毛 義，呂飛鵬

（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065）

0 引言

基于GPS或北斗和離散傅里葉變換DFT（Discrete Fourier Transform）原理的同步相量測(cè)量單元PMU（Phasor Measurement Unit）在廣域測(cè)量系統(tǒng)WAMS（Wide Area Measurement System）中扮演著核心角色［1-4］。隨著對(duì)電力系統(tǒng)狀態(tài)評(píng)估和安全評(píng)估要求的不斷提高，基于數(shù)據(jù)采集與監(jiān)視控制（SCADA）系統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集和處理亟待技術(shù)上的提升［5-6］。電力系統(tǒng)中所有PMU與一個(gè)GPS或北斗時(shí)鐘以微秒級(jí)誤差實(shí)現(xiàn)同步，可以直接測(cè)量節(jié)點(diǎn)電壓相量幅值和相角，并通過(guò)高速通信信道把數(shù)據(jù)傳輸?shù)秸{(diào)度中心［7］。國(guó)網(wǎng)公司正在加快WAMS的建設(shè)，目前500 kV及以上變電站、220 kV主要變電站、100 MW以上機(jī)組和新能源并網(wǎng)匯集站幾乎均安裝了PMU。

由于PMU的高成本，眾多學(xué)者都在尋求PMU最優(yōu)配置OPP（Optimal PMU Placement）方法。在解決OPP問(wèn)題上，已有優(yōu)化算法主要包括確定性分析法［8-10］和啟發(fā)搜索法［11-13］兩大類(lèi)。文獻(xiàn)［8］使用二進(jìn)制粒子群算法優(yōu)化配置PMU，將PMU數(shù)量與不可觀節(jié)點(diǎn)作為適應(yīng)度參數(shù)，使其滿足種群的最大適應(yīng)度。文獻(xiàn)［9-10］使用數(shù)字規(guī)劃算法建立不等式約束方程求解結(jié)果。確定性分析法通過(guò)建立不等式約束求解問(wèn)題，結(jié)果單一、效率低、計(jì)算量大，不適合解決大型網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)［11］提出使用遺傳算法解決OPP問(wèn)題，并分析了系統(tǒng)發(fā)生故障的情況。文獻(xiàn)［12］研究了基于禁忌算法配置PMU，并考慮了最大冗余度問(wèn)題。文獻(xiàn)［13］使用模擬退火混合遺傳算法解決PMU優(yōu)化配置問(wèn)題。啟發(fā)搜索法使用某種規(guī)律隨機(jī)搜索最優(yōu)解，搜索方向不確定，全局最優(yōu)解難以得到保證，易早熟或收斂于局部最優(yōu)解。

博弈論作為一個(gè)先進(jìn)的優(yōu)化工具［5］，越來(lái)越受到學(xué)術(shù)界的重視。博弈論源于經(jīng)濟(jì)學(xué)，研究多個(gè)利益相關(guān)主體如何進(jìn)行優(yōu)化決策，其在軍事、社會(huì)科學(xué)、工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，在智能電網(wǎng)快速發(fā)展的過(guò)程中，博弈論為其優(yōu)化問(wèn)題提供了新的解決途徑。本文以電力系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀和PMU配置數(shù)量最少為目標(biāo)，提出了一種基于博弈論［5］的演化優(yōu)化算法。電力系統(tǒng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)可映射為經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)理性人，PMU最優(yōu)化配置問(wèn)題可映射為理性人的博弈過(guò)程，最優(yōu)配置方案對(duì)應(yīng)于主體博弈的納什均衡解?；诓┺恼摰难莼惴ㄑ莼较虼_定，提高了收斂速度和全局搜索能力，對(duì)于實(shí)際大電網(wǎng)也有收斂性好的特征，而且使PMU的配置問(wèn)題更加形象、直觀。與此同時(shí)，算法采用非合作博弈模式，提高了解的多樣性，為實(shí)際工程提供了更多選擇，提高了可操作性。

1 電力系統(tǒng)可觀測(cè)性

1.1 代數(shù)可觀性

實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)可觀性，可以采用數(shù)值分析或網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞椒āＲ粋€(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為N、測(cè)量向量維數(shù)為m的電力系統(tǒng)，其線性量測(cè)模型可表示為：

其中，Z為m維測(cè)量向量；H為m×（2N-1）維測(cè)量雅可比矩陣；x為2N-1維電壓狀態(tài)向量；E為m維測(cè)量噪聲向量。代數(shù)可觀性的理論基礎(chǔ)線性量測(cè)模型可以直接求解，即如果rank（H）=2N-1，即H滿秩，則可認(rèn)為系統(tǒng)是代數(shù)可觀的。

1.2 拓?fù)淇捎^性

從圖論的角度，可以將電力系統(tǒng)看成是一個(gè)由N個(gè)頂點(diǎn)和b條邊構(gòu)成的圖G=（V，E），V表示圖的頂點(diǎn)集，E表示圖的邊集合，它們分別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的母線和支路集合。一個(gè)測(cè)量子圖 G′=（V′，E′），并有V′?V，E′?E。如果測(cè)量網(wǎng)絡(luò)滿足 V?V′，即子網(wǎng)絡(luò)圖G′中包含了圖G的所有頂點(diǎn)，則系統(tǒng)是拓?fù)淇捎^的。

2 OPP的數(shù)學(xué)模型

2.1 OPP目標(biāo)函數(shù)

如果在系統(tǒng)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都安裝PMU，則無(wú)需迭代計(jì)算就可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)完全可觀性。但由于PMU的高成本，如果在系統(tǒng)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都安裝PMU，則費(fèi)用太高且沒(méi)有必要。如何找到最優(yōu)的安裝位置和合理的安裝數(shù)量是需要解決的問(wèn)題。n節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)OPP問(wèn)題可以由以下目標(biāo)函數(shù)給出：

其中，n為給定系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)；wi為在節(jié)點(diǎn)i安裝PMU的成本，主要包括通信網(wǎng)絡(luò)、TA、TV、GPS接收器等，本文中不考慮各個(gè)節(jié)點(diǎn)PMU安裝成本差異，wi都假設(shè)為1；xi表示節(jié)點(diǎn)PMU安裝狀態(tài)，由一個(gè)二進(jìn)制數(shù)表示，如式（3）所示。

2.2 可觀測(cè)性的約束條件

電力系統(tǒng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)是否可觀由以下規(guī)則來(lái)判斷。

a.一條已經(jīng)配置了PMU的母線，其電壓及連接到該母線每條支路的電流都能被測(cè)量。

b.若支路一端裝有PMU，則該支路另一端的節(jié)點(diǎn)電壓能被虛擬測(cè)量。

c.若已知支路兩端節(jié)點(diǎn)電壓，則該支路電流能被虛擬測(cè)量。

d.除一條支路外，若其余與某節(jié)點(diǎn)相連的所有支路的電流都已知，即支路上的電流能利用基爾霍夫電流定律（KCL）間接計(jì)算出來(lái)，則未知電流支路的電流能被虛擬測(cè)量。該規(guī)則適用于一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的電流平衡關(guān)系已知的情況。

e.如果節(jié)點(diǎn)i為無(wú)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，且節(jié)點(diǎn)i的電壓相量未知，與節(jié)點(diǎn)i相連的所有節(jié)點(diǎn)的電壓相量已知，則節(jié)點(diǎn)i的電壓相量可通過(guò)計(jì)算得到。

根據(jù)以上配置原則，系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣如下：

系統(tǒng)可觀測(cè)性的約束方程可表示為：

其中，F(xiàn)（X）為一個(gè)矢量函數(shù)；X=［x1，x2，…，xn］T，表示各個(gè)節(jié)點(diǎn)PMU配置的狀態(tài)；A為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣；I為所有元素都為1的n維列向量。

3 博弈算法

3.1 映射關(guān)系

博弈論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，主要研究多個(gè)決策主體存在利益聯(lián)系或沖突時(shí)，主體如何根據(jù)自身能力及所掌握的信息作出有利于自己或決策者群體的決策。一個(gè)博弈［5，14］的基本結(jié)構(gòu)由三元組合表示：

其中，G為參與博弈的理性人，每個(gè)參與者的純策略為有限集；S為策略空間，即純策略的n元組合；U為支付函數(shù)，即理性人的期望。

納什均衡在非合作博弈分析中有十分關(guān)鍵的作用和地位。納什在1950年的論文中證明了任何一個(gè)有限博弈至少有一個(gè)納什均衡。在博弈B=（G，S，U）中，策略組合為一個(gè)納什均衡，對(duì)于任意博弈方，存在是給定其他博弈方情況下 xi的最優(yōu)策略，即。也即存在一個(gè)策略組合，所有博弈方面臨同一情況，在其他博弈方不改變策略時(shí)，此時(shí)的策略是最優(yōu)策略。

本文通過(guò)一個(gè)映射關(guān)系將PMU的配置尋優(yōu)過(guò)程轉(zhuǎn)化為博弈主體尋找博弈均衡解的過(guò)程。每個(gè)節(jié)點(diǎn)xi映射為一個(gè)博弈主體，xi的策略映射為策略組合S的一個(gè)變量，目標(biāo)函數(shù) f（x）映射為博弈主體的支付函數(shù)U（S）。映射關(guān)系如圖1所示。

圖1 映射關(guān)系Fig.1 Mapping relation

3.2 算法說(shuō)明

在博弈論原理指導(dǎo)下，本文設(shè)計(jì)一種演化博弈算法（EGA）［15］。算法采用自下而上的設(shè)計(jì)方式，構(gòu)造擁有理性人特征的主體，通過(guò)主體的利益沖突來(lái)尋找納什均衡解［16］，算法的演化過(guò)程可建立一個(gè)馬爾科夫鏈模型，再通過(guò)擾動(dòng)因子在均衡解隨機(jī)擾動(dòng)后重新尋找均衡解，最終達(dá)到全局的帕累托最優(yōu)解。

本文設(shè)計(jì)的EGA用一個(gè)六元組合表示：

a.博弈結(jié)構(gòu)G。

對(duì)于每個(gè)主體 xi（i=1，2，…，n）用一個(gè)純策略表示，n個(gè)主體的純策略組合S對(duì)應(yīng)于PMU配置的一個(gè)解。

b.初始策略S0。

每個(gè)主體xi在自己的策略空間（0或1）中隨機(jī)選擇一個(gè)策略組成初始策略S0。

c.支付函數(shù)U。

在同一策略組合S下，各行為主體為非合作博弈模型，定義在同一策略下各主體具有相同的支付函數(shù)，如下式所示：

如果S為可行解，支付函數(shù)即為所求的目標(biāo)函數(shù)；如果S為不可行解時(shí)，C為給予所有主體的懲罰函數(shù)［16］。保證無(wú)論初始策略如何，在所有主體進(jìn)行了一次策略調(diào)整后，策略S一定收斂于可行解。

d.主體理性行為α。

本文假設(shè)所有主體都具有經(jīng)濟(jì)理性，即始終追求自身收益的最大化，在博弈演化過(guò)程中，主體通過(guò)自身策略（0或1）的調(diào)整來(lái)不斷增加自身收益。本文把主體順序從1到n的一次調(diào)整稱為一次迭代。如果一次迭代前后主體收益不再變化，即任一主體不能通過(guò)單獨(dú)改變自身策略來(lái)增加收益，此時(shí)就達(dá)到了一個(gè)納什均衡解。

e.均衡擾動(dòng)因子β。

當(dāng)各個(gè)主體均無(wú)法選擇更優(yōu)的策略更新系統(tǒng)狀態(tài)，系統(tǒng)達(dá)到了納什均衡，但納什均衡解不一定是帕累托最優(yōu)解［15］。為了進(jìn)一步演化，設(shè)置擾動(dòng)因子對(duì)均衡策略進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，使之偏離均衡解然后再進(jìn)行新一輪的博弈，不斷地重復(fù)這樣的過(guò)程以搜尋到更優(yōu)的解。對(duì)于S的每個(gè)主體xi的策略si，如果隨機(jī)數(shù) rand（0，1）小于擾動(dòng)因子 β，主體 xi用相反策略代替si，否則策略保持不變。得到新的策略組合S′后，主體在新的策略組合再次進(jìn)行順序?qū)?yōu)。

f.最大博弈回合數(shù)T。

本文定義尋找到一個(gè)納什均衡解的過(guò)程為博弈的一個(gè)回合，T為預(yù)設(shè)的最大博弈回合數(shù)。

基于以上對(duì)算法的描述，得到算法的流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖Fig.2 Flowchart of algorithm

4 算例結(jié)果與比較

利用本文提出的博弈演化算法對(duì)IEEE 30、新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算，并與深度優(yōu)化解（DFS）算法、模擬退火（SA）算法以及最小生成樹(shù)（MST）算法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，說(shuō)明博弈算法的可行性與優(yōu)點(diǎn)。應(yīng)用EGA對(duì)上海地區(qū)128節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算，說(shuō)明算法的實(shí)用性并給出配置原則建議。

4.1 算例1

在 IEEE30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中［12］，節(jié)點(diǎn) 6、9、22、25、27、28為無(wú)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)。設(shè)置擾動(dòng)因子β分別為0.1、0.5，最大博弈回合數(shù)T=1000。分別應(yīng)用DFS算法、SA算法、MST算法、EGA進(jìn)行仿真計(jì)算，得到結(jié)果如表1所示。

表1 IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真結(jié)果Table 1 Simulative results of IEEE 30-bus system

本文的結(jié)果采用MATLAB程序，在CPU主頻為2.7 GHz的主機(jī)上運(yùn)行得到。在其他電腦上結(jié)果可能不同，但比例關(guān)系不變。從表1中可知，DFS算法和EGA的計(jì)算速度都很快，但DFS算法的收斂性差，配置PMU的數(shù)量是EGA的2倍，其所造成的不必要的冗余會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)性能下降。SA算法解的收斂性與初始值有密切的關(guān)系，每搜索一步就要計(jì)及所有節(jié)點(diǎn)配置情況，計(jì)算量大、收斂速度慢。MST算法雖在收斂性速度和質(zhì)量上吸取了DFS、SA算法的優(yōu)點(diǎn)，但仍是一種隨機(jī)搜索算法，收斂速度和解的多樣性還是不及EGA。從表1也可看出，擾動(dòng)因子的大小并不影響算法的收斂速度和收斂性。擾動(dòng)因子大小只影響新的策略組合S′和納什均衡解的差異程度。但主體會(huì)在新的策略組合再次進(jìn)行順序?qū)?yōu)，并不影響最終的帕累托最優(yōu)解。比較而言，EGA利用了理性主體的理性行為，策略信息被所有主體共知，演化方向確定。除了計(jì)算約束條件外，最主要的操作就是比較不同策略的效用大小、收斂速度。由于非合作博弈可存在多個(gè)納什均衡解［14］，也保證了解的多樣性。

4.2 算例2

新英格蘭 39 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)［18］中，節(jié)點(diǎn) 1、2、5、6、9、10、11、14、17、19、22 為無(wú)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)。算法設(shè)置擾動(dòng)因子β分別為0.1、0.8，最大博弈回合數(shù)T=1000。分別應(yīng)用DFS算法、SA算法、MST算法、EGA進(jìn)行仿真計(jì)算，得到結(jié)果如表2所示。

當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜時(shí)，DFS的收斂性差的缺點(diǎn)將更明顯，配置的數(shù)量幾乎是最優(yōu)解的2倍。而SA算法收斂速度慢的缺點(diǎn)也暴露無(wú)遺，對(duì)于大系統(tǒng)并不適用。MST算法雖然在解的收斂性、收斂速度和解的多樣性上都得到一定的改善，但收斂速度和解的多樣性上都遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及EGA。

表2 新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真結(jié)果Table 2 Simulative results of New England 39-bus system

4.3 算例3

上海地區(qū)220kV以上電網(wǎng)共128個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖3所示。其中，節(jié)點(diǎn)1—15、26、27為電源點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)16—25、95為500 kV變電站，其他節(jié)點(diǎn)為220 kV變電站和負(fù)荷節(jié)點(diǎn)。應(yīng)用EGA分別在無(wú)條件（記為情況1）下進(jìn)行全網(wǎng)PMU配置，以及在已知所有電源點(diǎn)和500 kV變電站安裝PMU的條件（記為情況2）下，對(duì)系統(tǒng)其他節(jié)點(diǎn)配置PMU，算法設(shè)置擾動(dòng)因子β=0.1，最大博弈回合數(shù)T=1000。結(jié)果如表3所示。

圖3 上海地區(qū)128節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.3 Shanghai 128-bus system

表3 上海電網(wǎng)128節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真結(jié)果Table 3 Simulative results of Shanghai 128-bus system

在實(shí)際大系統(tǒng)的仿真中，EGA的收斂速度快和解多樣性好的特點(diǎn)得到進(jìn)一步體現(xiàn)。而且可以看出，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)成幾何數(shù)量增加時(shí)，EGA的收斂速度并不會(huì)成幾何增加，依然在秒級(jí)范圍內(nèi)，更加說(shuō)明EGA能很好地應(yīng)用于實(shí)際。在已知所有電源點(diǎn)和500 kV變電站安裝PMU的條件下，針對(duì)其他節(jié)點(diǎn)進(jìn)行配置PMU得到的方案雖然比無(wú)條件時(shí)多出2倍，但整體所需的PMU數(shù)量卻比無(wú)條件時(shí)多出一半?？疾炱渲?種優(yōu)化配置方案如表4所示。

表4 上海128節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)配置結(jié)果Table 4 PMU configuration of Shanghai 128-bus system

從表4中可知，2種情況下在500 kV樞紐變電站都配置了PMU，在情況2下多出的PMU數(shù)量主要是因?yàn)閷?duì)所有電源點(diǎn)配置了PMU，造成了冗余。因此，考慮全網(wǎng)可觀測(cè)性和經(jīng)濟(jì)性，PMU的優(yōu)化配置應(yīng)從全網(wǎng)角度進(jìn)行整體優(yōu)化配置，PMU配置規(guī)劃應(yīng)和電網(wǎng)規(guī)劃同步進(jìn)行，并且優(yōu)先在500 kV樞紐變電站建設(shè)。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于博弈論的演化算法求解PMU最優(yōu)配置的問(wèn)題，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了算法的有效性。與常用的DFS、SA、MST算法的結(jié)果對(duì)比，證明本文算法克服了SA算法的收斂速度慢和DFS算法收斂性差的缺點(diǎn)。與MST算法相比，本文算法收斂速度更快、解多樣性更好，可為實(shí)際工程建設(shè)提供更多的可行性方案，在對(duì)實(shí)際大系統(tǒng)的仿真中，更體現(xiàn)了本文算法收斂性好與收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)。本文提出了對(duì)現(xiàn)行PMU配置原則的建議。

本文以電力系統(tǒng)正常運(yùn)行的可觀測(cè)性為目標(biāo)，未考慮系統(tǒng)N-1狀態(tài)和通信信道故障時(shí)系統(tǒng)的可觀測(cè)性。在考慮PMU的成本時(shí)，也沒(méi)有考慮各個(gè)節(jié)點(diǎn)PMU安裝成本的差異。系統(tǒng)出現(xiàn)N-1狀態(tài)或通信信道有限的情況下考慮系統(tǒng)的可觀測(cè)性的PMU最優(yōu)化配置將是下一步的研究目標(biāo)。

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