羅宏偉++張建剛++杜文舉++安新磊++盧加榮

摘要：使用周期符號(hào)函數(shù)對(duì)兩個(gè)穩(wěn)定的子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏，構(gòu)造了一個(gè)新三維混沌控制系統(tǒng)，理論分析了新三維控制系統(tǒng)的耗散性、有界性、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔的條件，通過(guò)計(jì)算得到了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的第一Lyapunov指數(shù)，進(jìn)一步分析了分岔的方向和穩(wěn)定性。通過(guò)MATLAB軟件，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：糾纏函數(shù)；混沌；Hopf分岔；平衡點(diǎn)；Lyapunov 指數(shù)

中圖分類號(hào)：O415.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2017）03-0054-04

混沌現(xiàn)象的特征即蝴蝶效應(yīng)，具有對(duì)初值敏感而表現(xiàn)出的不可預(yù)測(cè)的、類似隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)。自Lorenz [1]在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來(lái)，在過(guò)去數(shù)十年中，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和進(jìn)步，混沌理論得到了空前發(fā)展，尤其在數(shù)學(xué)、物理及其工程實(shí)際應(yīng)用中得到極大發(fā)展，關(guān)于混沌的構(gòu)造和分析方法已經(jīng)成為最新的研究熱點(diǎn)問(wèn)題[2，4，5，6]。文獻(xiàn) [7]通過(guò)構(gòu)造了一個(gè)新的混沌，文獻(xiàn)[8，9，10]利用分段技術(shù)，發(fā)現(xiàn)了一些新的混沌吸引子的存在，文獻(xiàn)[11]首次提出糾纏函數(shù)的基本概念，并給出構(gòu)造混沌的基本原理，即使用糾纏函數(shù)通過(guò)對(duì)兩個(gè)或更多的線性穩(wěn)定子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏，可產(chǎn)生混沌系統(tǒng)。構(gòu)造人工混沌在解決噪聲污染，提高天氣預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，保持非線性機(jī)械系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面有重要意義。

本文使用周期符號(hào)函數(shù)作為糾纏函數(shù)，對(duì)兩個(gè)線性子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏，構(gòu)造出了一個(gè)新的三維混沌系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的耗散性、有界性、平衡點(diǎn)穩(wěn)定性、Hopf分岔和Lyapunov指數(shù)等動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，最后通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證理論的結(jié)果。

1 系統(tǒng)描述

考慮兩個(gè)線性子系統(tǒng)，其中一個(gè)是二維系統(tǒng)

另一個(gè)是一維系統(tǒng)

其中是狀態(tài)變量，當(dāng)和，系統(tǒng)（1）和（2）是穩(wěn)定的，用周期符號(hào)函數(shù)糾纏以上兩個(gè)子系統(tǒng)，可得如下三維控制系統(tǒng)：

3 數(shù)值仿真

根據(jù)引理1和定理2，當(dāng)，，和時(shí)，平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

系統(tǒng)（3）的Lyapunov 指數(shù)可以通過(guò)文獻(xiàn)[15]提供的方法計(jì)算得到，其中Lyapunov 指數(shù)，and如圖1所示，時(shí)間序列、頻譜和Poincaré 截面圖分別如圖1所示。當(dāng)和，出現(xiàn)混沌糾纏現(xiàn)象，其三維相圖，和二維相圖分別如圖2所示。 當(dāng)參數(shù)和值不變，作為變量時(shí)，系統(tǒng)（3）的動(dòng)力行為如圖3所示。

4 結(jié)語(yǔ)

本文將一個(gè)周期符號(hào)函數(shù)作為糾纏函數(shù)，利用混沌糾纏的基本原理，對(duì)兩個(gè)穩(wěn)定子系統(tǒng)進(jìn)行糾纏，人工構(gòu)造出一個(gè)新三維控制系統(tǒng)，根據(jù)混沌系統(tǒng)的分析方法，對(duì)新三維控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了理論分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)新構(gòu)造的系統(tǒng)具有混沌的特征，并使用MATLAB軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬，驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果。該方法為我們解決工程中混沌問(wèn)題提出來(lái)新的思路。

參考文獻(xiàn)

[1]E.N.Lorenz，“Deterministic nonperiodic flow，”Journal of the Atmospheric Sciences， vol.20， ：130-141，1963.

[2]Pecora L M， Carroll T L.Synchronization in chaotic systems.[J]. Physical Review Letters， 1990，64（8）：821-824.

[3]Chu Y D， Li X F， Zhang J G， et al。 Nonlinear dynamics analysis of a new autonomous chaotic system[J]. Journal of Zhejiang University-SCIENCE A， 2007， 8（9）：1408-1413.

[4]李險(xiǎn)峰，張建剛，禇衍東.一個(gè)新自治混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[J].復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2008，5（1）：28-36.

[5]杜文舉，俞建寧，張建剛，等.一個(gè)新混沌系統(tǒng)的Hopf分岔分析及其電路實(shí)現(xiàn)[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，2013，50（5）：1025-1031.

[6]李群宏，徐德貴.一個(gè)類Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，2011，25（2）：112-116.

[7]Tang K S， Man K F， Zhong G Q， et al. Generating chaos via x|x|[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems I Fundamental Theory & Applications， 2001， 48（5）：636-641.

[8]Jinhu Lü，Guanrong Chen.A new chaotic attractor coined[J].International Journal of Bifurcation & Chaos，2002，12（3）：659-661.

[9]Liu X， Teo K L， Zhang H， et al. Switching control of linear systems for generating chaos ☆[J]. Chaos Solitons & Fractals， 2006，30（3）：725-733.

[10]Liu C， Liu T，Liu L，et al.A new chaotic attractor[J].Chaos Solitons & Fractals， 2004， 22（5）：1031-1038.

[11]Hongtao Zhang，Xinzhi Liu，Xuemin Shen，et al.Chaos entanglement：A new approach to generate chaos[J].International Journal of Bifurcation & Chaos，2013，23（05）：30014.

[12]Celikovsky S，Chen G.On the generalized Lorenz canonical form ☆[J].Chaos Solitons & Fractals，2005，26（5）：1271-1276.

[13]Dias F S， Mello L F， Zhang J G.Nonlinear analysis in a Lorenz-like system[J].Nonlinear Analysis Real World Applications，2010，11（5）：3491-3500.

[14]Moussi E H， Bellizzi S， Cochelin B， et al.Nonlinear normal modes of a two degrees-of-freedom piecewise linear system[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2015，64：266–281.

[15]Wolf A， Swift J B， Swinney H L，et al.Determining Lyapunov exponents from a time series[J].Physica D Nonlinear Phenomena， 1985， 16（3）：285-317.