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基于 ARIMA模型的中國(guó)人口自然增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)

2017-06-06 12:01:03胡明形
市場(chǎng)研究 2017年5期
關(guān)鍵詞:階數(shù)增長(zhǎng)率差分

◇李 頻 胡明形

基于 ARIMA模型的中國(guó)人口自然增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)

◇李 頻 胡明形

影響我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一是人口問題。21世紀(jì)以來,我國(guó)人口增長(zhǎng)率一直處于較低的水平,人口增長(zhǎng)趨勢(shì)發(fā)生了較大變化。且近年來,我國(guó)的人口發(fā)展出現(xiàn)了如人口老齡化等新特點(diǎn),人口發(fā)展面臨著前所未有的復(fù)雜局面。由此,準(zhǔn)確判斷我國(guó)未來人口發(fā)展趨勢(shì)具有重要的戰(zhàn)略意義。本文利用我國(guó)1949~2013年的人口自然增長(zhǎng)率數(shù)據(jù),建立ARIMA(2,1,0)模型,并利用已知的2014年人口自然增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)效果較好,故進(jìn)一步給出2015~2018年的人口自然增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)數(shù)據(jù),得出我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率將穩(wěn)定在4.8%~5%之間,短期之內(nèi)不會(huì)有太大波動(dòng)。

人口自然增長(zhǎng)率;ARIMA模型;預(yù)測(cè);時(shí)間序列

一、引言

我國(guó)作為世界上人口最多的發(fā)展中國(guó)家,人口眾多、資源相對(duì)不足、環(huán)境承載力較弱是我國(guó)現(xiàn)階段的基本國(guó)情,短時(shí)間內(nèi)難以改變(景倩,2008)。人口問題一直是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一(朱艷偉,張永利,2010)。改革開放以來,人口發(fā)展態(tài)勢(shì)受到國(guó)家控制人口增長(zhǎng)政策的影響,人口增長(zhǎng)趨勢(shì)發(fā)生了巨大變化。20世紀(jì)90年代初開始,我國(guó)迅速增長(zhǎng)的人口數(shù)量已經(jīng)過渡到了一個(gè)低生育水平的時(shí)期,低生育水平在21世紀(jì)之后表現(xiàn)得尤為突出。在這一低生育水平的時(shí)期,人口增長(zhǎng)放緩(王光召,安和平,2014)。近年來,我國(guó)的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn),例如老齡化進(jìn)程加速、鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素。目前我國(guó)正處于全面建設(shè)小康社會(huì)的快速轉(zhuǎn)型期,人口發(fā)展面臨著前所未有的復(fù)雜局面,人口安全面臨的風(fēng)險(xiǎn)依然存在(馮守平,2008)。由此,準(zhǔn)確判斷我國(guó)未來一段時(shí)間的人口發(fā)展趨勢(shì)具有極其重要的戰(zhàn)略意義(王玉春,2008)。

對(duì)我國(guó)未來人口增長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)的文獻(xiàn)和方法有很多,如帶擾動(dòng)的人口增長(zhǎng)模型、多項(xiàng)式擬合法、Leslie矩陣迭代、Logistic阻滯增長(zhǎng)模型等,不一而足。

在運(yùn)用時(shí)間序列方法對(duì)我國(guó)人口增長(zhǎng)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)的文獻(xiàn)中,熊建平等(2005)利用高階線性AR方程對(duì)人口進(jìn)行預(yù)測(cè),但所用數(shù)據(jù)僅限于遼寧省。此外,利用時(shí)間序列的ARIMA模型對(duì)預(yù)測(cè)我國(guó)人口增長(zhǎng)率的文獻(xiàn)還不是很多。由此,本文根據(jù)我國(guó)人口增長(zhǎng)率的歷史數(shù)據(jù),建立ARIMA(p,d,q)模型,在此基礎(chǔ)上對(duì)我國(guó)人口增長(zhǎng)做出預(yù)測(cè)和分析。

二、ARIMA模型的基本理論

一般情況,一個(gè)變量會(huì)受到其過去及過去到現(xiàn)在的各種因素的影響。由此建立的模型如下所示:

其中,xt為零均值平穩(wěn)時(shí)間序列,p和q分別為該模型的自回歸階數(shù)和移動(dòng)平均階數(shù);p和q之和為不為零的未知參數(shù);εt為獨(dú)立的誤差項(xiàng)。假如該模型的特征根都在單位圓外,我們稱之為ARMA(p,q)模型,但其不足在于僅僅能夠應(yīng)用在平穩(wěn)序列,而一般常見的時(shí)間序列都是非平穩(wěn),因此必須通過差分,把其轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)序列,這樣才能應(yīng)用ARMA模型,故筆者引入ARIMA模型。ARMA模型是特殊的ARIMA模型,即為差分階數(shù)為0的ARIMA模型。

ARIMA模型包含自回歸階數(shù)(p)、差分階數(shù)(d)和移動(dòng)平均階數(shù)(q)這三個(gè)參數(shù),因此又被稱為帶差分的自回歸移動(dòng)平均模型。模型的一般形式為ARIMA(p,d,q)。對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列模型,在建模過程中,我們需要將其差分d次,將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列,再用ARMA(p,q)進(jìn)行擬合。此時(shí),我們將原時(shí)間序列所擬合的模型稱為ARIMA(p,d,q)模型(王燕,2012)。

三、我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率的實(shí)證分析

1.模型的建立

本文所利用的數(shù)據(jù)選自中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局(http://data.stats. gov.cn/),指標(biāo)為人口自然增長(zhǎng)率。樣本區(qū)間為1949年到2013年,共65個(gè)數(shù)據(jù),由此觀察序列R的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖,如附圖所示。

附圖 1949~2013年我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率序列自相關(guān)和偏自相關(guān)圖“r”的趨勢(shì)和相關(guān)分析

從附圖中的自相關(guān)圖可以看出,其自相關(guān)系數(shù)衰減到0的速度非常緩慢,所以斷定該序列不平穩(wěn)。

為使序列平穩(wěn),本文對(duì)序列進(jìn)行差分處理,消除序列的趨勢(shì)性。通過作R的一階差分序列圖發(fā)現(xiàn),對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分以后基本消除了長(zhǎng)期趨勢(shì)的影響,序列平穩(wěn)化,同時(shí)運(yùn)用ADF檢驗(yàn)對(duì)上述經(jīng)過一階差分后的數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn),檢驗(yàn)結(jié)果見表1。

表1 我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率一階差分序列單位根檢驗(yàn)結(jié)果表

從檢驗(yàn)結(jié)果可以看出,三種類型的單位根檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的p值均非常接近0,小于1%的顯著性水平,因此拒絕“序列存在一個(gè)單位根”的原假設(shè),說明此時(shí)序列是平穩(wěn)序列。在序列平穩(wěn)的基礎(chǔ)上,觀察其白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果,如表2所示。

表2 我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率一階差分序列白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果表

其卡方統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的p值均顯著小于規(guī)定的顯著性水平0.05,拒絕“一階差分平穩(wěn)序列是白噪聲”的原假設(shè),說明一階差分處理后的平穩(wěn)序列仍有可以提取的信息,可以進(jìn)一步識(shí)別擬合模型。通過以上一系列的預(yù)處理,筆者嘗試建立ARIMA(p,1,q)模型。

由上可知ARIMA(p,1,q)模型通過了平穩(wěn)性檢驗(yàn),因此該序列的差分階數(shù)d為1,進(jìn)一步推斷p和q。p和q可以通過樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的觀察得到。假若偏自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出p階截尾而自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出拖尾的特征,可采用AR(p)模型;假若自相關(guān)系數(shù)表現(xiàn)出q階截尾,而偏自相關(guān)系數(shù)拖尾,則采用MA(q)模型;但是,若自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均表現(xiàn)出拖尾的特征,則采用ARIMA(p,1,q)模型。筆者發(fā)現(xiàn),其偏自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出顯著的二階截尾的特征,而其自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出拖尾的特征,由此初步確定該差分序列為AR(2)模型。

在經(jīng)驗(yàn)識(shí)別的基礎(chǔ)上,利用SAS軟件嘗試對(duì)模型進(jìn)行擬合。

如果模型中的每一項(xiàng)系數(shù)都通過t檢驗(yàn),則就選該模型作為最后的模型來建模;不然,就將模型里未通過t檢驗(yàn)的各項(xiàng)剔除再來建模,直到最終模型里的每一項(xiàng)系數(shù)都通過t檢驗(yàn)。AIC準(zhǔn)則是一種適用面非常廣泛的統(tǒng)計(jì)模型選擇準(zhǔn)則,簡(jiǎn)稱最小信息準(zhǔn)則。BIC準(zhǔn)則或SBC準(zhǔn)則是對(duì)AIC準(zhǔn)則的修正,將未知參數(shù)個(gè)數(shù)的懲罰參數(shù)由2變成了樣本容量的對(duì)數(shù)函數(shù)。王燕(2012)建立的每一個(gè)模型都會(huì)給出一個(gè)AIC參數(shù)和BIC參數(shù),選擇每一項(xiàng)系數(shù)都通過t檢驗(yàn)且AIC參數(shù)和BIC參數(shù)最小的模型作為原序列預(yù)測(cè)的相對(duì)最優(yōu)模型。

運(yùn)行SAS中的MINIC程序,得到p從0到5和q從0到5共計(jì)36個(gè)模型的BIC參數(shù),詳見表3。

表3 不同擬合模型的最小信息原則(BIC)參數(shù)結(jié)果匯總表

根據(jù)BIC最小信息準(zhǔn)則,AR(5)模型最優(yōu),因此,擬合AR(5)模型,檢驗(yàn)其每一項(xiàng)的系數(shù)能否通過t檢驗(yàn)。

查看SAS程序運(yùn)行結(jié)果可知,AR(5)模型的AIC參數(shù)為347.869,SBC參數(shù)為360.8223,而常數(shù)項(xiàng)和部分系數(shù)沒有通過t檢驗(yàn),見表4。

表4 AR(5)模型參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果表

去掉常數(shù)項(xiàng),再次擬合模型。去掉常數(shù)項(xiàng)的AR(5)模型,其AIC參數(shù)為346.1266,SBC參數(shù)為356.921,前兩項(xiàng)系數(shù)通過了t檢驗(yàn),而后三位系數(shù)沒有通過t檢驗(yàn),同樣去掉后三項(xiàng),嘗試擬合沒有常數(shù)項(xiàng)的AR(2)模型。去掉常數(shù)項(xiàng)的AR(2)模型,其AIC參數(shù)為343.5249,SBC參數(shù)為347.8427,在三個(gè)模型中兩個(gè)參數(shù)均為最小,且兩個(gè)系數(shù)都通過了t檢驗(yàn),見表5。

表5 無常數(shù)項(xiàng)AR(2)模型參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果表

結(jié)合上文經(jīng)驗(yàn)識(shí)別的模型和模型擬合結(jié)果,筆者可以判斷最優(yōu)預(yù)測(cè)模型為ARIMA(2,1,0)。

因此本文選用的人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型為ARIMA(2,1,0),由上文可知,其系數(shù)均已通過t檢驗(yàn)。根據(jù)SAS給出的估計(jì)結(jié)果,較優(yōu)的模型ARIMA最終表達(dá)式為:

2.模型的診斷與檢驗(yàn)

當(dāng)模型的未知參數(shù)被估計(jì)出之后,還應(yīng)進(jìn)一步對(duì)其殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。

殘差序列的檢驗(yàn)結(jié)果見表6。

表6 殘差的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果表

從表6殘差的自相關(guān)檢查可以看出,從滯后6階到滯后24階,殘差卡方檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的 p值分別為0.2621,0.3309,0.6992,0.9065,均顯著大于0.05,可以判斷該殘差序列為白噪聲,故所建立的模型ARIMA(2,1,0)對(duì)原序列的信息提取充分,檢驗(yàn)通過。

3.模型的應(yīng)用

對(duì)ARIMA(2,1,0)進(jìn)行預(yù)測(cè)效果檢驗(yàn)。利用SAS的Forecast程序預(yù)測(cè)2014年的人口自然增長(zhǎng)率,求得P2014=4.83%,而2014年的實(shí)際人口自然增長(zhǎng)率為5.21%,誤差為(5.21%-4.83%)/5.21%=7.29%,不超過10%,可認(rèn)為預(yù)測(cè)效果較好,可以用該模型對(duì)未來幾年的人口自然增長(zhǎng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)結(jié)果如表7所示。

表7 我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)結(jié)果匯總表

即預(yù)測(cè)的2015年的人口自然增長(zhǎng)率為4.80%,2016年4.83%,2017年4.86%,2018年4.86%。

從以上預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)可以看出,我國(guó)的人口自然增長(zhǎng)率將穩(wěn)定在4.8%~5%之間,短期之內(nèi)不會(huì)有太大波動(dòng)。

需要強(qiáng)調(diào)的是,由于影響我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率的因素很多,包括政策和各種宏觀經(jīng)濟(jì)因素,而ARIMA模型僅僅依據(jù)人口自然增長(zhǎng)率自身時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè),因此所假設(shè)的模型是考慮到其他影響因素變化不大的前提下進(jìn)行的短期預(yù)測(cè),但是其較長(zhǎng)時(shí)期預(yù)測(cè)能力則會(huì)隨著其他因素,尤其是政策因素和宏觀經(jīng)濟(jì)因素的變化而下降。這也是ARIMA模型通常只能用來做短期預(yù)測(cè)的原因。

四、結(jié)論

本文利用時(shí)間序列相關(guān)理論,對(duì)1949~2013年我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率建立了AR(2,1,0)模型,通過檢驗(yàn)證明該模型能在一定程度上判斷我國(guó)未來人口的發(fā)展趨勢(shì),并對(duì)我國(guó)2015~2018年的人口自然增長(zhǎng)率進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

通過預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù),筆者判斷未來2年我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率將穩(wěn)定在4.8%左右,不會(huì)有太大的波動(dòng)。但由于影響人口自然增長(zhǎng)率的因素還有很多,包括政策因素和宏觀經(jīng)濟(jì)因素等等。本文建立的ARIMA模型僅討論我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率自身的時(shí)間序列變化來探究其在未來一段時(shí)間內(nèi)的發(fā)展趨勢(shì)。且當(dāng)政策因素和宏觀經(jīng)濟(jì)因素發(fā)生變化時(shí),ARIMA模型的預(yù)測(cè)功能會(huì)大大下降。如我國(guó)于2015年10月開始推出全面二孩政策,生育政策的改變勢(shì)必在一定程度上影響人口自然增長(zhǎng)率。此時(shí),本文所建立ARIMA模型所預(yù)測(cè)的人口自然增長(zhǎng)率的準(zhǔn)確程度會(huì)受到一定的影響。

盡管如此,后續(xù)的研究可以通過實(shí)行二孩政策之后的人口自然增長(zhǎng)率與本模型預(yù)測(cè)出的人口自然增長(zhǎng)率進(jìn)行對(duì)比,探究二孩政策對(duì)我國(guó)人口自然增長(zhǎng)率的影響。因此,本文所建立的對(duì)人口自然增長(zhǎng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)的ARIMA模型仍具有較強(qiáng)的實(shí)際意義,且還有一定的研究空間。

[1]馮守平.中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型[J].安徽科技學(xué)院學(xué)報(bào),2008 (06).

[2]景倩.中國(guó)人口增長(zhǎng)趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型[J].今日南國(guó)(理論創(chuàng)新版),2008(03).

[3]王光召,安和平.低生育背景下中國(guó)人口慣性與人口增長(zhǎng)峰值預(yù)測(cè)[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(人文社會(huì)科學(xué)版),2014(03).

[4]王燕.應(yīng)用時(shí)間序列分析[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社,2012.

[5]王玉春.中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008(05).

[6]熊建平,吳建華,萬國(guó)金.AR模型在人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)與現(xiàn)代化,2005(10).

[7]朱艷偉,張永利.中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型及其改進(jìn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2010(16).

(作者單位:北京林業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院)

10.13999/j.cnki.scyj.2017.05.011

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