孫嬌嬌，芮紹平，張 杰

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

基于混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境的Black-Scholes模型新解法

孫嬌嬌，芮紹平，張 杰

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

文章研究不具有平穩(wěn)增量的隨機(jī)過程下的歐式期權(quán)定價問題.假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格變化過程由混合分?jǐn)?shù)布朗運動來刻畫，在此環(huán)境下研究歐式看漲期權(quán).利用復(fù)制策略得到歐式看漲期權(quán)價值所滿足的偏微分方程.結(jié)合歐式看漲期權(quán)價值滿足的終端條件，運用Mellin變換得到偏微分方程的解析解，即混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下歐式看漲期權(quán)定價公式.

混合分?jǐn)?shù)布朗運動；Mellin變換；復(fù)制策略；解析解

0 引言

期權(quán)定價是金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域中極其重要且值得深入研究的一個問題.起初，人們常用布朗運動來描述金融資產(chǎn)價格的流動性，即得出資產(chǎn)的收益率服從對數(shù)正態(tài)分布.然而，近些年來，大量的實證研究表明，資產(chǎn)的回報具有長期依賴性、自相似性等特點.為了更好地描述金融資產(chǎn)所滿足的這些特點，Cherid?ito等［1-2］提出混合分?jǐn)?shù)布朗運動，并把它作為經(jīng)典Black-Sholes模型的改進(jìn)，并且混合分?jǐn)?shù)布朗運動刻畫的金融環(huán)境將不存在套利機(jī)會，而且在一定的限制條件下是半鞅.混合分?jǐn)?shù)布朗運動是一族高斯過程，它是布朗運動與分?jǐn)?shù)布朗運動的線性組合.當(dāng)參數(shù)時，混合分?jǐn)?shù)布朗運動是一個特殊的長記憶過程.因此，后來的一些學(xué)者對混合分?jǐn)?shù)布朗運動下的期權(quán)定價問題展開深入的研究.Sun［3］研究混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下的歐式匯率期權(quán)的定價問題，陳飛躍等［4］運用混合分?jǐn)?shù)布朗運動It?公式，通過熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解的形式來求解偏微分方程，獲得混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下支付紅利的歐式看漲期權(quán)的解析式.

近些年來，眾多學(xué)者運用Mellin變換來求不同類型期權(quán)的價值.Panini等［5］首次運用Mellin變換推導(dǎo)出永久美式看跌期權(quán)價值所滿足的表達(dá)式.Yoon［6］利用此方法得到Hull-White隨機(jī)利率模型下歐式期權(quán)的解析解.接著，Yoon等［7］利用雙重Mellin變換找到Hull-White隨機(jī)利率環(huán)境下歐式障礙期權(quán)的定價公式.在我國利用Mellin變換來求解期權(quán)價值的文獻(xiàn)還比較少，程鳳林等［8-9］運用Mellin變換推出標(biāo)準(zhǔn)布朗運動環(huán)境下帶交易費用的歐式期權(quán)價值滿足的數(shù)學(xué)公式.本文主要運用Mellin變換得到混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下歐式期權(quán)的定價公式，這為該模型下的期權(quán)定價提供新的研究方法，并且可將此方法用于奇異期權(quán)的定價研究.

1 預(yù)備知識

1.1 混合分?jǐn)?shù)布朗運動的定義與性質(zhì)

定義1設(shè)(Ω,F,P)是一完備的概率空間，混合分?jǐn)?shù)布朗運動是指以α，β和H為參數(shù)的分?jǐn)?shù)布朗運動和布朗運動的線性組合，其公式如下：

其中Bt是布朗運動，是以H∈(0,1)為Hurst指數(shù)的分?jǐn)?shù)布朗運動，α和β是兩個實常數(shù)，且α≠0,β≠0.

根據(jù)定義，混合分?jǐn)?shù)布朗運動具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)3 對任意的s,t∈?+，的協(xié)方差函數(shù)為

這些性質(zhì)詳細(xì)的說明，請參閱文獻(xiàn)［10］.

1.2 Mellin變換

其中a

引理1（Mellin變換的卷積公式） 假定Mellin變換存在，則對于可積函數(shù)x∈?+，利用可給出f和g的卷積公式：

2 金融市場期權(quán)價格模型

2.1 模型假設(shè)

1）買賣證券過程中不考慮交易費用，即市場是無摩擦的；

2）證券交易是連續(xù)進(jìn)行的；

3）不存在無風(fēng)險套利機(jī)會；

4）投資組合每隔δt時間段調(diào)整一次，其中δt表示較小的時間步長；

其中短期市場利率r是常數(shù).

6）令St為標(biāo)的資產(chǎn)在t時刻的價格，假定其滿足如下隨機(jī)微分方程：

其中股票的期望回報率μ，波動率σ1，σ2均為非負(fù)常數(shù).布朗運動Bt和分?jǐn)?shù)布朗運動是相互獨立的，則股票價格St滿足混合分?jǐn)?shù)布朗運動過程，并在以下研究中假定

2.2混合分?jǐn)?shù)布朗運動下的Black-Scholes模型

定理1 設(shè)Ct=C(St,t)為歐式看漲期權(quán)在t時刻的價格，則在股票價格滿足混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下歐式看漲期權(quán)所滿足的偏微分方程為

且Ct滿足以下終端條件

在[t,t+δt]時間段內(nèi)，投資組合的價值Πt的變化量為

其中δSt，δDt分別表示股票價格和無風(fēng)險債券價格的變化量.

由于時間步長δt很小，從而由Taylor公式得期權(quán)價格在時間區(qū)間[t,t+δt]內(nèi)的變化量如下：

由假設(shè)3）知，為了降低套利機(jī)會，投資組合的價值必定等于期權(quán)的價值，即

由假設(shè)4），交易僅發(fā)生在t和t+δt處，故由公式（12）和（13）得

從而得到混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下的Black-Scholes方程（8）.

3 模型的求解

在這一部分主要是運用Mellin變換來求出偏微分方程（8）的解析解，由此得到以下定理2.

定理2 假定到期日為T，敲定價格為K，則混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下歐式看漲期權(quán)在任意時刻的價格Ct為

其中

Φ(?)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積函數(shù).

（16）式常微分方程的解為

根據(jù)Mellin逆變換的定義得

將k1,k2代入（22）式并整理即得混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下歐式看漲期權(quán)的定價公式（15）.

4 結(jié)論

本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格由混合分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動，利用復(fù)制策略得到歐式看漲期權(quán)價值所滿足的偏微分方程.結(jié)合歐式看漲期權(quán)價值滿足的終端條件，運用Mellin變換得到混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下歐式看漲期權(quán)價值的定價公式.采用混合分?jǐn)?shù)布朗運動來刻畫標(biāo)的資產(chǎn)價格變化過程更符合現(xiàn)實的金融環(huán)境，在某種程度上對經(jīng)典Black-Scholes模型有所改進(jìn).

［1］CHERIDITO P.Regularizing fractional Brownian motion with a view toward stock pricing modeling［D］.Swiss Zurich: Swiss Federal Institute of Technology Zurich，2001.

［2］MISHURA Y S，VALKEILA E.The absence of arbitrage in a mixed Brownian–fractional Brownian model［J］.Proceed?ings of the Steklov Institute of Mathematics，2002，237：224-233.

［3］SUN Lin.Pricing currency options in the mixed fractional Brownian mode［lJ］.Physica A，2013，392（16）：3441-3458.

［4］陳飛躍，楊蓉，龔海文.混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下歐式期權(quán)定價［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2014，31（3）：9-13.

［5］PANINI R，SRIVASTAV R P.Option pricing with Mellin transforms［J］.Math Comput Model，2004，40：43-56.

［6］YOON J H.Mellin transform method for European option pricing with Hull-White stochastic interest rate［J］.J Appl Math，2014：1-7.

［7］YOON J H，KIM J H.The pricing of vulnerable options with double Mellin transforms［J］.J Math Anal Appl，2015，422 （2）：838-857.

［8］程鳳林，申紅蓮.Mellin變換在歐式期權(quán)定價中的應(yīng)用［J］.衡水學(xué)院學(xué)報，2009，11（4）：18-20.

［9］程鳳林，李樂.Mellin變換在推廣的歐式期權(quán)定價中的應(yīng)用［J］.衡水學(xué)院學(xué)報，2011，13（4）：98-101.

［10］ZILI M.On the mixed fractional Brownian motion［J］.International Journal of Stochastic Analysisl，2006，2006：1-9.

New Solution of Black-Scholes Model Under Mixed Fractional Brownian Motion

SUN Jiaojiao，RUI Shaoping，ZHANG Jie
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

European option pricing is studied under stochastic process with no stationary increment.Assuming that the underlying asset price change process is described by mixed fractional Brownian motion，we start the study of European call option.Replication strategies are used to get the partial differential equation of the Eu?ropean call option value.Combined with European call option value of terminal conditions，we use Mellin transform to derive the analytic solution of the partial differential equation.The pricing formula of European call option is obtained under mixed fractional Brownian motion.

mixed fractional brownian motion；mellin transform；replication strategies；analytic solution

O 211.6；F 830.9

A

2095-0691（2017）02-0001-05

2017-01-20

安徽省自然科學(xué)基金項目（1508085SMA204）

孫嬌嬌（1987— ），女，安徽懷寧人，助教，碩士，研究方向：金融數(shù)學(xué).