景 麗, 董秋陽

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

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具有執(zhí)行器飽和切換系統(tǒng)的控制

景 麗, 董秋陽

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

主要研究了一類具有執(zhí)行器飽和的切換系統(tǒng)的控制問題,探究當(dāng)切換系統(tǒng)中執(zhí)行器出現(xiàn)飽和時(shí),系統(tǒng)要達(dá)到漸近穩(wěn)定需要滿足的充分條件,并證明所得結(jié)論。首先,針對(duì)執(zhí)行器飽和系統(tǒng),處理飽和項(xiàng)至關(guān)重要。利用扇形區(qū)域法的思想,成功解決飽和項(xiàng)的處理問題。其次,為系統(tǒng)選擇適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù),進(jìn)而研究獲得執(zhí)行器飽和切換系統(tǒng)的的漸近穩(wěn)定判據(jù)。然后,為使求解更加方便快捷,對(duì)獲得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件做變形處理,將其轉(zhuǎn)換成線性矩陣不等式形式。最后,進(jìn)行吸引域大小的估計(jì),結(jié)合相應(yīng)的仿真算例,證明了研究成果是有效可行的。

切換系統(tǒng); 執(zhí)行器飽和; Lyapunov理論; 線性矩陣不等式

0 引 言

限制和約束廣泛存在于實(shí)際生產(chǎn)生活中,其中飽和執(zhí)行器會(huì)很大程度上對(duì)系統(tǒng)整體性能造成破壞,更嚴(yán)重的將引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。一些離散或連續(xù)的子系統(tǒng),在相應(yīng)切換規(guī)則的嚴(yán)格控制下,會(huì)巧妙組合成復(fù)雜的切換系統(tǒng)。本文針對(duì)具有執(zhí)行器飽和切換系統(tǒng)的控制問題進(jìn)行研究是十分必要的。對(duì)于飽和系統(tǒng)的研究成果十分豐富,如文獻(xiàn)[1-5]。文獻(xiàn)[6]是飽和控制系統(tǒng)研究中的重要成果,由Sontag等人在1990年完成,指出當(dāng)飽和線性系統(tǒng)的輸入有界漸近零可控時(shí),系統(tǒng)將達(dá)到全局穩(wěn)定,此時(shí)將有光滑非線性控制器出現(xiàn)在系統(tǒng)之中。文獻(xiàn)[7-10]以執(zhí)行器飽和線性系統(tǒng)研究成果為基礎(chǔ),進(jìn)一步探究飽和對(duì)切換系統(tǒng)的影響,用凸優(yōu)化問題解決吸引域大小的估計(jì)。

本文主要研究執(zhí)行器飽和切換系統(tǒng)的控制問題,巧妙地將執(zhí)行器飽和與切換系統(tǒng)相結(jié)合,在飽和項(xiàng)的處理,控制器的設(shè)計(jì)方面均有良好的突破。

1 問題描述

考慮執(zhí)行器飽和切換系統(tǒng):

(1)

其中:x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量;u∈Rm為控制輸入向量;Ai,Bi為適當(dāng)維數(shù)的常矩陣;i=1,2,…,N。飽和非線性函數(shù)sat(·)定義如下:

sat(u)=[sat(u1),sat(u2),…,sat(um)]T

其中δ>0。

引入狀態(tài)反饋控制律:

(2)

本文探究當(dāng)切換系統(tǒng)的執(zhí)行器出現(xiàn)飽和現(xiàn)象時(shí),系統(tǒng)想要達(dá)到穩(wěn)定所需滿足的條件。主要涉及到相應(yīng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)以及系統(tǒng)最大吸引域的估計(jì)。

下面給出進(jìn)行本文研究需要的相關(guān)定義、定理等。

定義1(橢球集合)[11]P>0,P∈Rn×n,ρ>0為標(biāo)量,定義橢球體為

定義3(吸引域)[11]假設(shè)系統(tǒng)的初始點(diǎn)和解分別為x(0)=x0∈Rn,φ(t,x0),那么系統(tǒng)的吸引域是:

1) S<0;

引理2[12]給定矩陣A、L、E、F, 若FTF≤I,則有以下不等式成立

其中:α>0,F>0。

2 執(zhí)行器飽和切換系統(tǒng)的控制及吸引域估計(jì)

2.1 執(zhí)行器飽和切換系統(tǒng)的控制

定理1 對(duì)于執(zhí)行器飽和切換系統(tǒng)(1),如果在控制器(2)作用下存在滿足如下不等式的矩陣Qi∈Rm×n,i=1,2,…,N和正定矩陣Ni>0,那么系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定。

證明 對(duì)于式(2),由范數(shù)的三角不等式性質(zhì)可得

[(Ai+BiKi)x+Biηisat(x)]TPix+xTPi[(Ai+BiKi)x+Biηisat(x)]=

令

(3)

(4)

由引理2得到

2.2 吸引域估計(jì)

根據(jù)定理1給出的系統(tǒng)穩(wěn)定條件,借助橢球體參考集進(jìn)行吸引域的估計(jì),進(jìn)而獲得最大的吸引域。

需要解決如下凸優(yōu)化問題:

(5)

(6)

(7)

其中式(5)是系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,式(6)將吸引域限制在橢球體內(nèi),式(7)表示橢球包含在多面體內(nèi)。

式(6)等價(jià)于

(8)

式(7)等價(jià)于

(9)

于是優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為

(10)

3 仿真算例

對(duì)于執(zhí)行器飽和切換系統(tǒng)(1)

令i=1,2, 取系統(tǒng)(1)的2個(gè)子系統(tǒng):

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣、輸入矩陣為

另外設(shè)

利用LMI工具箱求得式(10)的解,如下:

γ1=18.636 0, γ2=6.336 3,

系統(tǒng)初始狀態(tài)選為:x=(2,0.9)T, 系統(tǒng)(1)在狀態(tài)反饋控制器(2)的作用下漸近穩(wěn)定,如圖1、圖2所示。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

圖2 系統(tǒng)吸引域圖

4 結(jié) 論

本文所研究的是復(fù)雜的切換系統(tǒng),并且系統(tǒng)包含的執(zhí)行器飽和,這加大了系統(tǒng)研究的難度。執(zhí)行器飽和的飽和項(xiàng)處理問題運(yùn)用扇形區(qū)域法思想解決。基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,并利用線性矩陣不等式知識(shí),給出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定需要滿足的條件。選用橢球體為參考集,進(jìn)一步估計(jì)吸引域的大小。

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Control of switched systems with actuator saturation

JING Li1, DONG Qiuyang2

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

In this paper, we study a class of switched systems with actuator saturation. We mainly explore the stability criterion of the system when actuator saturation exists, and prove the conclusion. Firstly, how to dispose saturation is very important. We dispose saturation by using the sector region method. Secondly, according to the Lyapunov theory, the paper gets the stability criterion. Thirdly, the paper turns the criterion into the inequality in order to solve the problem by LMI tools in Matlab. Finally, the paper estimates the attraction domain of the system. It also provides a numerical example to demonstrate that the conclusion in this paper is effective and feasible.

switched system; actuator saturation; Lyapunov theorem; linear matrix inequality

1673-5862(2017)02-0151-05

2017-05-10。

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L2014435)。

景 麗(1967-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)副教授,博士。

O436

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.02.005