景文成

(長(zhǎng)春師范大學(xué)物理學(xué)院 吉林 長(zhǎng)春 130021)

對(duì)一道等效重力問(wèn)題的拓展

景文成

(長(zhǎng)春師范大學(xué)物理學(xué)院 吉林 長(zhǎng)春 130021)

從一道等效重力場(chǎng)的典型例題出發(fā)，通過(guò)延伸和拓展，挖掘其隱藏在問(wèn)題背后的共性規(guī)律——等效重力觀點(diǎn)．從而對(duì)解決復(fù)合場(chǎng)中同類(lèi)問(wèn)題起到一定的引導(dǎo)作用，提高解題效率．

等效重力 圓周運(yùn)動(dòng) 類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng) 類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng)

物體在多種場(chǎng)(重力場(chǎng)、勻強(qiáng)電場(chǎng)、磁場(chǎng)、浮力場(chǎng)等)中運(yùn)動(dòng)，將多種場(chǎng)的作用化多為一，用一個(gè)全新的“復(fù)合場(chǎng)”來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可使研究的問(wèn)題簡(jiǎn)潔靈動(dòng),這個(gè)復(fù)合場(chǎng)就是“等效重力場(chǎng)”.利用等效重力場(chǎng)的思想方法來(lái)處理問(wèn)題，是一類(lèi)常見(jiàn)而又頗有難度的問(wèn)題．這類(lèi)問(wèn)題學(xué)生往往找不到突破口，受制于自身的思維而不得要領(lǐng)．在教學(xué)中教師通過(guò)典型問(wèn)題為載體，進(jìn)行針對(duì)性的延伸講解，學(xué)生是能夠受益匪淺并豁然開(kāi)朗．

【典型例題】

A.小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力為2mg

C.適當(dāng)增大E，小球到達(dá)C點(diǎn)的速度可能為零

【答案】A,D.

圖1 例圖

從這道題來(lái)看，如果借助等效重力場(chǎng)的方法，來(lái)解答會(huì)顯得很簡(jiǎn)潔清晰，也會(huì)有助于學(xué)生以后能夠利用等效重力的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，下面對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析(為了便于研究，等效重力用G′表示)．

1 當(dāng)qE=mg時(shí)，對(duì)小球由A→C→B過(guò)程的分析

從小球由A→C過(guò)程來(lái)看，由于電場(chǎng)力豎直向上，重力豎直向下，但是大小相等，所以等效重力為零，亦即等效重力不做功，彈力總指向圓心起到向心力的作用，可知由A→C為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．因此可對(duì)O→C全程由動(dòng)能定理列方程

解得

由于H=R，則

在C點(diǎn)由牛頓第二定律得

拓展

繼續(xù)研究小球從C→B的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)等效重力G′(等效重力為真正的重力)豎直向下，那么小球能上升多高？能否離開(kāi)B點(diǎn)？

解析:

借助等效重力場(chǎng)的思想，由A→C等效重力不做功，只需比較H與R的關(guān)系即可．討論如下.

(1)H>R時(shí)，小球從B點(diǎn)飛出做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.

圖2 借助等效重力場(chǎng)思想，分析帶電小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

由動(dòng)能定理有

mgH-mg(R+h)=0

解得

h=H-R

式中h為距B點(diǎn)的高度.

(2)H=R時(shí)，小球恰好到達(dá)B點(diǎn)速度為零．

(3)H

mgH-mgh′=0

解得

h′=H

式中h′為距C點(diǎn)的高度.

2 適當(dāng)增加E，等效重力方向豎直向上情況的分析

本題C選項(xiàng)， 適當(dāng)增大E，由A→C過(guò)程得出qE>mg，兩個(gè)力方向相反，等效重力G′=qE-mg，方向豎直向上，如圖3所示.

圖3 適當(dāng)增加E，帶電小球的受力分析

此時(shí)C點(diǎn)相當(dāng)于豎直平面內(nèi)重力場(chǎng)中的最高點(diǎn)，顯然要過(guò)最高點(diǎn)滿(mǎn)足

可知，在C點(diǎn)速度要求

所以C選項(xiàng)不正確．

本題的D選項(xiàng)，可知等效重力

G′=qE-mg=mg

方向豎直向上，小球剛好到達(dá)C點(diǎn)，列式如下

再由O→C全程動(dòng)能定理得

聯(lián)立可得

拓展

適當(dāng)增大E(為某一確定值)此時(shí)等效重力G′=qE-mg，小球恰好過(guò)C點(diǎn)，H要滿(mǎn)足什么條件？

解析：

進(jìn)行受力分析如圖4所示，計(jì)算如下

聯(lián)立可得

討論如下：

圖4 適當(dāng)增大E，小球恰好過(guò)C點(diǎn)

那么小球剛離開(kāi)軌道F點(diǎn)時(shí)下降的高度(距A點(diǎn))？計(jì)算如下.

設(shè)在F點(diǎn)剛好離開(kāi)軌道，可知

等效重力為

G′=qE-mg

由O→F全程列動(dòng)能定理可得

在F點(diǎn)剛要離開(kāi)軌道，由等效重力G′沿半徑方向分力提供向心力可得

由幾何關(guān)系得

聯(lián)立可得

式中h為AF間豎直高度.

3 適當(dāng)減小E，等效重力方向豎直向下情況的分析

適當(dāng)減小E(為某一確定值),小球?qū)⒃鯓舆\(yùn)動(dòng)？減小E，可得出qE

分析可知，小球由A→C一直加速運(yùn)動(dòng)，一定能過(guò)C點(diǎn)．下面從高度H滿(mǎn)足什么條件來(lái)延伸思考能否到達(dá)B點(diǎn)？

如果恰好到達(dá)B點(diǎn)的速度為零，此時(shí)可以看到A→C→B相當(dāng)于只有電場(chǎng)力做功，因此由O→B動(dòng)能定理全程列式可得

mgH-qER=0

由此可知

討論如下：

mg(H-h1)-qER=0

解得

mgH+(mg-qE)R-mgh2=0

解得

4 各種場(chǎng)力與重力不在同一直線上的情況的分析

各種場(chǎng)力與重力不在同一直線上，物體可能做圓周運(yùn)動(dòng)、類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)、類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng)等．此時(shí)可以把兩個(gè)力進(jìn)行合成當(dāng)作等效重力G′來(lái)處理．

4.1 利用等效重力解決圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

如圖5所示，一個(gè)擺線長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m的帶正電擺球，懸掛在方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．小球由水平位置A，從靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，且到達(dá)豎直位置時(shí)，速度恰好為零．求小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，擺線受到的最大拉力．

圖5 擺球?yàn)閹д姷那蝮w，單擺在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

小球從A運(yùn)動(dòng)到B，動(dòng)能增量為零．因?yàn)閿[線的拉力不做功，電場(chǎng)力(qE)對(duì)小球做的負(fù)功必定等于重力(mg)對(duì)小球做的正功，即

qEl=mgl

即

qE=mg

可見(jiàn)，小球受到的電場(chǎng)力與小球的重力大小相等，如圖6所示，小球到達(dá)B后，將在A與B之間來(lái)回振動(dòng)．

圖6 單擺在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的受力分析

小球通過(guò)平衡位置時(shí)，繩的拉力大．根據(jù)類(lèi)似機(jī)械能守恒，小球在平衡位置速度最大，且為

根據(jù)牛頓第二定律

所以，繩的最大拉力為

4.2 利用等效重力解決類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

(1)帶電微粒運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向？

(2)若微粒運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)刻，突然將磁場(chǎng)撤去，那么經(jīng)多少時(shí)間微粒到達(dá)Q點(diǎn)？(設(shè)PQ連線與電場(chǎng)方向平行)

圖7 運(yùn)動(dòng)電荷在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

由于微粒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，可知洛倫茲力與電場(chǎng)力和重力的合力(G′)平衡，如圖8所示,θ為G′與水平方向的夾角，由于

所以

θ=30°

圖8 洛淪茲力與電場(chǎng)力和重力的合力平衡

由平衡條件得

則微粒的速度大小為

與水平方向的夾角為

α=90°-θ=60°

磁場(chǎng)撤去后，微粒從P到Q做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，如圖9所示，等效重力加速度為

圖9 磁場(chǎng)撤去后微粒運(yùn)動(dòng)情況

在沿著v的方向有

x=vt

在垂直于v的方向有

又因?yàn)?/p>

所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

4.3 利用等效重力解決類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

如圖10所示，一帶正電的小金屬塊A以初速度v0從光滑水平高臺(tái)上飛出．已知在高臺(tái)邊緣的右側(cè)足夠大空間中存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小金屬塊A所受電場(chǎng)力大小為其重力的2倍．則金屬塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最小速度是多少？

圖10 帶正電小金屬塊從水平高臺(tái)飛出

解法一：設(shè)經(jīng)過(guò)t速度達(dá)到最小

在水平方向只受電場(chǎng)力作用做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為

水平速度為

vx=v0-at=v0-2gt

在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，豎直速度為

vy=gt

則金屬塊的速度

很明顯借助函數(shù)求最值的方法很繁瑣，不容易求解．

解法二：將金屬塊的電場(chǎng)力和重力合成為等效重力G′，設(shè)G′與qE間夾角為θ再將初速度v0分別沿著G′方向和垂直于G′方向分解(圖11)，則

vx0=v0sinθ

vy0=v0cosθ

圖11 利用等效重力求解類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng)

分析可知，在x軸方向一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在y軸方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)vy=0時(shí)金屬塊在等效重力G′的最高點(diǎn)速度最?。虼丝傻?/p>

vmin=vx0=v0sinθ

而

所以

解法二是利用等效重力的觀點(diǎn)解題，計(jì)算簡(jiǎn)潔思路清晰．

5 小結(jié)

本文著重研究了在靜電場(chǎng)與重力場(chǎng)中豎直方向上等效重力的問(wèn)題，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生最不容易考慮豎直方向上的等效重力，所以本文進(jìn)行了分析探討．在另外的一些問(wèn)題中會(huì)出現(xiàn)其他場(chǎng)力與重力不在同一直線上的情形，此時(shí)可以把兩個(gè)力進(jìn)行合成當(dāng)作等效重力來(lái)處理，再利用牛頓定律解題時(shí)就看成一個(gè)力進(jìn)行合成求得加速度；在利用動(dòng)能定理解題時(shí)，直接利用等效重力的做功列方程，更能事半功倍提高解題效率．

1 王平杰.高中物理思想方法提煉與拓展.杭州：浙江大學(xué)出版社，2012.45～47

景文成(1978- )，男，在讀碩士研究生，主要研究方向：課程與教學(xué)論(物理).

李春杰(1963- )，男，教授，主要研究方向：物理教育.

2016-11-07)