倪郁東， 劉 偉， 倪汗青, 彭振宇

(1.合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230009; 2.合肥工業(yè)大學 電氣與自動化工程學院,安徽 合肥 230009)

非線性脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性條件

倪郁東1， 劉 偉1， 倪汗青2, 彭振宇1

(1.合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230009; 2.合肥工業(yè)大學 電氣與自動化工程學院,安徽 合肥 230009)

文章研究脈沖量和微分系統(tǒng)均為非線性形式的脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。該文通過建立脈沖系統(tǒng)的比較系統(tǒng)并分析其穩(wěn)定性的方法,針對具有有限范數(shù)的非線性微分系統(tǒng),給出了該類系統(tǒng)在具有有限范數(shù)的非線性脈沖作用下漸近穩(wěn)定的充分條件,并通過數(shù)值模擬驗證了所述方法的有效性。

非線性;脈沖系統(tǒng);漸近穩(wěn)定性;脈沖量;比較系統(tǒng)

0 引 言

一般脈沖系統(tǒng)可以描述為下列形式

(1)

其中,k=1,2,…；x∈Rn是狀態(tài)變量；f(t,x(t)):Rn→Rn；uk(x):Rn→Rn都是連續(xù)函數(shù)；τk<τk+1,τ1>0,且當k→∞時,τk→∞。

因為脈沖系統(tǒng)具有響應速度快,其魯棒性和抗干擾性表現(xiàn)突出,很多學者對其研究和進行應用[1-6], 所以對給定了脈沖量的脈沖系統(tǒng),分析脈沖系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)定是必要的。脈沖系統(tǒng)(1)的平凡解的穩(wěn)定性不僅和右端函數(shù)f(t,x(t))有關系,而且和脈沖量uk(x)有關系。許多學者對右端函數(shù)和脈沖量為線性函數(shù)的脈沖系統(tǒng)研究較多;另外對右端函數(shù)為非線性函數(shù)、脈沖量為線性函數(shù)或對右端函數(shù)為線性函數(shù)、脈沖量為非線性函數(shù)的研究較多,但是對右端函數(shù)和脈沖量都為非線性函數(shù)的脈沖系統(tǒng)研究較少。例如,文獻[7]僅考慮了右端函數(shù)為非線性函數(shù)Ax+f(x)、脈沖量為線性函數(shù)Bx的脈沖系統(tǒng),給出了這種形式的脈沖系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的充分條件,并對數(shù)值示例進行分析,但沒有考慮脈沖量為非線性函數(shù)的情況。雖然某些非線性系統(tǒng)在加了線性脈沖量之后,系統(tǒng)也可以達到漸近穩(wěn)定狀態(tài),但是控制的效果不太好,需要控制較長時間才能達到漸近穩(wěn)定狀態(tài),而非線性脈沖量的控制效果較好,因此研究脈沖量為非線性的系統(tǒng)是必要的。文獻[8]考慮到脈沖量為不同形式時對脈沖系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性條件的影響,給出脈沖量為非線性函數(shù)φ(x)、脈沖量為線性函數(shù)與非線性函數(shù)的和函數(shù)Bx+φ(x)以及脈沖量為可變線性函數(shù)Bkx3種形式下脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性條件,并給出例子說明條件是正確的;但是右端函數(shù)是線性函數(shù)Ax形式,沒有考慮右端函數(shù)是非線性的情況,因此同時考慮右端函數(shù)和脈沖量都為非線性函數(shù)的系統(tǒng)是必要的。文獻[9]考慮了3種情況的脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性,其中有2種情況的脈沖量是非線性函數(shù)φ(x)形式、線性函數(shù)與非線性函數(shù)的和函數(shù)Bx+φ(x)形式,其實這2種情況并沒有本質的區(qū)別,都是具有非線性脈沖量的脈沖系統(tǒng),只是形式上有所不同。脈沖量Bx+φ(x)是將脈沖量φ(x)中的線性部分分離出來,實際上都是非線性脈沖量,2個脈沖量沒有任何區(qū)別,脈沖量為Bx+φ(x)形式的脈沖系統(tǒng)只是脈沖量為φ(x)形式的脈沖系統(tǒng)的特殊情況。雖然沒有本質區(qū)別,但是很方便判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定,因為在某些情況下把脈沖量φ(x)中的一部分或是全部線性部分分離,再判斷穩(wěn)定性比不分離線性部分的情況要方便。

本文考慮右端函數(shù)和脈沖量都為非線性函數(shù)時，非線性脈沖系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的條件。主要給出右端函數(shù)和脈沖量為4種非線性形式下脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性條件。第1種是右端函數(shù)和脈沖量都為非線性函數(shù)f(x)和φ(x)形式的控制系統(tǒng);第2種脈沖系統(tǒng),把右端函數(shù)f(x)中的一部分或是全部線性部分分離得到Ax+f(x),且脈沖量φ(x)中的一部分或是全部線性部分分離得到Bx+φ(x);第3種僅把右端函數(shù)f(x)線性部分分離得到Ax+f(x),而脈沖量仍為φ(x)形式的控制系統(tǒng);第4種把脈沖量φ(x)線性部分分離得到Bx+φ(x),而右端函數(shù)仍為f(x)形式的脈沖系統(tǒng)。實際上,這4種形式的非線性脈沖系統(tǒng)并沒有本質區(qū)別,都是非線性的,后3種形式只是把f(x)和φ(x)里的線性部分分離出來。雖然沒有本質區(qū)別,但是在判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時是方便的。文中4種形式的非線性脈沖系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的充分條件由4個定理給出。最后,用一個例子說明定理中的條件是有效的。

1 預備知識

定義1 設V:R+×Rn→R+,稱V是屬于V0類的,需要滿足條件：① 函數(shù)V在(τk-1,τk]×Rn上是連續(xù)的,且對每一個x∈Rn,k=1,2,…,有

② 函數(shù)V關于x局部滿足Lipschitz條件且對所有的t∈R+,有V(t,0)=0。

定義2 定義右上導數(shù)為:

D+V(t,x)=

定義3 設函數(shù)k(s)∈C[R+,R+],若k(s)是嚴格遞增函數(shù)且k(0)=0，則稱k(s)屬于K類。

定義5 設V∈V0,若

其中,g:R+×R→R在(τk-1,τk]×R上連續(xù),ψk:R+→R+是非減函數(shù),則稱系統(tǒng)

(2)

是脈沖系統(tǒng)(1)的比較系統(tǒng)。

引理1[7]設

(1)f(t,0)=0,g(t,0)=0,uk(0)=0。

(2)V:R+×Sρ→R+,ρ>0,V∈V0;

D+V(t,x)≤g(t,V(t,x)),t≠t0,其中,

Sρ={x∈Rn|‖x‖<ρ};

(3) 存在ρ0>0,當x∈Sρ0時,滿足:

x+uk(x)∈Sρ0,k=1,2,…,

V(t,x+uk(x))≤ψk(V(t,x)),t=τk,x∈Sρ0。

(4) 存在函數(shù)α(·),β(·)∈K,當(t,x)∈R+×Sρ,滿足β(x)≤V(t,x)≤α(‖x‖)。

則比較系統(tǒng)(2)的平凡解的穩(wěn)定性蘊含著脈沖系統(tǒng)(1)的平凡解的穩(wěn)定性。

2 漸近穩(wěn)定性條件

考慮具體形式的非線性脈沖系統(tǒng)如下:

(3)

其中,k=1,2,…；f(x):Rn→Rn、φ(x):Rn→Rn都是非線性連續(xù)函數(shù)。

下面給出脈沖系統(tǒng)(3)在平凡解處漸近穩(wěn)定的充分條件。

定理1 設f(0)=0,φ(0)=0,若

(ii) 存在0<δ<1,使得:

‖x+φ(x)‖≤δ‖x‖,

(iii)δ2

則脈沖系統(tǒng)(3)在平凡解處是漸近穩(wěn)定的。

證明 設V(t,x)=xTx,當t≠tk時,

D+V(t,x)=

xTf(x)+f(x)Tx≤

LxTx+LxTx=2LxTx。

因為‖x+φ(x)‖≤δ‖x‖≤‖x‖,所以當x∈Sρ0時,必有x+φ(x)∈Sρ0。

當t=τk(k=1,2,…)時,有

V(t,x+φ(x))=(x+φ(x))T(x+φ(x))=

‖x+φ(x)‖2≤δ2‖x‖2=

δ2xTx=δ2V(t,x)。

脈沖系統(tǒng)(3)的比較系統(tǒng)為:

存在γ>1, 使得e-2L(τk+1-τk)/δ2≥γ,即

e-2L(τk+1-τk)≥δ2γ,

-2L(τk+1-τk)≥ln(γδ2),

2Lτk+1+ln(γδ2)≤2Lτk,

亦即λ(τk+1)+ln(γdk)≤λ(τk)。

根據(jù)引理1和引理2,脈沖系統(tǒng)(3)在平凡解處是漸近穩(wěn)定的。

在脈沖系統(tǒng)(3)中,若右端函數(shù)f(x)中有線性部分,則把f(x)中的一部分或是全部線性部分分離出得到Ax+f(x);若脈沖量φ(x)中有線性部分,把φ(x)中的一部分或是全部線性部分分離出得到Bx+φ(x),則脈沖系統(tǒng)(3)就變?yōu)槿缦路蔷€性脈沖系統(tǒng)形式:

(4)

其中,k=1,2,…；A,B為n階常數(shù)矩陣；f(x):Rn→Rn、φ(x):Rn→Rn都是非線性連續(xù)函數(shù)。

下面給出脈沖系統(tǒng)(4)在平凡解處漸近穩(wěn)定的充分條件。

定理2 設f(0)=0,φ(0)=0,λ1是A+AT的最大特征值,λ2是BTB的最大特征值。若

(ii) 存在0<ρ<1,使得：

‖x+φ(x)‖≤(1-ρ)‖x‖,

其中ρ=ρ(B)為B的譜半徑，

則脈沖系統(tǒng)(4)在平凡解處是漸近穩(wěn)定的。

證明 設V(t,x)=xTx,當t≠tk時,有

D+V(t,x)=

xT(Ax+f(x))+(Ax+f(x))Tx=

xT(A+AT)x+xTf(x)+f(x)Tx≤

λ1xTx+2LxTx=(λ1+2L)V(t,x)。

因為

‖x+Bx+φ(x)‖=‖Bx+(x+φ(x))‖≤

ρ‖x‖+(1-ρ)‖x‖=‖x‖,

所以當x∈Sρ0時,必有x+Bx+φ(x)∈Sρ0。當t=τk,k=1,2,…時,有

V(t,x+Bx+φ(x))=

(x+Bx+φ(x))T(x+Bx+φ(x))=

[(Bx+(x+φ(x))]T[(Bx+(x+φ(x))]=

xTBTBx+(Bx)T(x+φ(x))+

(x+φ(x))TBx+(x+φ(x))T(x+φ(x))≤

(1-ρ)2xTx≤

因此脈沖系統(tǒng)(4)的比較系統(tǒng)為:

(1-ρ))2]≤(λ1+2L)τk,

亦即

λ(τk+1)+ln(γdk)≤λ(τk)。

由引理1和引理2知,脈沖系統(tǒng)(4)在平凡解處是漸近穩(wěn)定的。

在定理2中,若f(x)=0,即微分系統(tǒng)為線性,則定理2就是文獻[8]中的定理4。因此定理2是文獻[8]中定理4的一個推廣。

在脈沖系統(tǒng)(3)中,若右端函數(shù)f(x)中有線性部分,則把f(x)中的一部分或全部線性部分分離出得到Ax+f(x);若脈沖量φ(x)中的線性部分不做分離,則脈沖系統(tǒng)(3)就變?yōu)槿缦路蔷€性脈沖系統(tǒng):

(5)

其中,A為n階常數(shù)矩陣；f(x):Rn→Rn、φ(x):Rn→Rn都是非線性連續(xù)函數(shù)。由定理1和定理2的證明過程得到脈沖系統(tǒng)(5)在平凡解處漸近穩(wěn)定的充分條件:

定理3 設f(0)=0,φ(0)=0,λ1是A+AT的最大特征值,若

(ii) 存在0<δ<1,使得：

‖x+φ(x)‖≤δ‖x‖，

(iii)δ2≤e-(λ1+2L)(τk+1-τk),

則脈沖系統(tǒng)(5)在平凡解處是漸近穩(wěn)定的。

在定理3中,若f(x)=0,即微分系統(tǒng)為線性,則定理3就是文獻[8]中的定理3。因此定理3是文獻[8]中定理3的一個推廣。

在脈沖系統(tǒng)(3)中,若脈沖量φ(x)中有線性部分,則把φ(x)中的一部分或全部線性部分分離出得到Bx+φ(x);若右端函數(shù)f(x)中的線性部分不做分離,則脈沖系統(tǒng)(3)就變?yōu)槿缦路蔷€性脈沖系統(tǒng):

(6)

其中,k=1,2,…；B為n階常數(shù)矩陣；f(x):Rn→Rn、φ(x):Rn→Rn都是非線性連續(xù)函數(shù)。同理,可由定理1和定理2的證明過程得到脈沖系統(tǒng)(6)在平凡解處漸近穩(wěn)定的充分條件。

下面給出脈沖系統(tǒng)(6)在平凡解處漸近穩(wěn)定的充分條件。

定理4 設f(0)=0,φ(0)=0,λ2是BTB的最大特征值,若

(ii) 存在0<ρ<1,使得：

‖x+φ(x)‖≤(1-ρ)‖x‖,

其中ρ=ρ(B)為B的譜半徑，

則脈沖系統(tǒng)(6)在平凡解處是漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值例子

給出脈沖系統(tǒng)(3)的一個例子,驗證定理1。

下面再利用上述例子驗證定理2。把f(x)中的全部線性部分分離出來,φ(x)中的一部分線性部分分離出來,從而得:

從而可得L=1,λ1=6.852 1,λ2=0.25,ρ=0.5。取τk+1-τk=0.01滿足定理2的3個條件,因此系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。脈沖控制后的時間序列圖如圖2b所示。從圖2b可以看出，t=0.1 s時系統(tǒng)在零解處達到穩(wěn)定。

圖1 無脈沖量的時間序列圖

(a) 定理1

(b) 定理2

4 結 論

本文研究了右端函數(shù)和脈沖量都為非線性函數(shù)時脈沖系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定性的充分條件。運用引理1、引理2得出穩(wěn)定性條件,并用Lyapunov函數(shù)法給予證明。給出的具體脈沖控制系統(tǒng)(3)～系統(tǒng)(6)是具有固定時刻的非線性脈沖系統(tǒng);非線性時滯脈沖系統(tǒng)有待研究。本文只建立了單個比較系統(tǒng)和運用Lyapunov第一方法得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件;接下來的工作是運用多個比較系統(tǒng)和Lyapunov第二方法得出系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。

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(責任編輯 朱曉臨)

Asymptotic stability condition of nonlinear impulsive systems

NI Yudong1， LIU Wei1， NI Hanqing2， PENG Zhenyu1

(1.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.School of Electric Engineering and Automation, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

This paper studies the asymptotic stability of the impulsive control system in which the impulsive increments and differential system are in nonlinear form. For the nonlinear differential system with limited norm, by establishing the comparison system of impulsive control system, the asymptotic stability sufficient conditions of the impulsive control system are developed under the control of nonlinear impulsive increments. The effectiveness of the described methods is verified by numerical simulation.

nonlinearity; impulsive control system; asymptotic stability; impulsive increment; comparison system

2015-12-18；

2016-03-14

國家自然科學基金資助項目(71571076)

倪郁東(1963-),男,安徽合肥人,合肥工業(yè)大學副教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.04.025

O231.2

A

1003-5060(2017)04-0567-05