超高斯隨機(jī)振動疲勞加速試驗?zāi)Ｐ脱芯?/h1>
2017-05-17 02:35陶俊勇
振動與沖擊 2017年9期
蔣 瑜， 陶俊勇， 陳 循
(國防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院裝備綜合保障技術(shù)重點實驗室， 長沙 410073)
超高斯隨機(jī)振動疲勞加速試驗?zāi)Ｐ脱芯?/p>
蔣 瑜， 陶俊勇， 陳 循
(國防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院裝備綜合保障技術(shù)重點實驗室， 長沙 410073)
通過理論分析，針對超高斯隨機(jī)振動激勵建立了相應(yīng)的振動疲勞加速試驗數(shù)學(xué)模型，給出了模型中未知參數(shù)的具體求解方法，并通過實際試驗進(jìn)行了驗證。該模型十分便于進(jìn)行振動疲勞加速試驗的定量設(shè)計，具有很好的工程實用性，可用于評估隨機(jī)振動環(huán)境下工程結(jié)構(gòu)的疲勞壽命與可靠性。
超高斯； 隨機(jī)振動； 振動疲勞； 加速模型
振動引起的疲勞問題作為多個工程領(lǐng)域廣泛存在的一個共性問題，嚴(yán)重危及重大裝備及結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性。如果能夠提前準(zhǔn)確預(yù)測結(jié)構(gòu)的振動疲勞壽命，就能在發(fā)生災(zāi)難性事故之前及時預(yù)知并采取相應(yīng)的措施，并可為其定壽、延壽提供科學(xué)的依據(jù)，最大限度地發(fā)揮裝備效益。因此，準(zhǔn)確預(yù)測重大裝備和工程結(jié)構(gòu)在復(fù)雜隨機(jī)動態(tài)載荷作用下的振動疲勞壽命是提高其可靠性和安全性的關(guān)鍵技術(shù)，被國家自然科學(xué)基金委員會列入《機(jī)械工程學(xué)科發(fā)展戰(zhàn)略報告(2011～2020)》。
當(dāng)前工程中進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命分析和預(yù)測時，由于缺乏充分的認(rèn)識和解決相關(guān)問題的工具及方法，通常假設(shè)結(jié)構(gòu)承受的隨機(jī)載荷符合平穩(wěn)高斯分布。但是，在實際環(huán)境中，上述許多隨機(jī)載荷往往呈現(xiàn)比較明顯的非高斯特征，尤其是在工況惡劣或者極端環(huán)境下。近年來的一些研究結(jié)果表明，隨機(jī)載荷的非高斯特性對結(jié)構(gòu)振動疲勞有著不可忽視的影響，某些情況下會加速結(jié)構(gòu)的疲勞失效?；诟咚辜僭O(shè)計算振動疲勞損傷往往會得到偏大的振動疲勞壽命估計結(jié)果，給裝備服役或使用階段埋下巨大的安全隱患。
同時，隨著結(jié)構(gòu)可靠性水平的提高，結(jié)構(gòu)的振動疲勞壽命越來越長，為了能夠在實驗室驗證其壽命是否達(dá)到要求，加速試驗成為必然的選擇。要想通過加速試驗得到結(jié)構(gòu)在實際服役振動環(huán)境下的疲勞壽命，正確的加速試驗統(tǒng)計模型是關(guān)鍵。國內(nèi)外目前關(guān)于振動加速試驗?zāi)Ｐ偷难芯坎欢啵绕涫菍Ψ歉咚闺S機(jī)振動加速試驗。王冬梅等[1]對振動加速試驗的逆冪律模型進(jìn)行了推導(dǎo)，探討了其適用范圍，指出其適用于窄帶高斯載荷，不適用于寬帶高斯和非高斯載荷。李奇志等[2]提出通過試驗的方式獲得振動試驗的加速因子，認(rèn)為振動加速試驗的逆冪律模型對平穩(wěn)窄帶和寬帶高斯隨機(jī)過程均是適用的。朱學(xué)旺等[3]應(yīng)用基于窄帶模型的修正方法得到了寬帶隨機(jī)振動試驗加速因子計算的通用表達(dá)式，認(rèn)為基于窄帶模型的加速因子表達(dá)式對于比例載荷的寬帶隨機(jī)振動也是適用的，而對于非比例載荷，則需要應(yīng)用其提出的通用表達(dá)式才可以獲得。Allegri等[4]研究了適用于平穩(wěn)寬帶高斯隨機(jī)振動加速試驗的逆冪律模型，其主要目的是用來評估相對疲勞損傷，而非用來精確預(yù)計壽命。Pothula[5]研究了附著不同阻尼材料的鋁合金梁在高斯隨機(jī)振動加速試驗中的疲勞壽命差異，探討了結(jié)構(gòu)阻尼對振動試驗加速因子的影響。John[6]提出應(yīng)用Fatigue Damage Spectrum(FDS)來進(jìn)行振動加速試驗設(shè)計與評估，但是只考慮了振動激勵的功率譜密度PSD (Power Spectral Density)，只適用于高斯振動加速試驗。
總的來說，目前國內(nèi)外開展的振動疲勞加速試驗研究主要針對高斯振動，尤其是實際進(jìn)行的非高斯振動加速試驗很少，需要進(jìn)一步探索適用于非高斯隨機(jī)振動的疲勞加速試驗定量模型。
1 理論分析
工程上常用偏斜度S和峭度K這兩個參數(shù)來描述非高斯隨機(jī)過程X，定義為
(1)
高斯隨機(jī)過程的偏斜度值等于0，峭度值等于3；而非高斯隨機(jī)過程的峭度值肯定不等于3，偏斜度值可以等于零也可以不等于0。偏斜度用來描述隨機(jī)過程幅值概率密度曲線偏離對稱分布的程度，偏斜度值不為零表示服從非對稱分布。峭度是描述隨機(jī)過程幅值概率密度曲線拖尾分布特征的參數(shù)，它不僅可用來區(qū)分高斯和非高斯隨機(jī)過程，而且還可進(jìn)一步將非高斯隨機(jī)過程區(qū)分為亞高斯和超高斯隨機(jī)過程，其中亞高斯隨機(jī)過程的K<3，超高斯隨機(jī)過程的K>3。工程中常見的非高斯振動信號往往是具有尖峰分布的對稱超高斯信號，因此本文研究的非高斯振動疲勞主要針對超高斯。
1.1 高斯振動疲勞加速試驗?zāi)Ｐ?/p>
首先，從最基本的描述材料疲勞現(xiàn)象的S～N曲線出發(fā)。通常理想的S～N曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為
N=cS-b
(2)
式中：S為應(yīng)力幅值；N為引起失效的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；b、c為材料雙對數(shù)S～N曲線中的常數(shù)，且b的取值范圍一般為6～25。
根據(jù)著名的疲勞損傷累積Miner準(zhǔn)則，不同幅值應(yīng)力共同作用下造成的疲勞損傷為
(3)
式中：ni是幅值為Si的應(yīng)力作用循環(huán)次數(shù)；Ni為試件在幅值為Si的應(yīng)力作用下至疲勞失效的循環(huán)次數(shù)；D為累積疲勞損傷(一般認(rèn)為當(dāng)D=1時發(fā)生疲勞失效)。
將式(2)代入式(3)可得
(4)
對于連續(xù)的隨機(jī)應(yīng)力時間歷程，式(4)可寫成如下積分的形式[7]
(5)
當(dāng)隨機(jī)應(yīng)力響應(yīng)接近平穩(wěn)窄帶高斯分布時，根據(jù)隨機(jī)過程理論，應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)p(S)將近似服從瑞利(Rayleigh)分布
(6)
式中：σS為應(yīng)力的均方根值(即標(biāo)準(zhǔn)差)。將式(6)代入式(5)進(jìn)行積分可得
(7)
式中，Γ為Gamma函數(shù)。
進(jìn)行振動試驗的產(chǎn)品或試件一般可近似看成一個線性系統(tǒng)，而振動試驗設(shè)備產(chǎn)生的振動激勵可看作該系統(tǒng)的輸入。工程實踐表明，一般結(jié)構(gòu)件的阻尼比ξ通常遠(yuǎn)小于1，可以取到0.05以下這樣小的值。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，在滿足小阻尼線性系統(tǒng)的假設(shè)前提下，σS的近似計算式為
(8)
式中：f1為試件結(jié)構(gòu)的一階固有頻率；ξ為等效的阻尼比(一般假設(shè)ξ≤0.1)；k為與試件材料相關(guān)的比例常數(shù)；Ga(f1)為輸入振動激勵的加速度功率譜密度在試件固有頻率f1處的量值。
(9)
由于試件結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)一般都類似一個窄帶濾波器，因此可以認(rèn)為試件在平穩(wěn)高斯隨機(jī)激勵作用下(無論是寬帶還是窄帶)，其應(yīng)力響應(yīng)為平穩(wěn)窄帶高斯分布，可以采用式(9)來估計其疲勞累積損傷。
一般認(rèn)為D=1時結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞失效，根據(jù)式(9)可得高斯隨機(jī)振動激勵下的結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命TG為
(10)
對常用工程材料，b的取值范圍一般為4～25。從式(10)可以看出，對高斯隨機(jī)振動激勵，當(dāng)結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性參數(shù)如f1、ξ固定時，結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命T與高斯隨機(jī)振動激勵的功率譜密度在結(jié)構(gòu)一階固有頻率處的量值大小Ga(f1)成反比關(guān)系。隨著Ga(f1)的增加(或減小)，T按指數(shù)規(guī)律迅速衰減(或增長)。
根據(jù)式(10)進(jìn)一步可得a1、a2兩種不同高斯隨機(jī)加速度激勵下的結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命分別為
(11)
(12)
根據(jù)式(11)和式(12)可得
(13)
顯然，式(13)就是傳統(tǒng)文獻(xiàn)中用于描述高斯振動加速試驗的逆冪律模型。從上述推導(dǎo)過程來看，只要工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻響函數(shù)是一個窄帶濾波器(實際中大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)均滿足這一條件)，并且結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)服從高斯分布，則就可以運用式(13)對振動加速試驗進(jìn)行建模。因此，式(13)只適用于描述高斯振動疲勞加速試驗，下面繼續(xù)討論非高斯振動疲勞加速試驗?zāi)Ｐ汀?/p>
1.2 超高斯振動疲勞加速試驗?zāi)Ｐ?/p>
當(dāng)隨機(jī)應(yīng)力響應(yīng)接近平穩(wěn)窄帶非高斯分布時，可考慮在式(9)的基礎(chǔ)上增加一個非高斯修正因子λ來描述應(yīng)力響應(yīng)的峭度值對振動疲勞累積損傷的影響
(14)
非高斯修正因子λ和應(yīng)力響應(yīng)的峭度值Ks直接相關(guān)，可用式(15)來描述
(15)
式中，參數(shù)α為比例系數(shù)。
顯然，當(dāng)應(yīng)力響應(yīng)為高斯即Ks=3時，λ=1，式(14)變成式(9)；當(dāng)應(yīng)力響應(yīng)為超高斯即Ks>3時，λ>1，意味著應(yīng)力響應(yīng)的超高斯特性會加快疲勞累積損傷進(jìn)程。
下面根據(jù)隨機(jī)振動理論分析影響應(yīng)力響應(yīng)峭度值Ks的因素。由于結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)起決定性作用，因此建立振動臺基礎(chǔ)激勵作用下的單自由度系統(tǒng)模型進(jìn)行分析，如下圖1所示。
經(jīng)過推導(dǎo)可得加速度響應(yīng)y與振動臺臺面的基礎(chǔ)加速度激勵x之間的傳遞函數(shù)為
(16)
(17)
(18)
式中：ω1=2πf1，f1為試件結(jié)構(gòu)的一階固有頻率；ξ為阻尼比。這兩個參數(shù)表征了試件結(jié)構(gòu)本身的動力學(xué)特性，并且試件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的通頻帶BWH也由這兩個參數(shù)決定，即
BWH=2ξf1
(19)
圖1 振動臺基礎(chǔ)激勵作用下的單自由度模型
由于實際工程結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ往往較小，而一階固有頻率f1往往不大，所以大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)的通頻帶BWH往往也不大，也就是說可以視為一個窄帶濾波器。
下面先對響應(yīng)帶寬進(jìn)行分析。設(shè)激勵x的功率譜密度記作X(f)，響應(yīng)y的功率譜密度記作Y(f)，系統(tǒng)頻響函數(shù)為H(f)。根據(jù)線性系統(tǒng)和隨機(jī)過程理論有
(20)
由此容易得出響應(yīng)的有效頻譜帶寬
(21)
接下來討論非高斯激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的幅值分布特性。隨機(jī)過程x(t)通過線性系統(tǒng)H(f)后的輸出在時域可表示為
(22)
式中，h(t)為系統(tǒng)H(f)的沖擊響應(yīng)函數(shù)，上述積分可用極限和形式表示，即
(23)
式中：x(τk)為隨機(jī)變量；Δτk為取樣時間間隔。根據(jù)中心極限定理，大量統(tǒng)計獨立的隨機(jī)變量之和的分布趨于高斯分布。如果輸出隨機(jī)過程y(t)在任意時刻t上皆為大量獨立隨機(jī)變量之和，則y(t)便接近于高斯分布。顯然這里要求兩個條件：一個是隨機(jī)變量必須相互獨立，另一個是獨立隨機(jī)變量要累加求和。
現(xiàn)在來考慮第二個條件。眾所周知，當(dāng)寬帶隨機(jī)信號作用于窄帶系統(tǒng)(如圖10所示濾波器頻響結(jié)構(gòu))時，由于系統(tǒng)有惰性，不能立即對信號作出響應(yīng)，它需要一定的建立時間ts，而ts與系統(tǒng)帶寬BWH成反比，即ts∝1/BWH。這樣，BWH越小，則ts越大，對信號響應(yīng)的時間越長，對隨機(jī)輸入各個取樣(隨機(jī)變量)累積時間也越長，于是當(dāng)各個取樣相互獨立，且累積時間又足夠長，即滿足ts?Δτk時，則y(t)趨于高斯分布。反之，若非高斯隨機(jī)過程作用于線性系統(tǒng)，而系統(tǒng)的通頻帶較寬時，這時ts較小，若小到ts?Δτk，則輸入隨機(jī)過程通過系統(tǒng)后失真很小，于是輸出隨機(jī)過程y(t)的分布將接近原輸入隨機(jī)過程x(t)的分布，即為非高斯分布。
綜上所述，當(dāng)τx?Δτk?ts時，或簡化為τx?ts時，系統(tǒng)在非高斯隨機(jī)輸入下，其輸出接近高斯分布。由于τx∝1/BWX及ts∝1/BWH，因此τx?ts也就意味著BWX?BWH。于是上述結(jié)論又可表述為線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)過程的有效頻譜帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬時，輸出隨機(jī)過程的幅值分布將趨于高斯分布，而與輸入隨機(jī)過程是否為高斯分布無關(guān)；換言之，當(dāng)輸入隨機(jī)過程的有效頻譜帶寬接近或小于系統(tǒng)帶寬時，如果輸入是非高斯分布則系統(tǒng)輸出也將為非高斯分布。
根據(jù)上述分析結(jié)論，可采用下式來描述應(yīng)力響應(yīng)的峭度值Ks和加速度激勵的峭度Ka、帶寬BWa以及結(jié)構(gòu)本身的帶寬BWH之間的關(guān)系
(24)
式中，參數(shù)β為比例系數(shù)。
綜合式(15)和式(24)可得非高斯修正因子λ的表達(dá)式為
(25)
從式(25)可以看出，非高斯隨機(jī)振動激勵的峭度和帶寬對結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)的非高斯特性影響比較明顯，從而對結(jié)構(gòu)的振動疲勞壽命也會產(chǎn)生明顯影響。
將式(25)代入式(14)，并令D=1，可得非高斯隨機(jī)振動激勵下的結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命TNG為
(26)
令ε=αβ，則式(26)可進(jìn)一步簡化為
(27)
有了式(27)，就可以將結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命與振動激勵的諸多特性以及結(jié)構(gòu)本身動力學(xué)特性都緊密地聯(lián)系起來，用于定量設(shè)計振動加速試驗將十分方便。
從式(27)可以看出：一旦確定了試件結(jié)構(gòu)的材料、外形和尺寸，f1、ξ和BWH也隨之確定，可視為已知量；一旦確定了振動激勵，Ga(f1)和BWa也隨之確定，也可以視為已知量。這樣，式(27)中還有3個未知量待求：b、k1和ε。下面依次探討這3個未知量的求解方法。
首先討論如何求解參數(shù)b。
對式(13)兩邊取對數(shù)，可得
(28)
(29)
這樣就可以通過進(jìn)行幾組高斯隨機(jī)振動試驗，得到若干組(X1,Y1)的值，然后進(jìn)行曲線擬合，就可以得到參數(shù)b的估計值。
接下來討論如何求解參數(shù)k1。
對式(10)進(jìn)行變換可得
(30)
Y2=k1X2
(31)
同樣，根據(jù)幾組高斯振動疲勞試驗的結(jié)果，得到若干組(X2,Y2)的值，然后進(jìn)行曲線擬合，就可以得到參數(shù)k1的估計值。
最后討論如何求解參數(shù)ε。
對式(27)進(jìn)行變換可得
(32)
Y3=εX3
(33)
這樣可以通過進(jìn)行幾組非高斯隨機(jī)振動試驗，可以得到若干組(X3,Y3)的值，然后進(jìn)行曲線擬合，就可以得到參數(shù)ε的估計值。
至此，就求出了式(27)中所有的未知參數(shù)，從而就可以預(yù)計出不同試驗條件下的結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命，并可據(jù)此推斷出試件在某實際服役振動環(huán)境下的疲勞壽命。
2 試驗研究
2.1 試驗對象
某型變壓器電子組件在振動環(huán)境下其電容管腳容易出現(xiàn)疲勞斷裂，如圖2所示。
(a)
(b)
2.2 試驗方案及結(jié)果
根據(jù)前述參數(shù)估計方法，分別設(shè)計了一組高斯和一組超高斯振動疲勞試驗，如表1和表2所示。其中高斯振動疲勞試驗結(jié)果用于估計參數(shù)b和k1，超高斯振動疲勞試驗結(jié)果用于估計參數(shù)ε。在得到三個未知參數(shù)的估計值后，再選擇如表3所示的試驗條件進(jìn)行試件的常規(guī)壽命試驗，并與采用疲勞加速試驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測的結(jié)果進(jìn)行比較。
表1 高斯振動疲勞試驗
表2 超高斯振動疲勞試驗
表3 疲勞壽命預(yù)測驗證試驗
3 結(jié) 論
本文通過理論分析，提出了一種能夠適用于超高斯隨機(jī)振動加速試驗的數(shù)學(xué)模型，并給出了模型中未知參數(shù)的具體求解方法。該模型系統(tǒng)全面地將結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命與振動激勵的諸多特性以及結(jié)構(gòu)本身動力學(xué)特性都緊密地聯(lián)系起來，用于指導(dǎo)超高斯振動疲勞加速試驗剖面的定量設(shè)計將十分方便，具有很好的工程實用性。
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Super-Gaussian random vibration fatigue accelerated testing model
JIANG Yu, TAO Junyong, CHEN Xun
(Science and Technology on Integrated Logistics Support Technology, College of Mechatronic Engineering&Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)
Here, a new mathematical model of accelerated vibration fatigue testing was established under super-Gaussian random vibration excitation using theoretical analysis, and detailed solving methods were presented for unknown parameters in the model. The model was verified with the actual tests. It was shown that the model can be effectively used for the practical quantitative design of accelerated vibration fatigue tests, it can be applied to assess the fatigue life and reliability of engineering structures under random vibration environment.
super-Gaussian; random vibration; vibration fatigue; accelerated model
國家自然科學(xué)基金項目(50905181)
2016-01-08 修改稿收到日期：2016-07-08
蔣瑜 男，博士，副教授，1977年生
O324
A
10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.038
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蔣 瑜， 陶俊勇， 陳 循
(國防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院裝備綜合保障技術(shù)重點實驗室， 長沙 410073)
超高斯隨機(jī)振動疲勞加速試驗?zāi)Ｐ脱芯?/p>
蔣 瑜， 陶俊勇， 陳 循
(國防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院裝備綜合保障技術(shù)重點實驗室， 長沙 410073)
通過理論分析，針對超高斯隨機(jī)振動激勵建立了相應(yīng)的振動疲勞加速試驗數(shù)學(xué)模型，給出了模型中未知參數(shù)的具體求解方法，并通過實際試驗進(jìn)行了驗證。該模型十分便于進(jìn)行振動疲勞加速試驗的定量設(shè)計，具有很好的工程實用性，可用于評估隨機(jī)振動環(huán)境下工程結(jié)構(gòu)的疲勞壽命與可靠性。
超高斯； 隨機(jī)振動； 振動疲勞； 加速模型
振動引起的疲勞問題作為多個工程領(lǐng)域廣泛存在的一個共性問題，嚴(yán)重危及重大裝備及結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性。如果能夠提前準(zhǔn)確預(yù)測結(jié)構(gòu)的振動疲勞壽命，就能在發(fā)生災(zāi)難性事故之前及時預(yù)知并采取相應(yīng)的措施，并可為其定壽、延壽提供科學(xué)的依據(jù)，最大限度地發(fā)揮裝備效益。因此，準(zhǔn)確預(yù)測重大裝備和工程結(jié)構(gòu)在復(fù)雜隨機(jī)動態(tài)載荷作用下的振動疲勞壽命是提高其可靠性和安全性的關(guān)鍵技術(shù)，被國家自然科學(xué)基金委員會列入《機(jī)械工程學(xué)科發(fā)展戰(zhàn)略報告(2011～2020)》。
當(dāng)前工程中進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命分析和預(yù)測時，由于缺乏充分的認(rèn)識和解決相關(guān)問題的工具及方法，通常假設(shè)結(jié)構(gòu)承受的隨機(jī)載荷符合平穩(wěn)高斯分布。但是，在實際環(huán)境中，上述許多隨機(jī)載荷往往呈現(xiàn)比較明顯的非高斯特征，尤其是在工況惡劣或者極端環(huán)境下。近年來的一些研究結(jié)果表明，隨機(jī)載荷的非高斯特性對結(jié)構(gòu)振動疲勞有著不可忽視的影響，某些情況下會加速結(jié)構(gòu)的疲勞失效?；诟咚辜僭O(shè)計算振動疲勞損傷往往會得到偏大的振動疲勞壽命估計結(jié)果，給裝備服役或使用階段埋下巨大的安全隱患。
同時，隨著結(jié)構(gòu)可靠性水平的提高，結(jié)構(gòu)的振動疲勞壽命越來越長，為了能夠在實驗室驗證其壽命是否達(dá)到要求，加速試驗成為必然的選擇。要想通過加速試驗得到結(jié)構(gòu)在實際服役振動環(huán)境下的疲勞壽命，正確的加速試驗統(tǒng)計模型是關(guān)鍵。國內(nèi)外目前關(guān)于振動加速試驗?zāi)Ｐ偷难芯坎欢啵绕涫菍Ψ歉咚闺S機(jī)振動加速試驗。王冬梅等[1]對振動加速試驗的逆冪律模型進(jìn)行了推導(dǎo)，探討了其適用范圍，指出其適用于窄帶高斯載荷，不適用于寬帶高斯和非高斯載荷。李奇志等[2]提出通過試驗的方式獲得振動試驗的加速因子，認(rèn)為振動加速試驗的逆冪律模型對平穩(wěn)窄帶和寬帶高斯隨機(jī)過程均是適用的。朱學(xué)旺等[3]應(yīng)用基于窄帶模型的修正方法得到了寬帶隨機(jī)振動試驗加速因子計算的通用表達(dá)式，認(rèn)為基于窄帶模型的加速因子表達(dá)式對于比例載荷的寬帶隨機(jī)振動也是適用的，而對于非比例載荷，則需要應(yīng)用其提出的通用表達(dá)式才可以獲得。Allegri等[4]研究了適用于平穩(wěn)寬帶高斯隨機(jī)振動加速試驗的逆冪律模型，其主要目的是用來評估相對疲勞損傷，而非用來精確預(yù)計壽命。Pothula[5]研究了附著不同阻尼材料的鋁合金梁在高斯隨機(jī)振動加速試驗中的疲勞壽命差異，探討了結(jié)構(gòu)阻尼對振動試驗加速因子的影響。John[6]提出應(yīng)用Fatigue Damage Spectrum(FDS)來進(jìn)行振動加速試驗設(shè)計與評估，但是只考慮了振動激勵的功率譜密度PSD (Power Spectral Density)，只適用于高斯振動加速試驗。
總的來說，目前國內(nèi)外開展的振動疲勞加速試驗研究主要針對高斯振動，尤其是實際進(jìn)行的非高斯振動加速試驗很少，需要進(jìn)一步探索適用于非高斯隨機(jī)振動的疲勞加速試驗定量模型。
1 理論分析
工程上常用偏斜度S和峭度K這兩個參數(shù)來描述非高斯隨機(jī)過程X，定義為
(1)
高斯隨機(jī)過程的偏斜度值等于0，峭度值等于3；而非高斯隨機(jī)過程的峭度值肯定不等于3，偏斜度值可以等于零也可以不等于0。偏斜度用來描述隨機(jī)過程幅值概率密度曲線偏離對稱分布的程度，偏斜度值不為零表示服從非對稱分布。峭度是描述隨機(jī)過程幅值概率密度曲線拖尾分布特征的參數(shù)，它不僅可用來區(qū)分高斯和非高斯隨機(jī)過程，而且還可進(jìn)一步將非高斯隨機(jī)過程區(qū)分為亞高斯和超高斯隨機(jī)過程，其中亞高斯隨機(jī)過程的K<3，超高斯隨機(jī)過程的K>3。工程中常見的非高斯振動信號往往是具有尖峰分布的對稱超高斯信號，因此本文研究的非高斯振動疲勞主要針對超高斯。
1.1 高斯振動疲勞加速試驗?zāi)Ｐ?/p>
首先，從最基本的描述材料疲勞現(xiàn)象的S～N曲線出發(fā)。通常理想的S～N曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為
N=cS-b
(2)
式中：S為應(yīng)力幅值；N為引起失效的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；b、c為材料雙對數(shù)S～N曲線中的常數(shù)，且b的取值范圍一般為6～25。
根據(jù)著名的疲勞損傷累積Miner準(zhǔn)則，不同幅值應(yīng)力共同作用下造成的疲勞損傷為
(3)
式中：ni是幅值為Si的應(yīng)力作用循環(huán)次數(shù)；Ni為試件在幅值為Si的應(yīng)力作用下至疲勞失效的循環(huán)次數(shù)；D為累積疲勞損傷(一般認(rèn)為當(dāng)D=1時發(fā)生疲勞失效)。
將式(2)代入式(3)可得
(4)
對于連續(xù)的隨機(jī)應(yīng)力時間歷程，式(4)可寫成如下積分的形式[7]
(5)
當(dāng)隨機(jī)應(yīng)力響應(yīng)接近平穩(wěn)窄帶高斯分布時，根據(jù)隨機(jī)過程理論，應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)p(S)將近似服從瑞利(Rayleigh)分布
(6)
式中：σS為應(yīng)力的均方根值(即標(biāo)準(zhǔn)差)。將式(6)代入式(5)進(jìn)行積分可得
(7)
式中，Γ為Gamma函數(shù)。
進(jìn)行振動試驗的產(chǎn)品或試件一般可近似看成一個線性系統(tǒng)，而振動試驗設(shè)備產(chǎn)生的振動激勵可看作該系統(tǒng)的輸入。工程實踐表明，一般結(jié)構(gòu)件的阻尼比ξ通常遠(yuǎn)小于1，可以取到0.05以下這樣小的值。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，在滿足小阻尼線性系統(tǒng)的假設(shè)前提下，σS的近似計算式為
(8)
式中：f1為試件結(jié)構(gòu)的一階固有頻率；ξ為等效的阻尼比(一般假設(shè)ξ≤0.1)；k為與試件材料相關(guān)的比例常數(shù)；Ga(f1)為輸入振動激勵的加速度功率譜密度在試件固有頻率f1處的量值。
(9)
由于試件結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)一般都類似一個窄帶濾波器，因此可以認(rèn)為試件在平穩(wěn)高斯隨機(jī)激勵作用下(無論是寬帶還是窄帶)，其應(yīng)力響應(yīng)為平穩(wěn)窄帶高斯分布，可以采用式(9)來估計其疲勞累積損傷。
一般認(rèn)為D=1時結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞失效，根據(jù)式(9)可得高斯隨機(jī)振動激勵下的結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命TG為
(10)
對常用工程材料，b的取值范圍一般為4～25。從式(10)可以看出，對高斯隨機(jī)振動激勵，當(dāng)結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性參數(shù)如f1、ξ固定時，結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命T與高斯隨機(jī)振動激勵的功率譜密度在結(jié)構(gòu)一階固有頻率處的量值大小Ga(f1)成反比關(guān)系。隨著Ga(f1)的增加(或減小)，T按指數(shù)規(guī)律迅速衰減(或增長)。
根據(jù)式(10)進(jìn)一步可得a1、a2兩種不同高斯隨機(jī)加速度激勵下的結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命分別為
(11)
(12)
根據(jù)式(11)和式(12)可得
(13)
顯然，式(13)就是傳統(tǒng)文獻(xiàn)中用于描述高斯振動加速試驗的逆冪律模型。從上述推導(dǎo)過程來看，只要工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻響函數(shù)是一個窄帶濾波器(實際中大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)均滿足這一條件)，并且結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)服從高斯分布，則就可以運用式(13)對振動加速試驗進(jìn)行建模。因此，式(13)只適用于描述高斯振動疲勞加速試驗，下面繼續(xù)討論非高斯振動疲勞加速試驗?zāi)Ｐ汀?/p>
1.2 超高斯振動疲勞加速試驗?zāi)Ｐ?/p>
當(dāng)隨機(jī)應(yīng)力響應(yīng)接近平穩(wěn)窄帶非高斯分布時，可考慮在式(9)的基礎(chǔ)上增加一個非高斯修正因子λ來描述應(yīng)力響應(yīng)的峭度值對振動疲勞累積損傷的影響
(14)
非高斯修正因子λ和應(yīng)力響應(yīng)的峭度值Ks直接相關(guān)，可用式(15)來描述
(15)
式中，參數(shù)α為比例系數(shù)。
顯然，當(dāng)應(yīng)力響應(yīng)為高斯即Ks=3時，λ=1，式(14)變成式(9)；當(dāng)應(yīng)力響應(yīng)為超高斯即Ks>3時，λ>1，意味著應(yīng)力響應(yīng)的超高斯特性會加快疲勞累積損傷進(jìn)程。
下面根據(jù)隨機(jī)振動理論分析影響應(yīng)力響應(yīng)峭度值Ks的因素。由于結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)起決定性作用，因此建立振動臺基礎(chǔ)激勵作用下的單自由度系統(tǒng)模型進(jìn)行分析，如下圖1所示。
經(jīng)過推導(dǎo)可得加速度響應(yīng)y與振動臺臺面的基礎(chǔ)加速度激勵x之間的傳遞函數(shù)為
(16)
(17)
(18)
式中：ω1=2πf1，f1為試件結(jié)構(gòu)的一階固有頻率；ξ為阻尼比。這兩個參數(shù)表征了試件結(jié)構(gòu)本身的動力學(xué)特性，并且試件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的通頻帶BWH也由這兩個參數(shù)決定，即
BWH=2ξf1
(19)
圖1 振動臺基礎(chǔ)激勵作用下的單自由度模型
由于實際工程結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ往往較小，而一階固有頻率f1往往不大，所以大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)的通頻帶BWH往往也不大，也就是說可以視為一個窄帶濾波器。
下面先對響應(yīng)帶寬進(jìn)行分析。設(shè)激勵x的功率譜密度記作X(f)，響應(yīng)y的功率譜密度記作Y(f)，系統(tǒng)頻響函數(shù)為H(f)。根據(jù)線性系統(tǒng)和隨機(jī)過程理論有
(20)
由此容易得出響應(yīng)的有效頻譜帶寬
(21)
接下來討論非高斯激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的幅值分布特性。隨機(jī)過程x(t)通過線性系統(tǒng)H(f)后的輸出在時域可表示為
(22)
式中，h(t)為系統(tǒng)H(f)的沖擊響應(yīng)函數(shù)，上述積分可用極限和形式表示，即
(23)
式中：x(τk)為隨機(jī)變量；Δτk為取樣時間間隔。根據(jù)中心極限定理，大量統(tǒng)計獨立的隨機(jī)變量之和的分布趨于高斯分布。如果輸出隨機(jī)過程y(t)在任意時刻t上皆為大量獨立隨機(jī)變量之和，則y(t)便接近于高斯分布。顯然這里要求兩個條件：一個是隨機(jī)變量必須相互獨立，另一個是獨立隨機(jī)變量要累加求和。
現(xiàn)在來考慮第二個條件。眾所周知，當(dāng)寬帶隨機(jī)信號作用于窄帶系統(tǒng)(如圖10所示濾波器頻響結(jié)構(gòu))時，由于系統(tǒng)有惰性，不能立即對信號作出響應(yīng)，它需要一定的建立時間ts，而ts與系統(tǒng)帶寬BWH成反比，即ts∝1/BWH。這樣，BWH越小，則ts越大，對信號響應(yīng)的時間越長，對隨機(jī)輸入各個取樣(隨機(jī)變量)累積時間也越長，于是當(dāng)各個取樣相互獨立，且累積時間又足夠長，即滿足ts?Δτk時，則y(t)趨于高斯分布。反之，若非高斯隨機(jī)過程作用于線性系統(tǒng)，而系統(tǒng)的通頻帶較寬時，這時ts較小，若小到ts?Δτk，則輸入隨機(jī)過程通過系統(tǒng)后失真很小，于是輸出隨機(jī)過程y(t)的分布將接近原輸入隨機(jī)過程x(t)的分布，即為非高斯分布。
綜上所述，當(dāng)τx?Δτk?ts時，或簡化為τx?ts時，系統(tǒng)在非高斯隨機(jī)輸入下，其輸出接近高斯分布。由于τx∝1/BWX及ts∝1/BWH，因此τx?ts也就意味著BWX?BWH。于是上述結(jié)論又可表述為線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)過程的有效頻譜帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬時，輸出隨機(jī)過程的幅值分布將趨于高斯分布，而與輸入隨機(jī)過程是否為高斯分布無關(guān)；換言之，當(dāng)輸入隨機(jī)過程的有效頻譜帶寬接近或小于系統(tǒng)帶寬時，如果輸入是非高斯分布則系統(tǒng)輸出也將為非高斯分布。
根據(jù)上述分析結(jié)論，可采用下式來描述應(yīng)力響應(yīng)的峭度值Ks和加速度激勵的峭度Ka、帶寬BWa以及結(jié)構(gòu)本身的帶寬BWH之間的關(guān)系
(24)
式中，參數(shù)β為比例系數(shù)。
綜合式(15)和式(24)可得非高斯修正因子λ的表達(dá)式為
(25)
從式(25)可以看出，非高斯隨機(jī)振動激勵的峭度和帶寬對結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)的非高斯特性影響比較明顯，從而對結(jié)構(gòu)的振動疲勞壽命也會產(chǎn)生明顯影響。
將式(25)代入式(14)，并令D=1，可得非高斯隨機(jī)振動激勵下的結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命TNG為
(26)
令ε=αβ，則式(26)可進(jìn)一步簡化為
(27)
有了式(27)，就可以將結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命與振動激勵的諸多特性以及結(jié)構(gòu)本身動力學(xué)特性都緊密地聯(lián)系起來，用于定量設(shè)計振動加速試驗將十分方便。
從式(27)可以看出：一旦確定了試件結(jié)構(gòu)的材料、外形和尺寸，f1、ξ和BWH也隨之確定，可視為已知量；一旦確定了振動激勵，Ga(f1)和BWa也隨之確定，也可以視為已知量。這樣，式(27)中還有3個未知量待求：b、k1和ε。下面依次探討這3個未知量的求解方法。
首先討論如何求解參數(shù)b。
對式(13)兩邊取對數(shù)，可得
(28)
(29)
這樣就可以通過進(jìn)行幾組高斯隨機(jī)振動試驗，得到若干組(X1,Y1)的值，然后進(jìn)行曲線擬合，就可以得到參數(shù)b的估計值。
接下來討論如何求解參數(shù)k1。
對式(10)進(jìn)行變換可得
(30)
Y2=k1X2
(31)
同樣，根據(jù)幾組高斯振動疲勞試驗的結(jié)果，得到若干組(X2,Y2)的值，然后進(jìn)行曲線擬合，就可以得到參數(shù)k1的估計值。
最后討論如何求解參數(shù)ε。
對式(27)進(jìn)行變換可得
(32)
Y3=εX3
(33)
這樣可以通過進(jìn)行幾組非高斯隨機(jī)振動試驗，可以得到若干組(X3,Y3)的值，然后進(jìn)行曲線擬合，就可以得到參數(shù)ε的估計值。
至此，就求出了式(27)中所有的未知參數(shù)，從而就可以預(yù)計出不同試驗條件下的結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命，并可據(jù)此推斷出試件在某實際服役振動環(huán)境下的疲勞壽命。
2 試驗研究
2.1 試驗對象
某型變壓器電子組件在振動環(huán)境下其電容管腳容易出現(xiàn)疲勞斷裂，如圖2所示。
(a)
(b)
2.2 試驗方案及結(jié)果
根據(jù)前述參數(shù)估計方法，分別設(shè)計了一組高斯和一組超高斯振動疲勞試驗，如表1和表2所示。其中高斯振動疲勞試驗結(jié)果用于估計參數(shù)b和k1，超高斯振動疲勞試驗結(jié)果用于估計參數(shù)ε。在得到三個未知參數(shù)的估計值后，再選擇如表3所示的試驗條件進(jìn)行試件的常規(guī)壽命試驗，并與采用疲勞加速試驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測的結(jié)果進(jìn)行比較。
表1 高斯振動疲勞試驗
表2 超高斯振動疲勞試驗
表3 疲勞壽命預(yù)測驗證試驗
3 結(jié) 論
本文通過理論分析，提出了一種能夠適用于超高斯隨機(jī)振動加速試驗的數(shù)學(xué)模型，并給出了模型中未知參數(shù)的具體求解方法。該模型系統(tǒng)全面地將結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命與振動激勵的諸多特性以及結(jié)構(gòu)本身動力學(xué)特性都緊密地聯(lián)系起來，用于指導(dǎo)超高斯振動疲勞加速試驗剖面的定量設(shè)計將十分方便，具有很好的工程實用性。
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Super-Gaussian random vibration fatigue accelerated testing model
JIANG Yu, TAO Junyong, CHEN Xun
(Science and Technology on Integrated Logistics Support Technology, College of Mechatronic Engineering&Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)
Here, a new mathematical model of accelerated vibration fatigue testing was established under super-Gaussian random vibration excitation using theoretical analysis, and detailed solving methods were presented for unknown parameters in the model. The model was verified with the actual tests. It was shown that the model can be effectively used for the practical quantitative design of accelerated vibration fatigue tests, it can be applied to assess the fatigue life and reliability of engineering structures under random vibration environment.
super-Gaussian; random vibration; vibration fatigue; accelerated model
國家自然科學(xué)基金項目(50905181)
2016-01-08 修改稿收到日期：2016-07-08
蔣瑜 男，博士，副教授，1977年生
O324
A
10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.038
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