吳靜

摘 要：學(xué)生在一次函數(shù)應(yīng)用的解題過(guò)程中經(jīng)常會(huì)走入一些誤區(qū)。為了正確解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，教師應(yīng)該在教學(xué)中充分挖掘函數(shù)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，做到數(shù)形（分類圖形、行程示意圖、函數(shù)圖像）結(jié)合，細(xì)化每個(gè)特殊點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從而順利地解決函數(shù)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；動(dòng)點(diǎn)；轉(zhuǎn)化；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）05-033-2

函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中是一個(gè)全新的概念，其定義比較抽象但實(shí)際應(yīng)用十分廣泛。而一次函數(shù)是在進(jìn)行了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)之后的一種更深層次函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)。學(xué)生會(huì)認(rèn)為一次函數(shù)的學(xué)習(xí)會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單，但在實(shí)際應(yīng)用中卻常常會(huì)產(chǎn)生一些誤區(qū)，導(dǎo)致函數(shù)學(xué)習(xí)出現(xiàn)這樣或那樣一些問(wèn)題。為了正確解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，教師應(yīng)該在教學(xué)中充分挖掘函數(shù)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，做到數(shù)形（分類圖形、行程示意圖、函數(shù)圖像）結(jié)合，細(xì)化每個(gè)特殊點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從而順利地解決函數(shù)問(wèn)題?，F(xiàn)以《一次函數(shù)》的教學(xué)為例，談?wù)勗诮虒W(xué)中挖掘函數(shù)運(yùn)動(dòng)全過(guò)程、走出函數(shù)應(yīng)用常誤區(qū)的方法。

一、應(yīng)用常見(jiàn)誤區(qū)

1.看到求函數(shù)關(guān)系式就設(shè)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）

例1 如圖，長(zhǎng)方形OABC，A（6，0），B（6，4），D是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿OAABBD運(yùn)動(dòng)，設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0

錯(cuò)解：P在三種位置均設(shè)s=kt+b（k≠0），再將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求函數(shù)關(guān)系式。

2.看到相遇點(diǎn)就認(rèn)為是兩函數(shù)的交點(diǎn)

例2 有A、B、C三家工廠依次坐落在一條筆直的公路邊，甲、乙兩輛運(yùn)貨卡車分別從A、B工廠同時(shí)出發(fā)，沿公路勻速駛向C工廠，最終到達(dá)C工廠。設(shè)甲、乙兩輛卡車行駛x（h）后，與B工廠的距離分別為y1、y2（km），y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖像求甲、乙兩車之間的距離不超過(guò)10km時(shí)x的取值范圍.

錯(cuò)解：∵E、P是兩函數(shù)的交點(diǎn)，∴E、P處兩車相交，

∵甲、乙兩車之間的距離不超過(guò)10km，

∴一種情況在E點(diǎn)兩側(cè)，另一種情況在P點(diǎn)兩側(cè)，|y1-y2|≤10。

3.不能正確找出特殊點(diǎn)表示的實(shí)際意義

例3 甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步500米，先到終點(diǎn)的人原地休息。已知甲先出發(fā)2秒。在跑步過(guò)程中，甲、乙兩人之間的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示，求a、b、c。

錯(cuò)解：學(xué)生不清楚a、b、c表示的實(shí)際意義，無(wú)從下手。

二、走出誤區(qū)之策

函數(shù)反映的是因變量隨著自變量的變化而變化的過(guò)程，它是從常量到變量的質(zhì)的飛躍，從數(shù)量的角度反映了變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，能使我們更好地認(rèn)識(shí)事物的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)事物的發(fā)展趨勢(shì)。因此，要想讓學(xué)生走出一次函數(shù)應(yīng)用的誤區(qū)，養(yǎng)成正確地解題策略，教師必須透過(guò)表象挖掘出事物運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程。

1.抓住動(dòng)點(diǎn)的不同位置，概括運(yùn)動(dòng)全過(guò)程

部分學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)后往往有一種固定的思維模式：要求函數(shù)關(guān)系式就一定是一次函數(shù)關(guān)系。當(dāng)然這與學(xué)生認(rèn)知區(qū)域的局限性有關(guān)，但這種思維方式嚴(yán)重妨礙了學(xué)生采用新的方法解決問(wèn)題。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的科學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生從已知的理論出發(fā)，進(jìn)行有關(guān)問(wèn)題的分析、推理、論證，得出正確的解題思路。

如例1求函數(shù)關(guān)系式中，教師要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，然后抓住動(dòng)點(diǎn)P三種不同位置尋找兩個(gè)變量之間的關(guān)系，利用圖形面積公式進(jìn)行求解，當(dāng)然求法隨圖形變化而有所不同。

在判斷動(dòng)點(diǎn)的不同運(yùn)動(dòng)位置時(shí)，能準(zhǔn)確地畫出分類圖形，做到不重復(fù)不遺漏，這是解題的關(guān)鍵。教師要培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)演繹探究運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，進(jìn)行分類、畫圖、歸納、求解，使學(xué)生的自主性和能動(dòng)性真正得到充分的發(fā)揮和展示，將所學(xué)的思想方法應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。要想讓學(xué)生真正理解和掌握函數(shù)就必須讓學(xué)生進(jìn)行探究，讓學(xué)生在探究中獲得感性認(rèn)識(shí)，學(xué)生也才會(huì)真正掌握數(shù)學(xué)思維和形成數(shù)學(xué)能力。

2.畫出示意圖，體會(huì)運(yùn)動(dòng)全過(guò)程

（1）細(xì)化已知信息，找出運(yùn)動(dòng)突破點(diǎn)

一般在函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中，已知信息有“文字信息”+“圖像信息”。文字信息告訴我們問(wèn)題發(fā)生的實(shí)際情境。如例3中的文字信息告訴我們甲、乙兩人的運(yùn)動(dòng)情況：同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向，總路程都是500米。關(guān)鍵信息有：甲先出發(fā)2秒、y表示甲、乙兩人之間的距離，t表示乙出發(fā)的時(shí)間。教師要引導(dǎo)學(xué)生將關(guān)鍵信息加下劃線，其中“甲先出發(fā)2秒”是整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的突破口，y和t表示的意義是理解圖像信息的紐帶。圖像信息表示的是兩個(gè)變量之間的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程。我們要找到圖像中的所有“特殊點(diǎn)”：（0，8）、（a，0）、（100，b）、（c，0），這些點(diǎn)是在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中具有特殊意義的，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如圖標(biāo)注，便于理解。

在這里的教學(xué)處理中，細(xì)化已知信息就是對(duì)目標(biāo)進(jìn)行分解和落實(shí)，是將函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成運(yùn)動(dòng)示意圖的前提，有利于學(xué)生找準(zhǔn)解題突破口，領(lǐng)悟事物在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化規(guī)律。教師要讓學(xué)生捕捉問(wèn)題中有價(jià)值的信息，讓學(xué)生自己嘗試著去探索和研究信息，用敏銳的眼光從眾多文字中發(fā)現(xiàn)、判斷、整合有效信息，激發(fā)學(xué)生思維的不斷碰撞，促進(jìn)對(duì)問(wèn)題的認(rèn)知趨向深入，達(dá)到全面、深刻的理解，從而不斷提升自己的思維能力。

（2）畫出運(yùn)動(dòng)示意圖，實(shí)現(xiàn)由靜制動(dòng)

圖像信息轉(zhuǎn)化到示意圖信息，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程模式，從而獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法與技能，這是學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)應(yīng)用的有效途徑。

如例3，問(wèn)題的表象是用靜止?fàn)顟B(tài)呈現(xiàn)的，但實(shí)際是個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。只有學(xué)生細(xì)致地畫出示意圖才能真正掌握其運(yùn)動(dòng)過(guò)程。根據(jù)圖像中的四個(gè)特殊點(diǎn)，可以將運(yùn)動(dòng)過(guò)程分解成如下四部分：

（1）甲2秒先走了8米

（2）乙走a秒追上甲

（3）乙走100秒到達(dá)終點(diǎn)

（4）甲走（c+2）秒到達(dá)終點(diǎn)

通過(guò)畫示意圖，清晰地演繹出甲、乙運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程和兩者之間的數(shù)量關(guān)系，可以讓學(xué)生引發(fā)解題思路，找出解題方法。尤其是在畫示意圖前后讓學(xué)生進(jìn)行比較，充分感覺(jué)到畫示意圖的優(yōu)勢(shì)——可以使信息條理化，生動(dòng)化。教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中提煉事物的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并進(jìn)行組合和分解，逐步學(xué)會(huì)畫分解示意圖方法和技巧，這是解決問(wèn)題保障。

問(wèn)題解決是一項(xiàng)基本技能，它不是單一的拼合，而是若干技巧綜合而成的一個(gè)整體。我們?cè)谟煤瘮?shù)解決問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)將已知信息、運(yùn)動(dòng)示意圖、已學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行有機(jī)整合，讓學(xué)生的思維伴隨著整合一步步走向深入，逐漸認(rèn)識(shí)事物現(xiàn)象背后的本質(zhì)，促使學(xué)生思維的深刻性，滋養(yǎng)對(duì)客觀事物的敏銳性，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探索運(yùn)動(dòng)過(guò)程的能力。在一次函數(shù)的應(yīng)用中，我們需要按“圖”索驥，從“圖”中挖掘運(yùn)動(dòng)、多方面、多角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，探究解決問(wèn)題的方法，更有利于提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。

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