胡潔儀，陳劍波

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

低秩矩陣恢復(fù)的近似迭代再加權(quán)算法

王鵬，胡潔儀，陳劍波

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

低秩矩陣恢復(fù)問題常常正則化為非凸非光滑的最優(yōu)化問題，并用迭代再加權(quán)算法求解.本文借助跡算子的次梯度提出了一種近似算法，避免了求解線性方程組而直接求解.

低秩矩陣恢復(fù)；迭代再加權(quán)；SVD分解

低秩矩陣恢復(fù)是近年來計(jì)算數(shù)學(xué)和信息科學(xué)中的一個(gè)熱門研究領(lǐng)域，相關(guān)成果廣泛應(yīng)用于圖像處理、子空間分割、協(xié)同濾波等領(lǐng)域.低秩矩陣恢復(fù)問題一般表述為

本文將上述問題正則化為以下非凸非光滑的優(yōu)化問題：

1 預(yù)備知識

為了求解式（1），首先引入它的一種光滑近似形式[1]929：

引理1[4]設(shè)，其中函數(shù)是正交不變函數(shù)，是一個(gè)絕對對稱函數(shù)，則在是次可微的，并且

由式（3）并結(jié)合跡算子的凹凸性[5]可知為凹函數(shù)，則為凸函數(shù).由次梯度的定義得：

關(guān)于光滑函數(shù)的李普希茲連續(xù)有如下引理：

引理2[6]設(shè)是李普希茲連續(xù)可微函數(shù)，李普希茲常數(shù)為L(f)，則對于任意的可得：

2 主要結(jié)果

本部分將給出求解最優(yōu)化問題（2）的近似迭代再加權(quán)算法，并結(jié)合式（6）和（7）給出Xk+1的迭代格式.

我們得到的低秩矩陣恢復(fù)的近似迭代再加權(quán)算法如下：

4）更新權(quán)重Wk+1，，其中，

5）輸出低秩矩陣kX.

對于低秩矩陣恢復(fù)問題，現(xiàn)有算法多將原非凸問題正則化為凸優(yōu)化問題，然而，非凸正則化要比凸正則化效果更好.本文將迭代再加權(quán)算法用于低秩恢復(fù)問題求解，借助跡算子的次梯度避免了求解線性方程組而直接求解.

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[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Proximal Iteratively Reweighted Algorithm for Low Rank Matrix Recovery

WANG Peng, HU Jie-yi, CHEN Jian-bo
(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

Low rank matrix recovery is often regularized into a non-convex and non-smooth optimization problem, which can be solved with iteratively reweighted algorithms.This paper proposes a proximal algorithm with the subgradient of trace operators, and consequently the problem can be solved directly and the system of linear equations can be disposed of.

low rank matrix recovery; iteratively reweighted algorithms; singular value decomposition

O189.1

A

1006-7302（2017）02-0006-03

2017-02-26

五邑大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目（2015ZK09）；廣東省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目（1134912031）.廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（30527003，JG2014010）；廣東省普通高校特色創(chuàng)新類項(xiàng)目(2016GXJK161).

王鵬（1980—），男，廣東江門人，講師，碩士，研究方向矩陣優(yōu)化計(jì)算、數(shù)字圖像處理與分析.