孫 莉,趙庚星

1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,山東 泰安 271018

2.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 農(nóng)業(yè)資源與環(huán)境博士后科研流動(dòng)站,山東 泰安 271018

基于正交非負(fù)矩陣分解的高光譜遙感圖像混合像元分解

孫 莉1,2,趙庚星2

1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,山東 泰安 271018

2.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 農(nóng)業(yè)資源與環(huán)境博士后科研流動(dòng)站,山東 泰安 271018

像元分解是遙感圖像信息挖掘的重要手段，非負(fù)矩陣分解模型應(yīng)用于高光譜遙感圖像混合像元分解時(shí)，分解的效果與算法所獲局部最優(yōu)解密切相關(guān)。本文將帶正交性約束的非負(fù)矩陣分解用于光譜解混，保證了分解矩陣列向量的線性無(wú)關(guān)性，進(jìn)而使分解所得端元光譜具有較大的獨(dú)立性。通過(guò)試驗(yàn)分析，利用正交非負(fù)矩陣分解，實(shí)現(xiàn)了對(duì)1997年機(jī)載可見(jiàn)光及紅外成像光譜儀(AVIRIS)高光譜圖像的混合像元分解，結(jié)果表明，增加約束條件后的正交非負(fù)矩陣分解，能成功分離出6種端元光譜，解混出的端元光譜與參考光譜的光譜角距離更小，與真實(shí)地物的豐度譜圖吻合度增強(qiáng)。

非負(fù)矩陣分解;高光譜遙感圖像;混合像元分解

高光譜遙感圖像由航天、航空載體上的高光譜成像儀獲得，它具有高光譜分辨力的特點(diǎn)，可在幾百、上千個(gè)連續(xù)光譜波段獲取目標(biāo)圖像。高光譜遙感圖像的主要優(yōu)勢(shì)是它的圖像數(shù)據(jù)可視為三維圖像，即二維圖像加一維光譜信息。二維圖像描述地表被測(cè)物空間信息特征，一維光譜信息揭示每一像元的光譜曲線特征。由于遙感圖像空間分辨率的限制以及地物的復(fù)雜多樣性，一個(gè)像元內(nèi)往往會(huì)包含多種地物類型(混合像元)，為了提高光譜遙感圖像對(duì)真實(shí)地表覆蓋的描述準(zhǔn)確性，需要對(duì)圖像進(jìn)行混合像元分解。

近年來(lái)，非負(fù)矩陣分解(Nonnegative Matrix Factorization,NMF)被逐漸引入混合像元分解中，為基于線性光譜混合模型的混合像元分解提供了新的途徑。若僅滿足線性光譜模型的非負(fù)性限制條件，NMF的求解不具有唯一性，這是由NMF所轉(zhuǎn)化的目標(biāo)函數(shù)的非凸性所導(dǎo)致的，一般優(yōu)化算法只能找到其局部最優(yōu)解。文獻(xiàn)[1,2]將沒(méi)有附加任何條件的NMF直接應(yīng)用于光譜解混，并針對(duì)模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)取得了一定的結(jié)果，由于局部最優(yōu)解的限制，真正用于高光譜數(shù)據(jù)時(shí)效果不佳。針對(duì)NMF在高光譜混合像元分解的具體應(yīng)用，已有學(xué)者嘗試通過(guò)增加有效的約束條件，改進(jìn)上述局限性。Jia S.等[3]在NMF模型中增加了稀疏性和分段平滑性約束，Miao L.提出了最小體積約束的NMF[4]，吳波等[5]以端元光譜之間的差距為約束條件，問(wèn)題模型綜合了圖像的分解誤差和端元光譜的影響。趙春暉等[6]提出了以最小估計(jì)豐度協(xié)方差和單形體各頂點(diǎn)到中心點(diǎn)均方距離總和最小約束的NMF，楊秀

坤等[7]引入端元光譜數(shù)學(xué)期望的四階累積量和負(fù)熵約束，在問(wèn)題模型中加入了端元獨(dú)立性約束。研究結(jié)果表明，增加特定約束條件后，對(duì)高光譜圖像進(jìn)行解混，可取得較好的分類效果。

在非負(fù)矩陣分解模型中加入正交性約束，稱之為正交非負(fù)矩陣分解(Orthogonal Nonnegative Matrix Factorization,ONMF)。本文將ONMF應(yīng)用于高光譜混合像元分解，從數(shù)據(jù)處理的角度解釋了增加正交性約束的優(yōu)勢(shì)，即保證分解所得端元光譜的獨(dú)立性。同時(shí)，利用NMF、ONMF與K-均值和球形K-均值的等價(jià)關(guān)系，分析了四種方法進(jìn)行特征提取的優(yōu)缺點(diǎn)。數(shù)值結(jié)果表明，利用ONMF可成功完成對(duì)機(jī)載可見(jiàn)光及紅外成像光譜儀(AVIRIS)采集的Urban區(qū)域高光譜圖像的混合像元分解。ONMF解混出的端元光譜與USGS譜庫(kù)的真實(shí)光譜間的光譜角更小，同時(shí)，與真實(shí)地物的豐度譜圖吻合度較之NMF明顯增強(qiáng)。

1 非負(fù)矩陣分解與光譜解混

1.1 非負(fù)矩陣分解

Lee D.D.和Seung H.S.提出非負(fù)矩陣分解的思想，對(duì)于現(xiàn)有的大規(guī)模矩陣Wn×m，NMF算法旨在尋找非負(fù)矩陣Un×r和Vr×m，使得W≈UV，其中W,U,V均為非負(fù)矩陣，最終通過(guò)兩個(gè)低秩矩陣U和V近似W。NMF在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時(shí)所體現(xiàn)出的優(yōu)勢(shì)是其它傳統(tǒng)矩陣分解算法所無(wú)法比擬的。事實(shí)上，NMF模型可以轉(zhuǎn)化為如下具有非負(fù)界約束的優(yōu)化問(wèn)題，

其中，∥·∥代表Frobenius范數(shù)，U≧0，V≧0表示矩陣U和V所有元素均為非負(fù)數(shù)。

1.2 光譜解混中的非負(fù)矩陣分解

高光譜圖像可以看成是三維數(shù)據(jù)構(gòu)成的立方體，它的X和Y維表現(xiàn)的是地球表面的坐標(biāo)，第三維是波段，它由光波的頻率所決定，實(shí)際的數(shù)據(jù)是地球上的特定位置在某一波長(zhǎng)下的強(qiáng)度。立方體的頂層對(duì)應(yīng)長(zhǎng)的波長(zhǎng)數(shù)據(jù)，底層數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)短的波長(zhǎng)數(shù)據(jù)。例如，將一幅AVIRIS圖像讀取為s×t×m的矩陣，其中m對(duì)應(yīng)波段數(shù)，s×t對(duì)應(yīng)圖像的寬度和高度，不妨設(shè)圖像的像素點(diǎn)有n=s×t個(gè)。將上述矩陣重新排列后，可得到n×m的矩陣W。

利用NMF實(shí)現(xiàn)W的分解后，得到的矩陣Un×r為豐度矩陣，這里r對(duì)應(yīng)光譜圖像中端元的個(gè)數(shù)，U的列向量分別對(duì)應(yīng)某個(gè)端元的空間分布。Vr×m則為端元矩陣，它的行向量為某個(gè)端元的光譜向量。

2 正交非負(fù)矩陣分解

2.1 問(wèn)題模型

Ding[8]首先提出了ONMF，已有學(xué)者證明ONMF與K-均值聚類等價(jià)，研究表明對(duì)V增加正交性約束后，ONMF等價(jià)于對(duì)W按列聚類[9]。ONMF的問(wèn)題模型可描述如下，

這里I表示r×r的單位矩陣。ONMF可視為增加正交性約束后的NMF問(wèn)題，V增加正交性約束后，在高光譜數(shù)據(jù)處理中具有更好的優(yōu)勢(shì)。

2.2 正交約束在光譜解混中的優(yōu)勢(shì)

ONMF問(wèn)題模型(2)中，正交約束條件VVT=I一旦滿足，V的行向量便保持了正交關(guān)系，易推知V的行向量是線性無(wú)關(guān)的。由于V的行向量對(duì)應(yīng)端元光譜，正交約束的滿足保證了端元光譜具有較大的獨(dú)立性。

文獻(xiàn)[10]，證明了ONMF問(wèn)題(2)與球形K-均值問(wèn)題等價(jià)。事實(shí)上，利用K-均值和球形K-均值可實(shí)現(xiàn)光譜解混的第一步工作——端元提取。K-均值聚類算法采用均值作為某類的代表點(diǎn)，當(dāng)類間的大小差別較大時(shí)，通過(guò)分割以達(dá)到極小化目標(biāo)函數(shù)的目的，這會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的聚類結(jié)果。球形K-均值以最大化相同類中數(shù)據(jù)點(diǎn)的相似度為目標(biāo)，可以很好的克服上述K-均值的缺陷。NMF和ONMF與K-均值和球形K-均值相比，優(yōu)勢(shì)在于前兩個(gè)方法可以同時(shí)完成端元提取和混合像元分解的工作，而后者在獲知端元光譜后，需要與其它方法結(jié)合，進(jìn)一步求解描述端元分布的豐度矩陣。

3 試驗(yàn)分析

3.1 遙感數(shù)據(jù)

文中數(shù)據(jù)取自1997年機(jī)載可見(jiàn)光及紅外成像光譜儀(AVIRIS)采集到的Urban高光譜圖像（307×307像素），有210個(gè)波段。該地區(qū)包含了屋頂、草地、樹(shù)木、道路等多種地物的混合，適用于檢驗(yàn)算法對(duì)于高混合度數(shù)據(jù)的適應(yīng)能力。去除信噪比低和水蒸氣吸收波段(1～4,76,87,101～111, 136～153以及 198～210)，余下162個(gè)有效波段。圖1為第53,35,10波段圖像合成的偽彩色圖像。

圖1 Urban區(qū)域的AVIRIS數(shù)據(jù)偽彩色圖Fig.1 AVIRIS data pseudo-color image of Urban Area

3.2 結(jié)果分析

首先設(shè)置端元數(shù)目為6，即r=6，分別采用正交非負(fù)矩陣分解(ONMF)和非負(fù)矩陣分解(NMF)，對(duì)Urban數(shù)據(jù)進(jìn)行高光譜混合像元分解。利用文獻(xiàn)[11]給出的有效集型算法求解NMF問(wèn)題模型，ONMF則采用文獻(xiàn)[12]給出的乘性迭代公式進(jìn)行矩陣更新。圖2中，第1行的6個(gè)圖像反映了Urban區(qū)域的真實(shí)豐度譜圖，第1-6列分別對(duì)應(yīng)路面，草地，樹(shù)木，屋頂，金屬以及裸地。ONMF解混結(jié)果顯示在第2行，第3行則是NMF實(shí)現(xiàn)的解混結(jié)果。從圖中可以看出，ONMF有效分離了草地，樹(shù)木，屋頂，金屬以及裸地的豐度譜圖，路面的豐度譜圖不理想。采用NMF實(shí)現(xiàn)的解混結(jié)果，其中僅能有效提取樹(shù)木，屋頂，裸地三者的豐度譜圖，路面、草地、金屬的分離效果不明顯。

圖2 Urban區(qū)域的AVIRIS數(shù)據(jù)解混后豐度譜圖對(duì)比Fig.2 Comparison of the abundance map obtained by NMF and ONMF

另一方面，取定類別數(shù)為6，即k=6，利用K-均值和球形K-均值算法對(duì)上述相同的162個(gè)波段的高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可獲得6個(gè)聚類中心(特征光譜信息)。

我們將美國(guó)地質(zhì)調(diào)查局(USGS)庫(kù)中的對(duì)應(yīng)光譜作為參考光譜，計(jì)算ONMF、NMF、K-均值、球形K-均值分離出的特征光譜與真實(shí)地物光譜之間的光譜角距離(Spectral Angel Distance,SAD)。通過(guò)SAD計(jì)算出的角度越小代表特征提取出的端元光譜與參考光譜越匹配。光譜角的計(jì)算公式為，其中 Va, Vb表示不同端元的光譜向量。

表3 AVIRIS數(shù)據(jù)USGS譜庫(kù)的真實(shí)光譜和估計(jì)的端元光譜的SAD比較Table 3 SAD comparison for the real AVIRIS data in USGS and estimated endmember spectrum

數(shù)值結(jié)果表明，ONMF提取出的端元光譜與參考光譜之間的夾角接近于0，較之NMF更接近真實(shí)端元光譜。通過(guò)ONMF進(jìn)行端元提取的精度與球形K-均值相當(dāng)，較之K-均值和NMF實(shí)現(xiàn)的端元提取，精度明顯提高。

4 結(jié)語(yǔ)

非負(fù)矩陣分解和基于線性光譜混合模型的混合像元分解相符合，通過(guò)NMF分解所得的U和V分別對(duì)應(yīng)豐度矩陣和端元矩陣。利用NMF處理高光譜數(shù)據(jù)，可同時(shí)實(shí)現(xiàn)端元提取和混合像元分解工作。由于局部最優(yōu)解的限制，NMF應(yīng)用于高光譜數(shù)據(jù)時(shí)效果不佳。通過(guò)對(duì)NMF問(wèn)題模型增加特定的約束條件，在一定程度上可以提高分解結(jié)果的有效性。

在非負(fù)矩陣分解模型中加入正交性約束，稱之為正交非負(fù)矩陣分解。從高光譜數(shù)據(jù)處理的角度看，正交性約束保證了分解矩陣中端元光譜的獨(dú)立性。數(shù)值結(jié)果表明，ONMF與球形K-均值實(shí)現(xiàn)的端元提取精度相當(dāng)，比通過(guò)NMF和K-均值提取的端元光譜更接近真實(shí)端元光譜。同時(shí)，與球形K-均值相比，ONMF分解獲得的矩陣U同時(shí)給出了每個(gè)端元的空間分布。本文方法較好改善了NMF的處理效果，為高光譜混合像元分解提供了有效手段。

數(shù)值測(cè)試過(guò)程中，求解NMF的有效集型算法較之其它求解算法，數(shù)值結(jié)果更好，我們將進(jìn)一步研究有效集指標(biāo)與光譜解混相關(guān)指標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并設(shè)計(jì)求解ONMF問(wèn)題的有效集型算法。

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Decomposition of Mixed Pixels of Hyperspectral Remote Sensing Images Based on Orthogonal Non-negative Matrix Factorization

SUN Li1,2,ZHAO Geng-xing2
1.College of Information Science and Engineering/Shandong Agricultural University,Tai’an 271018,China
2.The Post-doctorate Research Station of Agricultural Resources and Environment/Shandong Agricultural University,Tai’an 271018,China

Hyperspectral unmixing is a powerful tool for the remote sensing image mining.Nonnegative matrix factorization (NMF)has been adopted to deal with this issue,while the precision of unmixing is closely related with the local minimizer of NMF.Orthogonal NMF which imposes orthogonality constraints on the factor matrices can improve the clustering performance,since it ensures the independent of the endmember spactra.In the experimental test,ONMF was used to unmix the Urban scene which was captured by airborne visible/infrared imaging spectrometer(AVIRIS)in 1997,numerical results showed that ONMF could extract the endmember signature and accurately estimate abundance maps.

Nonnegative matrix factorization;hyperspectral remote sensing image;decomposition of mixed pixels

O221;TP751.1

:A

:1000-2324(2017)02-0264-04

10.3969/j.issn.1000-2324.2017.02.021

2016-01-09

:2016-02-23

國(guó)家自然科學(xué)基金(41271235,10901094,11301307);“十二五”國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2013BAD05B06-5);山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金(BF2011SF024,BF2012SF025);山東省高等學(xué)?？萍加?jì)劃項(xiàng)目(J16LI16)

孫 莉(1980-),女,博士,講師,研究方向?yàn)樽顑?yōu)化算法與理論.E-mail:sunli@sdau.edu.cn

*通訊作者:Author for correspondence.E-mail:zgx@sadu.edu.cn