劉星辰，馬韶光

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046）

關(guān)于Navier-Stokes-Voight方程精確解的相關(guān)探究

劉星辰，馬韶光

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046）

研究Navier-Stokes-Voigh（t簡稱NSV）方程，介紹Navier-Stokes-Voight方程的研究背景，為論文的展開做一些準(zhǔn)備工作.利用 Lie群的對稱性質(zhì)求解李方程，最終通過構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)Lie算子的方法求解一維Navier-Stokes-Voight方程的一維精確解.

Navier-Stokes-Voight方程；Lie-Backlund算子；精確解

0 引言

精確解在偏微分方程理論中占據(jù)著重要的位置，通過求解精確解，人們可以給方程以參數(shù)得到其數(shù)值模擬解，對人們更好地了解流體的發(fā)展?fàn)顟B(tài)做重要的參考.在眾多的求解精確解的方法中，群理論中用對稱李群的方法是求解大量偏微分方程的通用工具.

近年來，隨機(jī)擾動下的無窮維動力系統(tǒng)越來越多地引起人們的注意，其在力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、地球物理學(xué)、大氣海洋氣候?qū)W等中得到廣泛應(yīng)用.本文主要研究隨機(jī)擾動下的Navier-Stokes-Voigh（t簡稱NSV）方程.NSV方程描述Kelvin-Voight粘彈性不可壓流體的動力學(xué)，確定情形下，NSV方程在數(shù)學(xué)物理各相關(guān)問題方面已有不少的結(jié)論，具體參見國內(nèi)外研究現(xiàn)狀［1-5］.當(dāng)流體動力學(xué)中湍流的影響不能用確定的函數(shù)來描述時(shí)，引入隨機(jī)因素是合適而且是必然的.

1 預(yù)備知識

其中Ω是一個(gè)帶有光滑邊界的有界區(qū)域，表示給定的外部壓力，與時(shí)間t相互獨(dú)立.νΔu表示擴(kuò)散項(xiàng)，ν>0是粘性系數(shù)，gk表示隨機(jī)壓力項(xiàng).

定義1.1 Sobolev空間［6］

引理1.1 Burkholder-Davis-Gundy（BDG）不等式.

假設(shè)T>0，并且(Mt)0≤t≤T是一個(gè)連續(xù)的局部鞅，M0=0，對于每一個(gè)0

cp和Cp和(Mt)0≤t≤T，使得有如下不等式成立：

特殊情況下，取p=2則不等式可化為

引理1.5［7］Young′s不等式

其中q=p/(p-1),1

其中λ1是Stokes算子在齊次Dirichlet邊界條件下的第一個(gè)特征值.

2 一維NSV方程的精確解

定義2.1 在此只考慮單個(gè)參數(shù)的群，設(shè)Ta是一個(gè)依賴于實(shí)參數(shù)a，并且作用在(x,y)坐標(biāo)平面上的變換：

其中和滿足邊值條件：

定義2.2 如果G包含恒等變換及其逆變換，且它遵循上述群的性質(zhì)，那么可逆變換的集合G在變量t,x,u的空間下稱為單參數(shù)變換群.

把函數(shù)f,g在a=0的附近進(jìn)行泰勒展開，把初值條件（2）考慮進(jìn)去，就可以得到群G的無窮小變換：

式（3）提供群的生成元，即微分算子：

其中X為標(biāo)準(zhǔn)Lie算子.

引理2.1 若F(x,y)是群的不變函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)如下一階線性偏微分方程成立

引理2.2 若對稱變換有如下形式

對稱變換可以寫成如下形式

那么這意味著可以找到帶有如下對稱形式的不變算子

生成元（4）稱為方程的一個(gè)無窮小對稱容許算子.

定義2.4［9］若G是單參數(shù)的近似變換群，考慮如下函數(shù)

根據(jù)引理2.2，找到Navier-Stokes-Voight方程的延拓形式的Lie算子.其中NSV方程為：

可以得到延伸的Lie-Backlund算子

其中α2為正的無窮小量.計(jì)算出關(guān)于X0的決定方程和生成元，其中

對u,t,x進(jìn)行變量替換，那么新變量滿足方程（4），對進(jìn)行Taylor級數(shù)展開，并且只保留關(guān)于a的線性項(xiàng)，那么可以得到下列展開式：

這里Dt和Dx分別表示關(guān)于t和x的全微分算子：

根據(jù)（4）式可知，原方程經(jīng)過變換得：

因此，方程需要滿足：

即建立的決定方程為

挑選出決定方程（13）中包含的uxx項(xiàng)，從延拓方程中看到只有根據(jù)uxx前面的系數(shù)可以得到

根據(jù)（15）式的信息ξu=0知

把（11）式（12）式帶入到算子（7）式中，則可簡化為如下形式：

在（16）式中，已經(jīng)用uxx-uux替換掉ut-αutxx，使得方程更加簡潔.

那么將方程（16）化簡整理，可以分成如下3個(gè)方程：

根據(jù)方程ηuu=0可知，ξ關(guān)于u至多是線性的，又因?yàn)棣蝬x=2ηux，所以η可以設(shè)為如下形式：

又由（18）式可得：

所以得到

根據(jù)方程（22）可以得到：

綜合上述信息，得到

關(guān)于X8有兩個(gè)自變量，一個(gè)是x，另外一個(gè)是從特征方程得到的.因此得到積分不變量為因此，在或者中尋找不變解.那么偏微分方程

降至一階常微分方程

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Some Research on Navier-Stokes-Voight Equation

LIU Xingchen，MA Shaoguang
（School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，210046，Nanjing，Jiangsu,China）

In this paper，the Navier-Stokes-Voight（NSV）equation has been studied.Firstly，we mainly intro?duce the research background of Navier-Stokes-Voight equation，at the same time，we do some preparation for the paper.Secondly，by the symmetry of Lie group，we solve the Lie operator.Finally we provide one of the exact solution of one dimensional Navier-Stokes-Voight equation by constructing standard Lie operator method.

Navier-Stokes-Voight equation；Lie-Backlund operator；the exact solution

O 175.2

A

2095-0691（2017）02-0019-06

2016-11-21

劉星辰（1992— ），男，江蘇泗陽人，碩士生，研究方向?yàn)槠⒎址匠汤碚摷皯?yīng)用.