童增祥

引言

我是一位數(shù)學(xué)教授，但在今天的會(huì)議上，實(shí)實(shí)在在是一個(gè)小學(xué)生。這篇報(bào)告，與其說是學(xué)術(shù)報(bào)告，不如說是在師長(zhǎng)面前，披瀝我的心路歷程，敘說我在美國(guó)兩所大學(xué)教學(xué)28年所見到的美國(guó)學(xué)生和數(shù)學(xué)教師，敘說我怎樣幸遇教育數(shù)學(xué)，怎樣在數(shù)學(xué)系里推動(dòng)教育數(shù)學(xué)的相關(guān)情況。我認(rèn)為，教育數(shù)學(xué)的理念是中國(guó)數(shù)學(xué)家的一個(gè)偉大創(chuàng)造。中國(guó)的數(shù)學(xué)教育界需要教育數(shù)學(xué)，美國(guó)的數(shù)學(xué)教育界更需要教育數(shù)學(xué)。張景中院士和在座的各位師長(zhǎng)關(guān)于教育數(shù)學(xué)的智慧之火燎原于美國(guó)之時(shí)，就是美國(guó)的數(shù)學(xué)教育重歸燦爛輝煌之日。

回顧我“文革”前后的青壯年時(shí)期，我想提及兩點(diǎn)：一是我一直感激那些鼓勵(lì)、指導(dǎo)、教誨我進(jìn)入數(shù)學(xué)之門的師長(zhǎng)，特別是南京大學(xué)的唐述釗、孫光遠(yuǎn)、鐘瑚綿、黃正中、曾遠(yuǎn)榮、仇慶久、王聲望教授，華東師范大學(xué)的程其襄、李銳夫教授，上海師范學(xué)院的吳望名教授，北京師范大學(xué)的汪培莊教授，四川大學(xué)的劉應(yīng)眀教授，上海鐵道學(xué)院的樓世博、李鴻祥教授；二是我熱愛數(shù)學(xué)，熱愛學(xué)生，熱愛數(shù)學(xué)教學(xué)，一直希望以最有效的教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)得快、學(xué)得好、學(xué)得深。“文革”結(jié)束后百?gòu)U待興，1977、1978年，上海市普陀區(qū)舉行以班級(jí)為單位的數(shù)學(xué)團(tuán)體競(jìng)賽，我任教的班級(jí)連續(xù)兩年獲得第一名。1978年，上海舉辦“文革”后的第一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，我輔導(dǎo)的一位學(xué)生獲得第三名。我的兒子于1989年至1991年連續(xù)三年獲得特拉華州全州初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第一名，于1993年獲得俄亥俄州全州高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第一名。

我1985年10月來美國(guó)，至今已近32年。我主要在兩所大學(xué)（特拉華大學(xué)和奧特本大學(xué)）任教。特拉華大學(xué)有20000多名學(xué)生，其學(xué)術(shù)上的綜合排名，在全美3600多所大學(xué)中位列第75名。奧特本大學(xué)是私立大學(xué)，有3000多名學(xué)生，其學(xué)術(shù)上的綜合排名，在美國(guó)中西部200多所可授碩士學(xué)位的類似大學(xué)中位列第12名。這兩所大學(xué)當(dāng)然不是長(zhǎng)春藤名校，其入學(xué)新生的學(xué)術(shù)水準(zhǔn)位于全國(guó)前25%至40%，因而更能代表美國(guó)的大學(xué)水平。我教授的課程有微積分、線性代數(shù)、微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、組合數(shù)學(xué)、高等幾何、概率論，也有數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化、高等數(shù)學(xué)入門，還教過實(shí)際上是中學(xué)數(shù)學(xué)的三角以及大學(xué)代數(shù)、前微積分和初等數(shù)理統(tǒng)計(jì)。所以，我了解美國(guó)數(shù)學(xué)上各種層次的學(xué)生。

美國(guó)大學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出奇地差

我在來美國(guó)前，曾以為美國(guó)的科學(xué)和數(shù)學(xué)教育無疑是世界第一。來美國(guó)后的一大震撼是發(fā)現(xiàn)美國(guó)相當(dāng)數(shù)量的大學(xué)生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是出奇地差。以下是我的觀察和估計(jì)。

初等代數(shù)：（1）40%的學(xué)生不熟悉和平方公式、差平方公式和平方差公式，70%的學(xué)生不熟悉和立方公式和差立方公式，85%的學(xué)生不熟悉立方和公式和立方差公式。（2）70%的學(xué)生不會(huì)做較為復(fù)雜的分式運(yùn)算。（3）85%的學(xué)生不會(huì)證明一元二次方程的求根公式。（4）99%的學(xué)生不知道一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理。

初等幾何：（1）70%的學(xué)生不會(huì)證明三角形內(nèi)角和是180度。（2）70%的學(xué)生不知道三角形的中位線定理，90%的學(xué)生不會(huì)證明這個(gè)定理。（3）95%的學(xué)生不知道三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線將對(duì)邊分成兩段，這兩線段的長(zhǎng)度之比等于這個(gè)角的兩條鄰邊之比，99%的學(xué)生不會(huì)證明這個(gè)定理。（4）99.999%的學(xué)生不會(huì)證明三角形三高共點(diǎn)的定理。我不說是100%，因?yàn)槲也辉敢饨^對(duì)化，或許有人坐在教室里的哪個(gè)角落，默默地三言兩語證明了這個(gè)定理，卻沒有展示給我看。

美國(guó)學(xué)生中，數(shù)學(xué)表達(dá)不準(zhǔn)確、不規(guī)范、不合邏輯，以及不會(huì)證明，害怕文字題，不敢做難題的比比皆是。

美國(guó)的數(shù)學(xué)教師都優(yōu)秀嗎？

我在美國(guó)的又一個(gè)震撼是發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)數(shù)量的數(shù)學(xué)教師并不對(duì)其所教授的數(shù)學(xué)有透徹嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦斫?。整體而言，美國(guó)的數(shù)學(xué)教師未必是世界上最好的。下述幾例都是我的親眼目睹。

1.一位教授A（數(shù)學(xué)教育博士）在數(shù)學(xué)文化課上解釋無限有不同的等級(jí)，無理數(shù)集合的勢(shì)比整數(shù)集合的勢(shì)大的時(shí)候，說：“你們看，一個(gè)整數(shù)2可以產(chǎn)生無限多個(gè)無理數(shù)，平方根2、立方根2、四次方根2，等等。所以，無理數(shù)集合的無限，比整數(shù)集合的無限要大得多。”

2.一位教授B（數(shù)學(xué)教育博士）對(duì)數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)班學(xué)生解釋一元二次方程求根公式中的正負(fù)號(hào)來自于平方根法則，說：“x的平方是9，兩邊開方，左邊是x的絕對(duì)值，右邊是3，所以x等于正負(fù)3。”另一位教授問B：“假如x的平方是負(fù)9，兩邊開方，左邊是x的絕對(duì)值，右邊是虛數(shù)3i，所以x等于正負(fù)3i。這也是平方根法則嗎？”B說：“是的?！?/p>

3.一位教授C（數(shù)學(xué)教育博士）分析一道抽象代數(shù)習(xí)題，如果一個(gè)群的每一非單位的階數(shù)都是2，那么這個(gè)群一定是阿貝爾群。教授C花了25分鐘，分析了幾種情況，幾乎寫了一黑板。一位聽課的教授課后對(duì)他說：“你的詳細(xì)分析固然對(duì)學(xué)生有益，但是就題論題，只需一句話即可直搗黃龍，完成證明?！苯淌贑聽了，卻是一片茫然。

4.一位教授D（數(shù)學(xué)教育博士）頗為著名，到另一所大學(xué)申請(qǐng)講座教授職稱，被邀請(qǐng)?jiān)嚱谈怕收撾S機(jī)變量引論。他準(zhǔn)備的Power Point講稿上定義著：“連續(xù)型隨機(jī)變量是可以取無限多個(gè)值的隨機(jī)變量?！痹诿嬖囍?，另一位教授問他：“假如你被錄用，教哪些課程是你喜歡而且擅長(zhǎng)的？”他的回答中，概率論赫然列在第二位。

5.一位年輕的圖論新博士E申請(qǐng)一個(gè)大學(xué)的助理教授職位，被要求試教微積分中求極值的應(yīng)用問題。題中涉及一個(gè)分式函數(shù)的求導(dǎo)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)E寫在黑板上的導(dǎo)數(shù)答案是錯(cuò)的。E看著黑板，卻不知自己錯(cuò)在哪里。學(xué)生請(qǐng)E用求導(dǎo)法則一步一步演示，只需1分鐘即可得到結(jié)果。E略顯羞澀，說為了不影響教學(xué)進(jìn)程，就不演算了。奇怪的是，這個(gè)系里的大多數(shù)教授主張錄用E。

6.一位年輕的代數(shù)學(xué)新博士F申請(qǐng)一個(gè)大學(xué)的訪問助理教授職位，被要求在該系的教授面前試教微積分基本定理及其應(yīng)用。F敘述了基本定理的兩個(gè)部分，準(zhǔn)備講應(yīng)用的例題。一位教授說：“且慢。請(qǐng)先證明該定理的第一部分：若函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，且在（a，b）上。”F開始證明……卡住了。他停頓了一會(huì)，就直接寫了結(jié)論。那位教授不肯放松，請(qǐng)F(tuán)說明怎么能跳躍到最后的結(jié)論。F臉色泛紅，承認(rèn)自己是知其然而不知其所以然。

7.一位教授講了一個(gè)真實(shí)的故事。他的兒子G是某城一所較好的初級(jí)中學(xué)的學(xué)生。一天，G帶回來一張彩色圖，圖中兩個(gè)一樣的大三角形，由幾塊同樣的圖形拼成，只是拼圖的次序不同。奇怪的是一個(gè)大三角形比另一個(gè)多出了一個(gè)小方塊。怎么會(huì)憑空多出一個(gè)方塊？那個(gè)學(xué)校有十多位數(shù)學(xué)教師，卻沒有一位能破解其中的奧秘。他們知道G的父親是一位數(shù)學(xué)教授，所以請(qǐng)G的父親為他們釋疑解惑。

8.一位中年的中學(xué)教師H到一所大學(xué)申請(qǐng)一個(gè)初等數(shù)學(xué)的臨時(shí)教職。系主任與他面談，以了解他的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)背景，結(jié)果發(fā)現(xiàn)H已有近25年的教齡，卻不懂得排列組合，連排列組合的定義也不知道。

9.一個(gè)高等歐幾里得幾何班里有8位高中或社區(qū)大學(xué)的教師。教授問他們最喜歡哪一本幾何著作。令人驚訝的是，他們列不出一本書。他們都有 10年、20年，甚至30年教授幾何的經(jīng)驗(yàn)，卻除了所教的教科書之外，沒有讀過一本或深或淺、或有趣或嚴(yán)謹(jǐn)、或可修煉自身或可輔助教學(xué)的幾何書！

10.一位教授J（數(shù)學(xué)教育博士）作講演，介紹教育學(xué)中的布魯姆分類學(xué)說。他引經(jīng)據(jù)典，顯示圖表，滔滔不絕，認(rèn)為一個(gè)教授在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有意識(shí)地注意認(rèn)知和思維的六個(gè)層次———知識(shí)，理解，應(yīng)用，分析，綜合和評(píng)判———才能給予學(xué)生完備的數(shù)學(xué)教育。有一位教授對(duì)J說：“你是一位數(shù)學(xué)教授，請(qǐng)你以你的教學(xué)，一個(gè)科目，一堂課，一個(gè)概念，或者一個(gè)問題為例證，說明你是怎樣引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)知在這六個(gè)層次上逐步深入、逐步提高的?！盝頓時(shí)張口結(jié)舌，最后王顧左右而言他了。

我估計(jì)在美國(guó)3600多所高校中，不合格的數(shù)學(xué)教師占10%至15%，在美國(guó)的中小學(xué)中不合格的數(shù)學(xué)教師占20%以上。要提高美國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量，關(guān)鍵在于提高現(xiàn)任和未來的教師的質(zhì)量。單純?cè)黾渝X未必有用。要有智慧地使用錢，把錢用到培養(yǎng)教師、提高教師的事業(yè)中去。

為什么———疑惑復(fù)疑惑

1993年至1995年間，我和系里的同事談起我的發(fā)現(xiàn)，說我內(nèi)心感到很震撼、很失望、很不安。一位美國(guó)教授說，“你的參照物不恰當(dāng)。中國(guó)只有極少數(shù)人接受高等教育，所以進(jìn)入大學(xué)的都是精英。美國(guó)的高等教育已經(jīng)普及，只要愿意，高中畢業(yè)生幾乎都可以進(jìn)大學(xué)?！蔽蚁胍矊?duì)，我1961年進(jìn)南京大學(xué)，那時(shí)，我同年齡的青年中只有小于2%的人有幸入大學(xué)；而美國(guó)，則是30%甚至更多的青年進(jìn)入了大學(xué)。

但是，這個(gè)解釋沒有完全消除我的疑惑。進(jìn)入大學(xué)的青年至少應(yīng)該高中畢業(yè)了吧，這樣的數(shù)學(xué)程度怎么能畢業(yè)呢？學(xué)生沒學(xué)好，錯(cuò)誤應(yīng)該是千奇百怪的，帶有鮮明的個(gè)人色彩。為什么很多來自不同地區(qū)、不同學(xué)校的學(xué)生會(huì)犯類似的錯(cuò)誤呢？我從自己直接的樸素的經(jīng)驗(yàn)中知道，美國(guó)中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育中存在著問題，且是相當(dāng)嚴(yán)重的問題。問題在哪里呢？

總統(tǒng)的藥方不管用

美國(guó)的有識(shí)之士也都意識(shí)到數(shù)學(xué)教育中存在著問題。各屆總統(tǒng)，如里根、布什、克林頓、小布什和奧巴馬，都看到美國(guó)中小學(xué)生的科學(xué)和數(shù)學(xué)知識(shí)已淪于世界上的二流甚至三流水平，都信誓旦旦要恢復(fù)美國(guó)的輝煌。他們充滿信心，認(rèn)為美國(guó)有世界上最好的教師隊(duì)伍，又是世界上最富有的國(guó)家，只要不斷地增加錢，優(yōu)秀的教師就一定能培養(yǎng)出最優(yōu)秀的學(xué)生。但是，總統(tǒng)的藥方不管用，年年歲歲豪言壯語，歲歲年年撥款增錢，效果卻不明顯。問題的癥結(jié)在哪里呢？

我的早期藥方———東方與西方相結(jié)合

怎樣才能有效地提高教師的質(zhì)量呢？20世紀(jì)末，我的結(jié)論是要在西方的教育思想、教育制度、教學(xué)方法中注入中國(guó)的因素、中國(guó)的精神，要提高教師的數(shù)學(xué)知識(shí)和素養(yǎng)。2000年，我在系里作了一個(gè)報(bào)告，題為“教就要學(xué)”，副標(biāo)題是“東方與西方相結(jié)合”，其英文或許更傳神，是“To Teach Is To Learn———The East Meets The West”。2001年初，又在美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（AMS）和美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（MAA）的聯(lián)合年會(huì)上作了報(bào)告。經(jīng)學(xué)會(huì)中一些同仁和朋友的鼓勵(lì)與推薦，2002年夏，又在北京舉辦的國(guó)際數(shù)學(xué)家協(xié)會(huì)（ICM，International Conference of Mathematicians）的會(huì)議上作了報(bào)告。這個(gè)報(bào)告雖然反應(yīng)較好，但是反響不大，我自己也不甚滿意，因?yàn)闆]有清晰的觀念，什么是教師的數(shù)學(xué)知識(shí)和素養(yǎng)也不是很清晰。

幸遇教育數(shù)學(xué)———如露入心，醍醐灌頂

大約是2007年，我的良師益友張肇?zé)虢淌诟嬷?，張景中院士提出了教育?shù)學(xué)的概念，倡導(dǎo)教育數(shù)學(xué)的研究。我從互聯(lián)網(wǎng)上找到張?jiān)菏康闹鳌稄臄?shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》，下載后進(jìn)行了閱讀。在此，我必須先向張?jiān)菏恐虑福驗(yàn)閺幕ヂ?lián)網(wǎng)上下載是侵犯了張?jiān)菏康闹R(shí)產(chǎn)權(quán)。張?jiān)菏康闹鳎瑥臄?shù)學(xué)的內(nèi)部揭示數(shù)學(xué)的美，充溢著深思、精思、巧思，而且文字簡(jiǎn)潔、精到、優(yōu)美，秋水文章不染塵。張?jiān)菏筷P(guān)于教育數(shù)學(xué)的論述，關(guān)于數(shù)學(xué)材料的教學(xué)法改造與教育數(shù)學(xué)內(nèi)容的再創(chuàng)造的區(qū)別的論述，真正是精辟之至，讀之如露入心，醍醐灌頂。我郁結(jié)心中的欲言難言、模糊朦朧的觀念頓時(shí)清澄如水。

自20世紀(jì)60年代失敗的新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)以來，美國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育江河日下，已陷入深重的危機(jī)。美國(guó)學(xué)生在國(guó)際數(shù)學(xué)統(tǒng)考和競(jìng)賽中的屢屢失敗只是冰山一角。實(shí)際上，美國(guó)的數(shù)學(xué)教師、教材、教法，甚至教育思想和教學(xué)大綱都存在嚴(yán)重的問題。這是一種系統(tǒng)性的病，幾入膏肓。美國(guó)的有識(shí)之士，包括近40年來的總統(tǒng)，都看到了病癥，擔(dān)心美國(guó)會(huì)因此而衰落，但都開不出有效的藥方。他們的主藥就是錢，以為有了錢就會(huì)有足夠數(shù)量的教師，有了教師就會(huì)有優(yōu)秀的學(xué)生。我的認(rèn)識(shí)是，美國(guó)數(shù)學(xué)教育沉疴之一是教師的質(zhì)量。中小學(xué)、技術(shù)學(xué)校、社區(qū)大學(xué)，包括部分普通高校中，有相當(dāng)數(shù)量的數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)之低，簡(jiǎn)直讓人不可思議。他們的數(shù)學(xué)知識(shí)是斷磚碎瓦，一盤散沙，而不是結(jié)構(gòu)精妙的哥特式教堂。美國(guó)需要的不是泛泛的教師，而是優(yōu)秀的教師。優(yōu)秀的教師有兩個(gè)來源，一是改革師范的教育，二是再教育現(xiàn)職教師。師范教育應(yīng)改革，應(yīng)以教育數(shù)學(xué)為指針，為重點(diǎn)，為核心。教師的再教育、再學(xué)習(xí)、再提高有兩類方法，一是被動(dòng)的學(xué)習(xí)，二是主動(dòng)的學(xué)習(xí)。被動(dòng)的學(xué)習(xí)就是現(xiàn)行的教師培訓(xùn)計(jì)劃，教師無針對(duì)性地選修一些大學(xué)課程。主動(dòng)的學(xué)習(xí)就是從事教育數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究，有針對(duì)性，有明確目標(biāo)，用高的新的觀點(diǎn)看所教的初等數(shù)學(xué)，明確其邏輯結(jié)構(gòu)，或改善優(yōu)化其邏輯結(jié)構(gòu)，增刪內(nèi)容，去粗取精，必要時(shí)增添精妙的內(nèi)容，以幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?，欣賞數(shù)學(xué)的美，具備數(shù)學(xué)家的眼光。錢多教師多，學(xué)生未必優(yōu)秀；有大量?jī)?yōu)秀的教師，必然會(huì)有大量?jī)?yōu)秀的學(xué)生。所以，我認(rèn)為張?jiān)菏筷P(guān)于教育數(shù)學(xué)的智慧之火燎原于美國(guó)之時(shí)，才是美國(guó)的數(shù)學(xué)教育燦爛輝煌之日。

（未完待續(xù)）