王 慶

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

直角雙曲線內(nèi)接三角形的垂心問(wèn)題

王 慶

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

目前，有關(guān)直角雙曲線內(nèi)接三角形垂心問(wèn)題的研究還不多。本文用解析幾何與射影幾何的方法討論這一問(wèn)題，得出直角雙曲線的內(nèi)接三角形的垂心在原雙曲線上的結(jié)論。

直角雙曲線；射影幾何；垂心

性質(zhì)1：直角雙曲線的內(nèi)接三角形的垂心在原雙曲線上。

證明(1)，首先用解析幾何的方法討論。

(1)

設(shè)：b=cosαcosβcosγ+cosαsinβsinγ+sinαcosβsinγ+sinαsinβcosγ，c=sinαsinβsinγ+sinαcosβcosγ+cosαsinβcosγ+cosαcosβsinγ，

(2)

取ω=arctan(-b/c)，則bcosω+csinω=0，該式可變形為

(3)

取S為直角雙曲線上對(duì)應(yīng)t=2ω的點(diǎn)，則RS的斜率為cos(ω-γ)/sin(ω+γ)。而由上式(1)可得RS⊥PQ，同理上式(2)可得QS⊥RP、上式(3)可得PS⊥QR。因此，S就是ΔPQR的垂心H，故H也在直角雙曲線上。

下面用射影幾何的方法證明，討論中所用射影幾何的概念及性質(zhì)可見(jiàn)[1]。本文的討論要多次用到射影幾何的Steiner定理：設(shè)A，B是二次曲線上兩定點(diǎn)，它們與二次曲線上動(dòng)點(diǎn)P的連線的對(duì)應(yīng)APBP是線束A，B間的射影映射，兩線束間非透視的射影映射的對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)軌跡是二次曲線。為了給出性質(zhì)1的證明，本文先給出如下的性質(zhì)。

性質(zhì)2：設(shè)A，B是雙曲線上兩定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，則ΔABP的垂心是一條二次曲線。

確保無(wú)限制接入電網(wǎng)，余電上網(wǎng)全額收購(gòu)。接入系統(tǒng)投資由電網(wǎng)公司負(fù)責(zé)。根據(jù)中共中央國(guó)務(wù)院《關(guān)于進(jìn)一步深化電力體制改革的若干意見(jiàn)》電網(wǎng)企業(yè)應(yīng)提高服務(wù)效率，保證無(wú)障礙接入。天然氣分布式能源按“以熱定電”的原則組織生產(chǎn)，具有綜合能效高的特點(diǎn)，電網(wǎng)企業(yè)應(yīng)支持和保證天然氣分布式能源電力直供，余電優(yōu)先上網(wǎng)和全額收購(gòu)。根據(jù)國(guó)家能源局綜合司關(guān)于電網(wǎng)企業(yè)回購(gòu)電源項(xiàng)目自建配套送出工程有關(guān)事項(xiàng)的通知精神，電網(wǎng)公司應(yīng)承擔(dān)系統(tǒng)接入費(fèi)用。由分布式能源公司先行墊支建設(shè)的，要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)回購(gòu)。

圖1

證明：如圖1，以AB為直徑作圓，設(shè)PA，PB分別交圓于X、Y，AY與BX的交點(diǎn)H是ΔABP的垂心。對(duì)雙曲線與圓用Steiner定理可得：

把性質(zhì)中雙曲線換成橢圓或拋物線也成立[2]。進(jìn)一步可以證明，性質(zhì)2中橢圓的內(nèi)接三角形的垂心軌跡也是一個(gè)橢圓。

圖2

證明(2)：設(shè)P、Q是直角雙曲線Γ上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，它們也是直角雙曲線的漸近線與曲線的交點(diǎn)(切點(diǎn))。過(guò)P、Q的直線互相垂直。設(shè)A、B、C是Γ上三點(diǎn)，H是ΔABC的垂心。圖2畫(huà)出了無(wú)窮遠(yuǎn)直線。不難知道，P→Q，A→E，B→D給出無(wú)窮遠(yuǎn)直線一個(gè)對(duì)合，過(guò)這一對(duì)合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線互相垂直，對(duì)Γ上定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)C用Steiner定理可得無(wú)窮遠(yuǎn)直線上雙曲型射影映射

φ:P→P,Q→Q,D→E

記交比R(PQ,DE)=k，由[1]性質(zhì)2.2.2，φ的不動(dòng)點(diǎn)P、Q與它的任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的交比是常數(shù)，于是

R(PQ,AB)=R(QP,ED)=R(PQ,DE)=k，

這證明φ(A)=B。在定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)C給出的射影映射下，AA的像是BB，由Steiner定理，H是直角雙曲線Γ上點(diǎn)。

為了進(jìn)一步的討論先給出下面的性質(zhì)，叫做Desargues對(duì)合定理。

性質(zhì)3 一直線與完全四點(diǎn)形的三對(duì)對(duì)邊交點(diǎn)是一個(gè)對(duì)合的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，過(guò)此完全四點(diǎn)形的二次曲線與直線的交點(diǎn)也是對(duì)合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

圖3

證明：如圖3所示，設(shè)Γ是過(guò)完全四點(diǎn)形ABCD的頂點(diǎn)的二次曲線，一直線與完全四點(diǎn)形的邊交于E、E′，F(xiàn)、F′，G、G′，與Γ交于P、Q，對(duì)A、B用Steiner定理可得，

R(PQ,EF′)=R(PQ,FE′)=R(QP,E′F)。

這證明有對(duì)合φ1，使P→Q，E→E′，F(xiàn)→F′。同理，對(duì)B、C用Steiner定理可得對(duì)合φ2，使P→Q，F(xiàn)→F′，G→G′。對(duì)合由兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)決定，這兩個(gè)對(duì)合都把P、F分別變?yōu)镼、F′。因此φ1=φ2，記為φ。對(duì)合φ也由E→E′、F→F′決定，與二次曲線Γ的選取無(wú)關(guān)，這證明了Desargues對(duì)合定理。

性質(zhì)4 過(guò)(非直角)三角形的頂點(diǎn)與垂心的二次曲線是直角雙曲線。

證明： 設(shè)Γ是過(guò)ΔABC的頂點(diǎn)與垂心H的二次曲線，D、E、F是三邊上的垂足，DEF是由A、B、C、H給出的完全四點(diǎn)形的對(duì)角三點(diǎn)形，也是Γ的自極三點(diǎn)形。顯然，自極三點(diǎn)形DEF的每一條邊的兩邊都有二次曲線上點(diǎn)，而二次曲線的自極三點(diǎn)形的三邊中總有一邊與二次曲線沒(méi)有交點(diǎn)，這證明Γ是雙曲線。設(shè)A、B、D、E分別是AH、BH、AC、BC上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，P、Q是Γ上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，如圖2所示。由Desargues對(duì)合定理，P→Q,A→E,B→D給出一個(gè)對(duì)合。過(guò)A、E；B、D的直線分別垂直，由[1]§4.4習(xí)題8，過(guò)P、Q的直線也垂直。這證明Γ的漸近線垂直，Γ是等軸雙曲線[3]。

[1] 周建偉. 高等幾何[M]. 北京：高等教育出版社, 2003.

[2] 周建偉. 二次曲線局部與整體的關(guān)系[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2013,29(5):113-117.

[3] 王慶. 二次曲線垂直切線的研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2015,31(1):124-126.

[4] 石雙雙，杜旭東，白根柱.擴(kuò)展的三角函數(shù)展開(kāi)法及其應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013(2)：142-144.

責(zé)任編輯：程艷艷

ProblemAboutOrthocenterofRectangularHyperbolicInscribedTriangle

WANGQing

(DepartmentofMathematicsandPhysics,SuzhouVocationalUniversity,Suzhou215104,China)

At present, the research on the problem about orthocenter of rectangular hyperbolic inscribed triangle is not much. This paper uses the methods of analytic geometry and projective geometry to discuss the problem, giving a conclusion that the orthocenter of rectangular hyperbolic inscribed triangle is on the original hyperbolic.

rectangular hyperbolic; projective geometry; orthocenter

2017-02-16

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271277)；蘇州市職業(yè)大學(xué)校級(jí)課題(SVU2015CGCX13)

王慶(1979-),男，江蘇高郵人，副教授，碩士，主要從事從事高等幾何方面研究。

O123.1

C

1009-3907(2017)04-0023-02