王 荔,徐友根,劉志文

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院,北京 100081)

基礎(chǔ)理論

一種四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成方法

王 荔,徐友根,劉志文

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院,北京 100081)

本文考慮期望信號(hào)導(dǎo)向矢量失配條件下的四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成問(wèn)題。首先將復(fù)數(shù)域二次約束二次規(guī)劃技術(shù)推廣于四元數(shù)域，以對(duì)期望信號(hào)四元數(shù)域?qū)蚴噶窟M(jìn)行修正。進(jìn)一步將四元數(shù)域二次約束二次規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)域問(wèn)題，從而可以直接利用凸優(yōu)化工具包(CVX)進(jìn)行求解。最后利用修正的信號(hào)四元數(shù)域?qū)蚴噶繉?shí)現(xiàn)四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成。仿真結(jié)果表明，本文所提四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成方法在導(dǎo)向矢量失配條件下其輸出信干噪比優(yōu)于現(xiàn)有的四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成方法。

陣列信號(hào)處理；魯棒自適應(yīng)波束形成；四元數(shù)；模型失配

0 引 言

自適應(yīng)波束形成作為陣列信號(hào)處理的主要研究?jī)?nèi)容之一，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、無(wú)線通信、醫(yī)學(xué)影像以及地震探測(cè)等眾多領(lǐng)域[1-3]。矢量傳感器構(gòu)陣列由于能夠獲取和利用入射信號(hào)的極化信息，完成空-時(shí)-極化域聯(lián)合濾波，進(jìn)而提高波束形成器性能，一直以來(lái)備受關(guān)注[4-5]。

多元數(shù)建模方法相比于常規(guī)復(fù)數(shù)方法可以更好地描述和利用矢量傳感器陣列輸出數(shù)據(jù)的多層次和多維度結(jié)構(gòu)信息，近年來(lái)已成為矢量傳感器陣列信號(hào)處理中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一[6-7]。復(fù)數(shù)域多重信號(hào)分類、子空間旋轉(zhuǎn)不變等信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法已被成功推廣于多元數(shù)域。由于隱含數(shù)據(jù)平滑操作，多元數(shù)域方法在抗噪性能和對(duì)模型誤差的魯棒性等方面較之復(fù)數(shù)域方法有一定優(yōu)勢(shì)[8-11]。此外，四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成方法最近也受到了眾多關(guān)注，其中，文獻(xiàn)[12]將四元數(shù)應(yīng)用于二分量矢量傳感器陣列自適應(yīng)波束形成中，但其輸出信干噪比性能對(duì)實(shí)際中經(jīng)常存在的導(dǎo)向矢量失配問(wèn)題較為敏感；文獻(xiàn)[13]基于兩路干擾及噪聲對(duì)消的思想，研究了一種具有聯(lián)合結(jié)構(gòu)且能抑制單個(gè)強(qiáng)相干干擾的自適應(yīng)波束形成方法；文獻(xiàn)[14]將復(fù)數(shù)域最壞情況最優(yōu)化技術(shù)推廣至四元數(shù)域，提出了兩種四元數(shù)域最壞情況最優(yōu)化自適應(yīng)波束形成方法，其對(duì)模型誤差的魯棒性優(yōu)于常規(guī)四元數(shù)域波束形成方法。

然而，上述兩種四元數(shù)域最壞情況最優(yōu)化自適應(yīng)波束形成方法均需要模型誤差的先驗(yàn)信息，在實(shí)際應(yīng)用中其實(shí)現(xiàn)有一定困難。為此，本文將復(fù)數(shù)域?qū)蚴噶啃拚敯舨ㄊ纬煞椒ㄍ茝V至四元數(shù)域，提出一種性能更好且更易實(shí)現(xiàn)的四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成方法。

1 問(wèn)題描述

1.1 四元數(shù)的相關(guān)定義

四元數(shù)q可表示為

q=qr+iqi+jqj+kqk=q1+iq2

(1)

四元數(shù)的三種對(duì)合(可視為復(fù)數(shù)共軛的推廣)[15]分別定義為：1)q(i)=-iqi=qr+iqi-jqj-kqk；2)q(j)=-jqj=qr-iqi+jqj-kqk；3)q(k)=-kqk=qr-iqi-jqj+kqk，利用四元數(shù)及其對(duì)合的定義，可以得到：qr=(q+q*)/2，qi=(q-q(i)*)/2i，qj=(q-q(j)*)/2j，qk=(q-q(k)*)/2k。

M×N維四元數(shù)矩陣Q可表示為

Q=Qr+iQi+jQj+kQk

(2)

1.2 四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成

假設(shè)波束形成陣列由N個(gè)特性相同的二分量矢量傳感器組成，將其劃分為兩個(gè)空間幾何完全相同的子陣，其復(fù)數(shù)域輸出分別具有下述形式：

(3)

(4)

式中，a1,0和a2,0為兩個(gè)子陣對(duì)應(yīng)于期望信號(hào)s0(t)的導(dǎo)向矢量，a1,m和a2,m為兩個(gè)子陣對(duì)應(yīng)于第m個(gè)干擾sm(t)的導(dǎo)向矢量，n1(t)和n2(t)為兩個(gè)子陣的噪聲矢量。

利用x1(t)和x2(t)構(gòu)造下述四元數(shù)矢量：

x(t)=x1(t)+ix2(t)=a0s0(t)+

(5)

式中，am=a1,m+ia2,m為sm(t)的四元數(shù)域?qū)蚴噶浚琻(t)=n1(t)+in2(t)為四元數(shù)域噪聲矢量。

四元數(shù)域波束形成器的輸出可以寫(xiě)成：

y(t)=w?x(t)

(6)

式中，w為四元數(shù)域波束形成器權(quán)矢量。四元數(shù)域波束形成器的輸出功率為：

E{|y(t)|2}=E{|w?x(t)|2}=w?Rw

(7)

式中，R=E{x(t)x?(t)}為陣列輸出四元數(shù)域協(xié)方差矩陣。

四元數(shù)域波束形成器權(quán)矢量w可通過(guò)下述準(zhǔn)則(QCAPON)確定：

s.t.w?a0=1

(8)

利用拉格朗日乘子方法可得下述QCAPON波束形成器權(quán)矢量：

(9)

(10)

式中，K為采樣快拍數(shù)。

2 基于導(dǎo)向矢量修正的四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成

關(guān)于誤差分量e⊥的估計(jì)，文獻(xiàn)[16]提出了一種二次約束二次規(guī)劃方法，該方法可以直接推廣至四元數(shù)域，也即

(11)

(12)

e⊥=e⊥, r+ie⊥,i+je⊥,j+ke⊥,k

(13)

(14)

于是有

(15)

(16)

式中

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

這樣，

(23)

式中，dr，di，dj和dk均為N×1維實(shí)數(shù)矢量。

(24)

L=Lr+iLi+jLj+kLk

(25)

(26)

由此，式(11)所示的四元數(shù)域約束優(yōu)化問(wèn)題最終可寫(xiě)成如下實(shí)數(shù)形式：

s.t.

(27)

e⊥=e⊥,A(1:N)+ie⊥,A(N+1:2N)+je⊥,A

(2N+1:3N)+ke⊥,A(3N+1:4N)

(28)

將式(10)和(28)代入式(9)中，最終得到下述基于四元數(shù)域?qū)蚴噶啃拚乃脑獢?shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成(QSVC-BF)權(quán)矢量

(29)

將式(29)代入式(6)中，可得四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成器的輸出如下：

(30)

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

本節(jié)對(duì)論文所提的QSVC-BF方法，文獻(xiàn)[12]中的QCAPON方法，以及文獻(xiàn)[14]中的QWCCB1方法和QWCCB2方法進(jìn)行性能比較。采用由10個(gè)交叉偶極子天線組成的矢量線陣,交叉偶極子天線間的距離均為信號(hào)半個(gè)波長(zhǎng)。假設(shè)有1個(gè)期望信號(hào)與2個(gè)非相干干擾從遠(yuǎn)場(chǎng)入射至該陣列，噪聲為加性高斯白噪聲。假設(shè)期望信號(hào)的俯仰角和方位角分別為5°和60°，極化輔助角和極化相位差分別為45°和30°，干擾1的俯仰角和方位角分別為30°和40°，極化輔助角和極化相位差分別為9°和55°，干擾2的俯仰角和方位角分別為60°和20°，極化輔助角和極化相位差分別為63°和72°。期望信號(hào)導(dǎo)向矢量的真實(shí)值和標(biāo)稱值之間的誤差矢量為e，假設(shè)其范數(shù)‖e‖在區(qū)間(0, 1]上均勻分布[6]。蒙特卡洛獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)均為200。

圖1和圖2分別給出了輸入干噪比(INR)固定為20 dB和30 dB時(shí),輸出信干噪比隨輸入信噪比(SNR)的變化圖。仿真實(shí)驗(yàn)中，采樣快拍數(shù)均固定為30。由圖1和圖2所示結(jié)果可以看出，在輸入信噪比較低時(shí)，幾種波束形成器性能相近，且均接近輸出信干噪比最優(yōu)值(OPT-SINR)；隨著輸入信噪比的增大，QWCCB1方法和QWCCB2方法的輸出信干噪比性能接近但均逐漸低于最優(yōu)值，QCAPON方法其輸出信干噪比性能則急劇下降，本文所提的QSVC-BF方法輸出信干噪比性能整體上優(yōu)于其他幾種四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成方法。

圖1 輸出SINR隨輸入SNR變化圖，INR=20 dB

圖2 輸出SINR隨輸入SNR變化圖，INR=30 dB

圖3和圖4分別給出了輸入干噪比固定為20 dB和30 dB時(shí),輸出信干噪比隨采樣快拍數(shù)變化的性能曲線。仿真實(shí)驗(yàn)中，輸入信噪比固定為10 dB。由圖3和圖4所示結(jié)果可以看出，隨著采樣快拍數(shù)的增加，幾種自適應(yīng)波束形成方法的輸出信干噪比逐漸變大且趨于穩(wěn)定，QWCCB1和QWCCB2兩種方法的性能相當(dāng)，在各個(gè)采樣快拍數(shù)下，文中所提的QSVC-BF方法的輸出信干噪比性能都較優(yōu)于QWCCB1方法、QWCCB2方法和QCAPON方法，即使在采樣快拍數(shù)低于50的情況下，QSVC-BF方法也具有較好的輸出信干噪比性能。

圖3 輸出SINR隨快拍數(shù)變化圖，INR=20 dB

圖4 輸出SINR隨快拍數(shù)變化圖，INR=30 dB

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成方法，通過(guò)四元數(shù)域二次約束二次規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)數(shù)化，直接利用凸優(yōu)化工具包(CVX)對(duì)四元數(shù)域期望信號(hào)導(dǎo)向矢量的標(biāo)稱值進(jìn)行修正，以克服由信號(hào)相消所導(dǎo)致的四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成器性能下降問(wèn)題。仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提方法的輸出信干噪比性能優(yōu)于現(xiàn)有的幾種典型的四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成方法，且在高輸入信噪比和短快拍條件下尤為顯著。

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A Quaternion-valued Robust Adaptive Beamforming Method

WANG Li, XU You-gen,LIU Zhi-wen

(School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

The problem of quaternion-valued robust adaptive beamforming in the presence of steering vector mismatch is considered in the paper. In the method, the complex-valued quadratically constrained quadratic programming technique is extended to the quaternion domain to enhance the quaternion-valued steering vector of the signal of interest (SOI). The quaternion-valued quadratically constrained quadratic programming problem is then reformulated as a real-valued constrained one which can be directly solved by using the convex optimization toolkit (CVX). The quaternion domain robust adaptive beamforming is finally realized by using the upgraded quaternion-valued SOI steering vector. Simulation results show that the proposed robust beamformer outperforms the existing quaternion domain adaptive beamformers in terms of output signal to interference-plus-noise ratio for the tested case of steering vector mismatch.

array signal processing; robust adaptive beamforming; quaternion; model mismatch

10.3969/j.issn.1673-5692.2016.02.006

2016-11-11

2017-02-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(61490691, 61331019)

TN971.1

A

1673-5692(2017)02-132-05

王 荔(1995—)，女，山西人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理及其應(yīng)用；

E-mail：wangli_nice@126.com

徐友根(1975—)，男，江蘇人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理及其應(yīng)用；

劉志文(1962—)，男，陜西人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理及其應(yīng)用、醫(yī)學(xué)信號(hào)與圖像處理等。