□丁岳林

（江蘇省常州高級中學(xué)，江蘇常州 213003）

物理模型的抽象、還原與教學(xué)對策
——以2016年高考試題為例

□丁岳林

（江蘇省常州高級中學(xué)，江蘇常州 213003）

物理模型構(gòu)建的教學(xué)和訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維的重要途徑，教師在教學(xué)中通過提出問題讓學(xué)生自己嘗試建立模型尋找解決問題的途徑和方法，變學(xué)生被動接受為主動地去研究、探索，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

物理模型；模型構(gòu)建；創(chuàng)新

物理模型無論對物理學(xué)研究還是物理的學(xué)習(xí)都是很重要的，新的《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》征求意見稿中“模型構(gòu)建”是出現(xiàn)頻度最高的熱點詞語，關(guān)于學(xué)科核心素養(yǎng)的表述以及在課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、實施建議等部分也反復(fù)明確模型構(gòu)建的要求.

物理模型通常分為三類：第一類是實體物理模型，用來代替由具體物質(zhì)組成的表征研究對象的實體系統(tǒng)，如質(zhì)點、點電荷、單擺、彈簧振子、理想氣體、理想變壓器、薄透鏡等；第二類是條件模型，把研究對象所處的外部條件理想化，如光滑水平面、輕桿、輕繩、均勻介質(zhì)、勻強電場等；第三類是物理過程模型，對具體物理過程純粹化、理想化的抽象，如熱學(xué)中的等溫過程、等容過程、等壓過程、絕熱過程，力學(xué)中的勻速直線運動、勻變速直線運動、斜拋運動、勻速圓周運動和簡諧運動等.

綜觀近年來高考命題，對構(gòu)建物理模型的考查已體現(xiàn)出較高的要求，一些高考題的命題是將實際問題進行抽象，呈現(xiàn)在考生面前的是一抽象模型，而解題過程往往要將抽象模型還原（化歸）為直觀模型（或基本模型）；有一部分高考題的命題呈現(xiàn)在考生面前的是實際問題，解題過程中又需要將實際（模型）情境抽象成理想化模型.本文試以2016年高考試題為例來談?wù)勎锢砟Ｐ偷某橄?、還原與等效，期望引起教師對構(gòu)建物理模型教學(xué)的更多關(guān)注.

一、等效勻加速直線運動模型的應(yīng)用

例1［江蘇卷題15（2）］回旋加速器的工作原理如圖1a所示，置于真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間狹縫的間距為d，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場與盒面垂直，被加速粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q，加在狹縫間的交變電壓如圖1b所示，電壓值的大小為U0.周期T=一束該粒子在t=0～時間內(nèi)從A處均勻地飄入狹縫，其初速度視為零.現(xiàn)考慮粒子在狹縫中的運動時間，假設(shè)能夠出射的粒子每次經(jīng)過狹縫均做加速運動，不考慮粒子間的相互作用.求：粒子從飄入狹縫至動能達到最大所需的總時間t總.

圖1

模型分析：回旋加速器工作時，粒子在電場中作勻加速運動，在磁場中勻速率回旋，可以作出粒子的速率v與時間t的函數(shù)圖像如圖2，圖中各段傾斜直線對應(yīng)著粒子在電場中的加速運動，設(shè)粒子在電場中各次運動時間依次為t1、t2、t·3··、tn，隨著一次次加速，粒子每次通過狹縫的時間越來越短；圖中的各段水平線對應(yīng)著粒子在磁場中的回旋，由磁場中回旋的特點知道，各次在磁場中的半圓周運動時間都相等.

圖2

粒子運動的總時間為磁場中的（n-1）個半圓周及電場中n段直線運動的時間之和.

粒子在電場中的各次時間并不相同，怎樣求解粒子在電場中的時間是本題的難點.常規(guī)的方法是對粒子各次通過電場狹縫過程應(yīng)用運動學(xué)公式求解時間，然后求和，即tB總=t1+t2+ t3···+tn.

本題的巧妙解法是建立等效運動模型，在圖2中，將粒子各次勻速率運動的部分剔除，再將各段勻加速運動的部分合并到一起，粒子在電場中的運動等效于初速度為零的勻加速直線運動，加速度總位移為x=nd，由x=atE總2解得粒子從飄入狹縫至動能達到最大所需的總時間t總=tB總+tE總，解得

以上求解粒子在電場中運動時間技巧性很強，采取化零為整的方法，將分階段的多次勻加速直線運動進行合并，用一次性連續(xù)的勻加速直線運動模型來替代，回避了復(fù)雜的求和運算過程，使問題順利得到解決.

二、等效簡諧運動模型的應(yīng)用

例2［上海卷題25］地面上物體在變力F作用下由靜止開始豎直向上運動，力F隨高度x的變化關(guān)系如圖3所示，物體能上升的最大高度為h，h＜H.當(dāng)物體加速度最大時其高度為_______，加速度的最大值為______.

圖3

模型分析：本題的常規(guī)解法如下，從圖3可以得出力F隨高度x的變化關(guān)系：F=F0-kx，其中k=，物體到達高度x=h處時物體從高度x=0到x=h處的過程中，力F做正功，重力G做負功，由動能定理可得：h=mgh，而可以計算出：考慮兩個極端位置x=0和x=h的加速度，物體在初位置x=0處加速度方向向上，由F0-mg=ma1計算得當(dāng)物體運動到末位置x=h處時，加速度方向向下，由mg-Fh= ma2，而計算可得：

因此，物塊加速度最大的位置是x=0或 x=h處.最大加速度大小為

圖4

本題的直觀模型為一豎直方向振動的彈簧振子，如圖4，輕彈簧一端固定在坑底的A點，上端栓一質(zhì)量為m的物塊，剛開始時物塊被固定在與地面平齊的高度（x=0），彈簧壓縮量為H，即圖中D點為彈簧原長位置，釋放物塊后，物塊在BO1C之間做簡諧運動.振動過程中，物塊受向下的重力mg和向上的彈簧力（彈簧始終處于壓縮狀態(tài)），彈力的大小滿足F=F0-kx，由振動的對稱性，物塊在振動的兩端點加速度最大，且大小相等.在B點，由牛頓第二定律，F(xiàn)0-mg=ma，解得

考慮振動的最高位置C，由牛頓第二定律，mg-Fh=ma2，解得由①②利用a1=a2=a消去m，解得

以上根據(jù)振動模型求解最大加速度的過程比常規(guī)解法要簡潔、自然，振動的最高點和最低點加速度大小相等且取最大值，這是振動模型的基本結(jié)論，然后，只要考慮最高點和最低點加速度大小相等，應(yīng)用牛頓第二定律即可解答，常規(guī)解法中應(yīng)用動能定理求F0的環(huán)節(jié)要求則很高.

三、抽象的分子作用力模型的還原

例3［上海卷題32］如圖5，長度L=0.8m的光滑桿左端固定一帶正電的點電荷A，其電荷量Q=1.8×10-7C；一質(zhì)量m=0.02kg，帶電量為q的小球B套在桿上.將桿沿水平方向固定于某非均勻外電場中，以桿左端為原點，沿桿向右為x軸正方向建立坐標(biāo)系.點電荷A對小球B的作用力隨B位置x的變化關(guān)系如圖6中曲線Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力隨B位置x的變化關(guān)系如圖6中曲線Ⅱ所示，其中曲線Ⅱ在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范圍可近似看作直線.求：

（1）在合電場中，x=0.4m與x=0.6m之間的電勢差U；

（2）已知小球在x=0.2m處獲得v=0.4m/s的初速度時，最遠可以運動到x=0.4m.若小球在x=0.16m處受到方向向右，大小為0.04N的恒力作用后，由靜止開始運動，為使小球能離開細桿，恒力作用的最小距離s是多少？

圖5

圖6

模型分析：本題中小球B的受力情形的設(shè)置比較新穎，共有兩個變力作用：一是A球給B球的靜電排斥力，服從庫侖定律；二是規(guī)律沒有直接明確的非勻強電場的水平方向的電場力，給出了兩個力的合力在x的不同區(qū)間呈現(xiàn)的復(fù)雜規(guī)律.其實，這道題的作用力情境是由我們考生熟悉的分子作用力模型抽象而來.

圖7

我們將模型來還原一下.如圖7所示為中學(xué)物理教材給出的分子力與分子間距離的關(guān)系，兩個分子間既存在相互排斥力F1，又存在相互吸引力F2，引力和斥力同時存在，實際對外的表現(xiàn)是它們的合力.兩種作用力都隨著距離的增大而減小，斥力的圖線較陡，即斥力隨著距離的變化比引力更快.當(dāng)r＜r0時，F(xiàn)1＞F2，合力表現(xiàn)為斥力；當(dāng)r=r0時，F(xiàn)1=F2，合力為0；當(dāng)r＞r0時，F(xiàn)1＜F2，合力表現(xiàn)為引力.

我們還可以進一步研究分子力做功與分子能量變化的情況，例如，兩個分子原來距離很近，在逐漸分開到很遠的過程中，分子力先做正功后做負功，分子動能先增大后減小，分子勢能先減小后增大.關(guān)于分子力做功，可以根據(jù)F-r圖像圍成的面積進行計算.

在本道高考題中，將分子力的兩個區(qū)間作了理想化：即將圖7中的AB段視為傾斜直線，CD段視為水平線，考查的主要角度是功能關(guān)系，具體求解過程并不困難，此處不再展開.

四、實際電磁感應(yīng)模型的抽象

圖8

例4［天津卷題12］電磁阻尼作用可以借助如下模型討論：如圖8所示，將形狀相同的兩根平行且足夠長的鋁條固定在光滑斜面上，斜面與水平方向夾角為θ.一質(zhì)量為m的條形磁鐵滑入兩鋁條間，恰好勻速穿過，穿過時磁鐵兩端面與兩鋁條的間距始終保持恒定，其引起電磁感應(yīng)的效果與磁鐵不動，鋁條相對磁鐵運動相同.磁鐵端面是邊長為d的正方形，由于磁鐵距離鋁條很近，磁鐵端面正對兩鋁條區(qū)域的磁場均可視為勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，鋁條的高度大于d，電阻率為ρ，為研究問題方便，鋁條中只考慮與磁鐵正對部分的電阻和磁場，其他部分電阻和磁場可忽略不計，假設(shè)磁鐵進入鋁條間以后，減少的機械能完全轉(zhuǎn)化為鋁條的內(nèi)能，重力加速度為g.

（1）求鋁條中與磁鐵正對部分的電流I；

（2）若兩鋁條的寬度均為b，推導(dǎo)磁鐵勻速穿過鋁條間時速度v的表達式.

模型分析：本題中有兩個研究對象：一是沿斜面勻速下滑的磁鐵；二是固定在斜面上的兩根實心的鋁條.對于磁鐵的勻速運動，重力沿斜面方向的分力與磁場力（安培力）平衡，很簡單.

關(guān)于磁場力的產(chǎn)生和進一步討論涉及的模型的構(gòu)建非常困難.

圖9

其實，經(jīng)抽象后的模型如人教版選修3-2課本的典型習(xí)題：設(shè)圖9中的磁感應(yīng)強度B=1T，平行導(dǎo)軌寬l=1m，金屬棒ab以1m/s速度貼著導(dǎo)軌向左運動，R=1Ω，其他電阻不計，求通過R的電流.

圖10

在本道高考題中，與ab棒對應(yīng)的如圖10中的柱體a1a2a3a4-b1b2b3b4（以下簡稱柱體），此柱體為鋁條與磁鐵正對的部分，由題給的信息，磁鐵端面正對鋁條區(qū)域的磁場視為勻強磁場，其他部分磁場及電阻均忽略，柱體與磁鐵發(fā)生相對運動，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，相當(dāng)于電源，E=Bdv，此處v為柱體相對于磁鐵的速度，柱體的電阻（電源內(nèi)阻）本問題情境設(shè)置中，鋁條的其他部分為外電路，充當(dāng)連接的作用，且不計電阻，即R=0.閉合電路中的電流為I=，柱體受到的安培力為F=BId.

對磁鐵，由平衡條件有：mgsinθ-2F'=0，式中F'為F的反作用力，由牛頓第三定律，F(xiàn)'=F，式中的2是考慮到磁鐵有兩個端面.

五、結(jié)語

物理模型構(gòu)建的教學(xué)和訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維的重要途徑，因此在教學(xué)中必須高度重視.物理模型構(gòu)建是貫穿整個物理課本的，在教學(xué)中要注意充分發(fā)揮物理模型構(gòu)建對創(chuàng)新能力培養(yǎng)的功能.關(guān)于概念、規(guī)律建立的過程是：提出問題→建立模型→構(gòu)建新理論→解決問題.傳統(tǒng)的教學(xué)因受應(yīng)試教育的影響，重點往往放在物理概念、規(guī)律基本條文的記憶和簡單應(yīng)用（解題）上，而對概念、規(guī)律的創(chuàng)立重視很不夠.因此，我們應(yīng)強化“提出問題”“建立模型”這兩個環(huán)節(jié)的教學(xué).物理學(xué)內(nèi)容像一座座大廈，物理教材呈現(xiàn)在學(xué)生面前的是一幢幢建筑完好的大廈，對大廈本身的建筑過程留下的痕跡不深，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力是極為不利的，教師在教學(xué)中很重要的一項任務(wù)就是要向?qū)W生介紹這些大廈是如何建筑起來的.通過提出問題讓學(xué)生自己嘗試建立模型尋找解決問題的途徑和方法，變學(xué)生被動接受為主動地去研究、探索.如由開普勒行星運動三定律和牛頓第二定律去“發(fā)現(xiàn)”萬有引力定律；由牛頓第二定律、第三定律去“發(fā)現(xiàn)”動量守恒定律；通過研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象實驗去“發(fā)現(xiàn)”產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件和關(guān)于感應(yīng)電流方向判斷的規(guī)律.這樣的探索、研究既能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新自信心，這對學(xué)生今后進一步從事物理（科學(xué)）知識的學(xué)習(xí)、研究是極為重要的基礎(chǔ)，可以相信通過這樣的教學(xué)，培養(yǎng)出來的學(xué)生將來一定能自己去構(gòu)建新的物理學(xué)（科學(xué)）大廈.