余國勝 危合文 劉軍 姚春臨

摘 要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是工科類本科生的公共必修基礎(chǔ)課，具有理論與應(yīng)用并重的特點(diǎn)。文章結(jié)合自己的工作實(shí)踐，探討了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)方法，進(jìn)而提供了一種培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和獨(dú)立思考能力的有效途徑。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；思想方法；教學(xué)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）08-0059-02

Abstract： The probability theory and mathematical statistics is a basic compulsory course for undergraduates majored in science and engineering. It has the characteristics of emphasizing on theory and application. Combined with the author's working practice， this paper discusses some teaching methods about probability theory and mathematical statistics and provides effective ways to cultivate students' creative thinking and independent thinking ability.

Keywords： probability theory and mathematical statistics； thinking methods； teaching

引言

講授概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)十一年了，對這門課程有了深入的了解，把握知識的重難點(diǎn)，教學(xué)效果好。但是也存在一些問題，有些學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度不端正，上課注意力不集中，還有一些學(xué)生高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)學(xué)得不夠好，因此學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)有困難，此外學(xué)生的學(xué)習(xí)水平參差不齊，有的學(xué)生接受能力比較強(qiáng)，有的學(xué)生接受能力比較弱，這都給教學(xué)帶來一定的難度。目前，我校采用的是學(xué)分制。由于學(xué)時(shí)的限制，教師不得不趕進(jìn)度，講授完教學(xué)大綱規(guī)定的內(nèi)容，根本沒有時(shí)間講解實(shí)例和章節(jié)彼此間的聯(lián)系，不能有效編織科學(xué)有效的知識網(wǎng)，造成學(xué)習(xí)知識不夠系統(tǒng)。在課堂教學(xué)中，學(xué)生參與進(jìn)來的積極性不高，往往是被動(dòng)接受知識，沒有有效調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性及創(chuàng)造性。考核方式是平時(shí)成績+期末卷面成績，平時(shí)成績占30%，期末卷面成績占70%。平時(shí)成績一般由考勤，作業(yè)，問答三方面構(gòu)成，平時(shí)成績對綜合成績影響不大，沒法全面考核學(xué)生。此外，期末考試試卷只是考察學(xué)生知識點(diǎn)掌握的情況，一般傾向于考察學(xué)生的邏輯思維、抽象思維與計(jì)算演算能力，而忽視了實(shí)際開拓創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致難以達(dá)到人才培養(yǎng)方案對人才知識結(jié)構(gòu)和能力的要求。

隨著教育科學(xué)的不斷發(fā)展，有關(guān)其他領(lǐng)域的新的教學(xué)理念也在改造后被廣泛移植，應(yīng)用到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂所在，是聯(lián)系數(shù)學(xué)各類知識的橋梁，是數(shù)學(xué)學(xué)科賴以建立和發(fā)展的重要因素。因?yàn)橹挥姓莆樟藬?shù)學(xué)思想方法才能抓住數(shù)學(xué)的靈魂，掌握數(shù)學(xué)的“通性”、“通法”，才能從整體上，本質(zhì)上認(rèn)識數(shù)學(xué)，避免學(xué)生“囫圇吞棗”、死記硬背，從而優(yōu)化思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力。之所以強(qiáng)調(diào)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想方法及其教學(xué)，是針對過去我們片面強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識教學(xué)，簡單地拋出結(jié)論性的東西，滿堂灌而言的。盡管概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想方法具體體現(xiàn)于基礎(chǔ)知識中，但兩者不能相互替代。因此，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，對學(xué)生進(jìn)行概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法的滲透，并將這項(xiàng)工作貫穿于整個(gè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中是十分必要的。

一、通過小結(jié)，提煉出概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法

學(xué)習(xí)完一章，就要對知識要點(diǎn)進(jìn)行“小結(jié)”，小結(jié)起著提綱挈領(lǐng)的作用，能使學(xué)生理解概念的現(xiàn)實(shí)背景和含義，能使學(xué)生明確要點(diǎn)。例如在第一章結(jié)束以后，可小結(jié)一下處理有關(guān)擲硬幣問題的思想方法。將一枚硬幣連擲三次，求下列事件的概率：（1）三次都是正面；（2）一次正面，兩次反面；（3）至少一次正面。分析：如果用H表示正面，T表示反面，則連擲三次的可能結(jié)果是：

{HHH，HHT，HTH，THH，TTH，THT，HTT，TTT}。

且由對稱性易知，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，因此可用古典概率計(jì)算概率。于是

這種思維方法可概括為“表示問題、分解問題、轉(zhuǎn)化問題”，它是處理更一般問題時(shí)常用的方法，由此可見，通過小結(jié)可以使學(xué)生做到舉一反三。此外可以進(jìn)一步推廣到n重伯努利試驗(yàn)的情形，可以得到一系列有用的結(jié)果。當(dāng)n很大時(shí)，相關(guān)的概率計(jì)算起來很困難。學(xué)了泊松分布以后，二項(xiàng)分布的泊松近似，即泊松定理，就很好地解決了這個(gè)問題。將相應(yīng)知識串聯(lián)起來，織成網(wǎng)，學(xué)生學(xué)習(xí)知識更加系統(tǒng)，學(xué)習(xí)興趣就會(huì)大大提高。

二、善于結(jié)合身邊的實(shí)例進(jìn)行教學(xué)

全概率公式與貝葉斯公式是概率論中的一個(gè)重要公式，它能把復(fù)雜的概率計(jì)算化繁為簡。如果教師照本宣科，脫離實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生要真正理解和掌握其精髓是困難的。教師在講授貝葉斯公式時(shí)，可以設(shè)計(jì)這樣的一個(gè)游戲案例：假設(shè)袋中裝有 m枚正品硬幣，n枚次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽），在袋中任取一枚，將它投擲？酌次，已知每次都是國徽，問這枚硬幣是正品的概率？這是一個(gè)有趣的問題。若設(shè)在袋中任取一枚正品為事件A，任取一枚次品為事件A，B為事件拋？酌次為國徽，即求條件概率P（A|B）由條件概率的定義和全概率公式可以得到

對于固定的m，n，？酌越大，這個(gè)條件概率越小，當(dāng)？酌→∞ 時(shí)，由實(shí)際推斷原理，可以斷言從袋中取出的是次品，這與實(shí)際是相符的。

日常生活中，人們出行時(shí)經(jīng)常乘坐公交車，公交車的車門高度設(shè)計(jì)與人的身高是有關(guān)系的。如果太矮，乘客就容易撞到頭。如果太高，既不經(jīng)濟(jì)也不安全。自然而然的一個(gè)問題是：如何設(shè)計(jì)車門的高度比較合理？根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)的常識，人的身高 服從正態(tài)分布（汽車設(shè)計(jì)手冊中也是這樣指出的），即X～N（？滋，？滓2）。小孩的身高比較矮，可以不考慮。成年女子的身高一般也比同齡的男子矮，因此在設(shè)計(jì)公交車的車門高度時(shí)，我們重點(diǎn)考慮成年男性。由各國統(tǒng)計(jì)資料，可得各國各民族成年男子身高的？滋和？滓2值。例如對于中國人，？滋=1.75，？滓=0.05（當(dāng)然根據(jù)時(shí)間的不同，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也可能有所不同，此處僅以此數(shù)據(jù)為例），現(xiàn)要求上下車時(shí)要低頭的成年男子不超過0.1%車門需要多高呢？設(shè)車門高度為h，X為中國成年男子的身高，則 X～N（1.75，0.052）則成年男子乘車需要低頭的概率為

三、引入多媒體、統(tǒng)計(jì)軟件教學(xué)，完善課程的考核評價(jià)體系

傳統(tǒng)的教學(xué)模式是“一支粉筆，一塊黑板，教師滿堂灌”。 教學(xué)手段相對單一，教學(xué)信息量相對有限，教學(xué)效果難以保證。借助于現(xiàn)代化多媒體技術(shù)，利用成熟的統(tǒng)計(jì)軟件，可以大大節(jié)省教學(xué) 時(shí)間，豐富教學(xué)內(nèi)容。利用統(tǒng)計(jì)軟件幫助學(xué)生解決單調(diào)、繁瑣的計(jì)算，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。 例如在講授最大似然估計(jì)時(shí)，單調(diào)、枯燥的“填鴨式”教學(xué)往往會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生厭煩情緒。此時(shí)，在運(yùn)用傳統(tǒng)教學(xué)方法的同時(shí)，運(yùn)用多媒體以圖像、聲音和動(dòng)畫舉個(gè)例子：一個(gè)農(nóng)民和一個(gè)百步穿楊的獵人去打獵，看到一只兔子跑過，聽到砰的一聲槍響，兔子應(yīng)聲倒地，問：這一槍最有可能是哪個(gè)人放的。通過設(shè)置情景，會(huì)讓抽象的理論更加具體，使枯燥的課堂生動(dòng)起來。需要指出：對于只要求學(xué)生了解的內(nèi)容、概念和圖表運(yùn)用多媒體技術(shù)能節(jié)省時(shí)間，提高效率。對于需要證明的定理，還是傳統(tǒng)的課堂演板為宜。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，使得計(jì)算機(jī)技術(shù)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有了用武之地，各種成熟的統(tǒng)計(jì)軟件破解了數(shù)據(jù)挖掘，數(shù)據(jù)分析工作中的難題，使學(xué)生得以擺脫單調(diào)，乏味的計(jì)算，大大提高了學(xué)習(xí)效率。

考核評價(jià)是教學(xué)過程中的重要環(huán)節(jié)，考試是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的重要手段。制定科學(xué)完善的課程考核評價(jià)體系就顯得尤為重要。在批改學(xué)生作業(yè)的過程中，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生存在互相抄襲的現(xiàn)象，平時(shí)成績根本發(fā)揮不了太大作用。為此，有必要探索一種多樣化考核方式的方法?，F(xiàn)在由于高校擴(kuò)招，公共課一般都是大班授課，利用微信點(diǎn)名，可以節(jié)省時(shí)間，提高效率。通過網(wǎng)絡(luò)在線課程批改作業(yè)，可以有針對性地對學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)。在期末試卷閱卷過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生為了應(yīng)付考試，存在死記硬背，突擊復(fù)習(xí)的現(xiàn)象。提出期末試題中，除了傳統(tǒng)的選擇題、填空題、計(jì)算題外，加入開放性的考題很有必要。

四、實(shí)施分層次教學(xué)模式

我校一般在大二開設(shè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程。學(xué)生一般可以分為兩類：考研和拿學(xué)分的。針對考研學(xué)生，在講授知識時(shí)，要提高深度，啟迪他們的思維，拓展他們的能力，解決“吃不飽”的問題。針對拿學(xué)分的學(xué)生，教師要按照大綱要求不折不扣地安排教學(xué)內(nèi)容，達(dá)到培養(yǎng)目標(biāo)的要求。根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，教師可以有的放矢的實(shí)施分層次教學(xué)，對考研的學(xué)生作業(yè)量要大一點(diǎn)，難一點(diǎn)。除了要幫助學(xué)生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本思想方法外，可把更多的理論知識教給學(xué)生自學(xué)，教師只須對此進(jìn)行有針對性的輔導(dǎo)。對基礎(chǔ)不好的學(xué)生采取幫扶，讓他們端正學(xué)習(xí)態(tài)度，迎頭趕上，使教學(xué)收到實(shí)效?？梢試L試讓學(xué)生上講臺(tái)，讓他們?nèi)ブv，老師在下面聽，可以不時(shí)地提問，使學(xué)生得到鍛煉，提高他們的學(xué)習(xí)興趣。此外，鼓勵(lì)學(xué)生提出有價(jià)值的問題，給予加分的獎(jiǎng)勵(lì)，要重視“靈感”，有價(jià)值的問題不可能從天而降，要引導(dǎo)學(xué)生看一些參考書，第一次課就把這些書推薦給大家，創(chuàng)造條件培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題的能力。有時(shí)學(xué)生提出的問題很膚淺，這個(gè)時(shí)候需要鼓勵(lì)，切忌抹殺了他們提問題的熱情。研討課上，利用自己知識面相對比較廣的優(yōu)勢，歡迎大家提問題，盡其所能地一一作答，真正做到教學(xué)相長。讓學(xué)生知無不言，暢所欲言，形成良好的學(xué)習(xí)氛圍。

參考文獻(xiàn)

[1]張安彩，邱建龍，楊成東，等.工科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，35（5）：49-52.

[2]李印，苗晨，劉國志，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革與探索[J].中國冶金教育，2015（5）：12-17.

[3]郭長河，龐彥軍.以應(yīng)用為導(dǎo)向的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教改研究[J].河北工程大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2016，31（2）：98-100.

[4]徐群芳.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)的探索與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（1）：10-13.

[5]徐鳳林.關(guān)于工科院校概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革的思考實(shí)踐[J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（29）：1-3.

[6]沙秀艷，辛杰.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)實(shí)踐與探索[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（4）：9-12.