張清華

教師們常說(shuō)：估算既難教又難學(xué)！但是，實(shí)際教學(xué)中教師一面抱怨估算教學(xué)的困難，一面并沒(méi)有重視估算教學(xué)，估算教學(xué)普遍都未落到實(shí)處。這是教師對(duì)估算的理解、認(rèn)識(shí)不足造成的，估算在提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上可以有更大的作為。

一、估算是兒童成長(zhǎng)的內(nèi)在需要

學(xué)生天生愛(ài)探究，但小學(xué)生又喜歡憑直覺(jué)進(jìn)行跳躍式的思考，并喜歡快速找到結(jié)論。這是小學(xué)生好勝的心理特征和直觀的思維特征決定的。而估算具有簡(jiǎn)便、快速、整體、直覺(jué)和跳躍性的特點(diǎn)，這很符合小學(xué)生的心理狀態(tài)。所以，從估算的特點(diǎn)看，學(xué)生會(huì)比較喜歡。我們來(lái)看兩個(gè)教學(xué)實(shí)例：

1.雞兔同籠，數(shù)數(shù)頭14只，數(shù)數(shù)腳30只，雞和兔各有幾只？

這道題的數(shù)據(jù)不復(fù)雜，是接觸雞兔同籠問(wèn)題的入門(mén)題目。教師往往會(huì)帶著學(xué)生們用假設(shè)法找出答案。如果我們先讓學(xué)生估一估，教學(xué)起來(lái)會(huì)不會(huì)更輕松呢？因?yàn)?4×2=28，與30很接近，所以本題一定是兩只腳的雞只數(shù)很多，四只腳的兔只數(shù)很少。多了估算這一步，學(xué)生就可以從“雞多兔少”的角度來(lái)假設(shè)。稍稍一試，就知道13只雞和1只兔就是答案。因?yàn)轭}中的數(shù)據(jù)小、直觀，易激發(fā)學(xué)生自發(fā)地去估算，多做這樣的估算，假設(shè)法將變得有的放矢，學(xué)生也容易接受。如果沒(méi)有估算，學(xué)生雖然知道要用假設(shè)法一步一步去推算，但只知其然，不知其所以然，費(fèi)時(shí)費(fèi)力效率低，學(xué)生會(huì)覺(jué)得索然無(wú)味。

2.一本書(shū)的中間被撕掉一張，余下的各頁(yè)頁(yè)碼之和正好是1000，撕掉的那一張是第幾頁(yè)？

此題高年級(jí)的學(xué)生可以用等差數(shù)列求和公式計(jì)算，做起來(lái)不難。若用常規(guī)思路，低年級(jí)小學(xué)生將難以完成，但估算方法變一變，就給學(xué)生打開(kāi)了方便之門(mén)。一個(gè)三年級(jí)的學(xué)生說(shuō)：這本書(shū)的全部頁(yè)碼之和要比1000大一些，估計(jì)最大頁(yè)數(shù)不會(huì)超過(guò)50頁(yè)。我用計(jì)算器從1開(kāi)始順著往后加，加到45就等于1035，超過(guò)1000了，所以，撕掉的是17和18頁(yè)；若再加到46，和是1081，撕掉的是40和41頁(yè)，但頁(yè)碼40和41不在同一張紙上……再往后加，發(fā)現(xiàn)已經(jīng)超過(guò)最高頁(yè)數(shù)了。所以，答案只能是第17和18頁(yè)。其他學(xué)生一聽(tīng)，連說(shuō)：真簡(jiǎn)單，我也來(lái)試試。這個(gè)問(wèn)題就這樣解決了。

上面的估算過(guò)程不僅直觀有效，問(wèn)題也變成了正向的推算，所以，學(xué)生體驗(yàn)到：估算簡(jiǎn)單，估算有趣。只要估算方法是符合兒童心理特征的，估算就成了學(xué)生的內(nèi)在需要。

二、估算是發(fā)展思維能力的需要

在小學(xué)，學(xué)生需要掌握幾種具體的估算方法：進(jìn)位法、去尾法、四舍五入法以及看成整十整百數(shù)等。單一的估算方法并不難，但學(xué)生的困難在于，面對(duì)綜合的實(shí)際問(wèn)題該如何確定估算策略？是往大估、往小估還是四舍五入？

例如，學(xué)校圖書(shū)館有12個(gè)書(shū)架，每個(gè)書(shū)架能放48本書(shū)。如果問(wèn)題是這些書(shū)架大約能放多少本書(shū)？就適合用“四舍五入”法；若問(wèn)這些書(shū)架夠放600本書(shū)嗎？就適合往大估，把48看成50；若問(wèn)這些書(shū)架夠放480本書(shū)嗎？就適合往小估，把12看成10。

學(xué)生在尋找估算策略的過(guò)程中是在不斷地進(jìn)行比較、判斷、推理等思維活動(dòng)的，所以，估算的過(guò)程就是學(xué)生提升數(shù)學(xué)能力、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)估算意識(shí)的過(guò)程。估算的過(guò)程是開(kāi)放的、動(dòng)態(tài)的，估算的結(jié)果也是不唯一的，這正是傳統(tǒng)的計(jì)算教學(xué)和應(yīng)用題教學(xué)（傳統(tǒng)的應(yīng)用題給出的條件不多不少，正好與問(wèn)題匹配）所缺失的。所以，加強(qiáng)估算教學(xué)是提升學(xué)生思維的靈活性、開(kāi)放性、創(chuàng)新性的重要途徑。

學(xué)生估算意識(shí)的形成還為數(shù)學(xué)的邏輯推理提供了支撐，提升了思維的深刻性。例如，教學(xué)《圓的周長(zhǎng)》，一般的教法是教師指令學(xué)生統(tǒng)一去測(cè)量圓的周長(zhǎng)和直徑，這種測(cè)量只動(dòng)手未過(guò)心，經(jīng)學(xué)生測(cè)算，周長(zhǎng)可能是直徑的2倍多、3倍多、4倍多……

我們來(lái)對(duì)比一下由估算引出的探究過(guò)程：教師從我國(guó)最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中的“周三徑一”是什么意思引入，“周長(zhǎng)真的是直徑的三倍嗎？”這立刻激起了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望。我們可以先用幾何直觀的方法去探究、去估算，如下圖：

顯然，從圖中可以直觀地估算出：正六邊形的周長(zhǎng)<圓的周長(zhǎng)<正方形的周長(zhǎng)，因?yàn)檎呅蔚闹荛L(zhǎng)=直徑的3倍，正方形的周長(zhǎng)=直徑的4倍，所以，直徑的3倍<圓的周長(zhǎng)<直徑的4倍。

然后，學(xué)生再去測(cè)量驗(yàn)證，就使測(cè)量有了明確的方向和精確度，避免了操作的空泛、表面化。估算意識(shí)促進(jìn)了理性和感性的結(jié)合，促進(jìn)了學(xué)生自主、深刻地建構(gòu)圓周長(zhǎng)的意義，這種建構(gòu)是一個(gè)充滿(mǎn)激情的、開(kāi)放的、理性的生成過(guò)程?？鬃釉唬粦嵅粏?，不悱不發(fā)。顯然，傳統(tǒng)的單一指令學(xué)生測(cè)量的教學(xué)與先估后量的教學(xué)不論在學(xué)生的情感體驗(yàn)和數(shù)學(xué)化體驗(yàn)上都相去甚遠(yuǎn)。

估算提升了學(xué)生的思維能力，沒(méi)有估算意識(shí)的頭腦就會(huì)缺少思維的靈活性、深刻性、創(chuàng)新性等，就會(huì)降低思考過(guò)程的整體質(zhì)量。

三、估算是聯(lián)系生活和數(shù)學(xué)的需要

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)給人的印象是抽象、枯燥、高高在上，學(xué)得多，用得少。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容單一、過(guò)深、過(guò)難、脫離實(shí)際。新教材以“情境化”的呈現(xiàn)方式力求溝通數(shù)學(xué)與生活，新課標(biāo)力求把學(xué)生培養(yǎng)成懂?dāng)?shù)學(xué)，會(huì)生活的人。

生活離不開(kāi)估算。開(kāi)車(chē)行駛在高速公路上，我們常常要估一估離目的地大約還有多遠(yuǎn)，油箱里大約還有多少油；買(mǎi)一處新居，我們常常要先估算一下每個(gè)房間大約多大等等。生活中的很多統(tǒng)計(jì)量都只是一個(gè)近似值，而解決現(xiàn)實(shí)生活中的很多問(wèn)題并不需要算出精確值，往往只需要估算出大致的結(jié)果，即使求精確值，也離不開(kāi)估算，如筆算除法要用估算幫忙試商，我們還常用估算檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。所以，估算很實(shí)用。

除了實(shí)用，估算更重要的內(nèi)在價(jià)值是豐富了數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，開(kāi)闊了數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的問(wèn)題解決。如前所述，估算提升了學(xué)生的思維能力，更促進(jìn)了學(xué)生直覺(jué)思維的發(fā)展，為問(wèn)題解決快速找到靈感。筆者曾給五年級(jí)的學(xué)生出過(guò)一道難題：某車(chē)間每天能生產(chǎn)甲種零件500個(gè)，或者生產(chǎn)乙種零件600個(gè)，或者生產(chǎn)丙種零件750個(gè)。甲、乙、丙三種零件各一個(gè)配成一套，現(xiàn)要在30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，問(wèn)甲、乙、丙三種零件，各應(yīng)生產(chǎn)多少天？此題的一般解法是列方程組。對(duì)于五年級(jí)的學(xué)生而言，列出方程難，解出方程更難。

奇特的是，幾個(gè)學(xué)生迅速地給出了正確答案。他們是這樣想的：因?yàn)槊糠N零件各一個(gè)配成一套，要生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，每種零件的數(shù)量就要同樣多。把30天分成3個(gè)10天，但500×10、600×10、750×10肯定不相等，所以，500要乘多一點(diǎn)的天數(shù)，750要乘少一點(diǎn)的天數(shù)。再用幾個(gè)數(shù)字試一試，很容易得到500×12=600×10=750×8，所以甲、乙、丙各應(yīng)生產(chǎn)的天數(shù)分別是12天、10天、8天。

雖然這樣解題帶有一定的偶然性，但學(xué)生當(dāng)時(shí)的表現(xiàn)很精彩——學(xué)生有很強(qiáng)的數(shù)感和估算意識(shí)，他們思想開(kāi)放，躍過(guò)一步一步推理，憑直覺(jué)直接抓住問(wèn)題的核心。數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)：“邏輯用于證明，直覺(jué)用于發(fā)明?！迸ｎD、愛(ài)因斯坦都是抓住直覺(jué)，做出偉大發(fā)明的典范。顯然，估算教學(xué)是落實(shí)新課標(biāo)理念、培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感和推理能力的重要途徑。

估算就像一股充滿(mǎn)活力的新鮮血液，幫助學(xué)生完善了對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，形成了更靈活的數(shù)學(xué)思維。以前，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)是“絲絲入扣、分毫不差”，現(xiàn)在，我們要認(rèn)識(shí)到：“千真萬(wàn)確”的是數(shù)學(xué)，“模糊大約”的也是數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教育不是刻板的、單一的、精準(zhǔn)的“智力”，而是充滿(mǎn)溫情的、開(kāi)放的、生動(dòng)的“智慧”。

（作者單位：華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯 陳建軍