張新華,劉 源,黃 建,張兆凱

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京 100074)

非線性因素耦合下電動(dòng)作動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)建模與仿真研究

張新華,劉 源,黃 建,張兆凱

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京 100074)

針對(duì)飛行器半實(shí)物仿真領(lǐng)域?qū)﹄妱?dòng)作動(dòng)器高精度建模的需求,對(duì)電動(dòng)作動(dòng)器的各分系統(tǒng)分別進(jìn)行動(dòng)力學(xué)方程描述,建立了含間隙、剛度和摩擦等非線性因素的完整電動(dòng)作動(dòng)器模型。通過對(duì)比模型仿真與實(shí)測(cè)結(jié)果,表明所建分系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是合理正確的。建立的模型對(duì)于指導(dǎo)作動(dòng)器的設(shè)計(jì)和優(yōu)化均具有較大的參考價(jià)值。

非線性因素;電動(dòng)作動(dòng)器;動(dòng)力學(xué)方程;傳動(dòng)機(jī)構(gòu);仿真

0 引言

飛行器電動(dòng)作動(dòng)系統(tǒng)是一種高精度、高動(dòng)態(tài)響應(yīng)的位置跟蹤伺服系統(tǒng),其性能直接決定著飛行器控制的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。目前,國內(nèi)對(duì)伺服作動(dòng)器的建模研究多是將系統(tǒng)看作成一個(gè)二階或三階系統(tǒng),然后通過直接建立或參數(shù)辨識(shí)出該二階或三階參數(shù)化模型來研究作動(dòng)器的動(dòng)態(tài)性能,該研究方式忽略了作動(dòng)器中的諸多非線性因素,如間隙、剛度和摩擦等[1-4]。隨著飛行器朝著高機(jī)動(dòng)性、高速度、跨時(shí)域等方向的發(fā)展,其對(duì)電動(dòng)作動(dòng)器也提出高動(dòng)態(tài)響應(yīng)、大功率輸出、小型輕質(zhì)化、高剛度、耐高溫、連續(xù)長時(shí)間工作等嚴(yán)格要求。摩擦、間隙和彈性形變是影響舵系統(tǒng)靜、動(dòng)態(tài)性能的重要非線性因素,其非線性特性會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)帶寬變低、跟蹤誤差增大、低頻相位滯后、低速“爬行”、極限環(huán)振蕩、自激振動(dòng)等現(xiàn)象,嚴(yán)重制約了作動(dòng)系統(tǒng)控制性能的提高。

本文通過對(duì)電動(dòng)作動(dòng)器的各分系統(tǒng)分別進(jìn)行動(dòng)力學(xué)方程描述,綜合考慮機(jī)構(gòu)非線性因素，建立電動(dòng)作動(dòng)器精確數(shù)學(xué)模型,并對(duì)其進(jìn)行仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證研究。結(jié)果表明,所建模型具有較高的精度。

1 分系統(tǒng)模型的數(shù)學(xué)描述

1.1 電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型

無刷直流電機(jī)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,定子電樞繞組合成的磁場(chǎng)并不是連續(xù)旋轉(zhuǎn)的,而是以60°電角度為間隔進(jìn)行跳躍變化的?？刂齐娐穼?duì)轉(zhuǎn)子位置傳感器檢測(cè)的信號(hào)進(jìn)行邏輯變換后產(chǎn)生脈寬調(diào)制PWM信號(hào),控制逆變器各功率開關(guān)管,從而使電機(jī)各相繞組按一定順序工作,在電機(jī)氣隙中產(chǎn)生跳躍式旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)。忽略換相特性、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)等非線性因素時(shí),可以將三相繞組簡(jiǎn)化為完全對(duì)稱,由其工作原理可以得到電機(jī)的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)線性方程:

(1)

式中參數(shù)均為簡(jiǎn)化后的等效值,其中θm為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械角度(rad),Ω為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械角速率(rad/s),Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩(N·m),JGes為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(kg·m2),Ke為感應(yīng)電勢(shì)系數(shù)((V·s)/rad),Kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù)((N·m)/A),R為相電樞內(nèi)阻(Ω),L為相電樞電感(H)。

1.2 齒輪系的動(dòng)力學(xué)模型

作動(dòng)器的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中,齒輪是用于電機(jī)輸出軸減速傳動(dòng)和電位器與舵軸之間傳動(dòng),將其簡(jiǎn)化成一單自由度系統(tǒng)模型,使用集中質(zhì)量法建立齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型,如圖1所示。

圖1 齒輪系動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 The dynamic model of gear train

其中:θ1、θ2、θ3為3個(gè)齒輪的角位移,單位rad;rb1、rb2、rb3為3個(gè)齒輪的基圓半徑,單位mm;kg1(τ)、kg2(τ)分別為2對(duì)齒輪之間的嚙合剛度,單位N/mm/μm;cg1(τ)、cg2(τ)分別為2對(duì)齒輪之間的阻尼系數(shù),單位N/(mm/s);eg1(τ)、eg2(τ)分別為2對(duì)齒輪嚙合的綜合誤差,單位mm。

設(shè)電機(jī)給齒輪1的力矩為TM,Tij表示齒輪i給齒輪j的力矩,TS為從滾珠絲杠傳來的負(fù)載扭矩,J1、J2、J3分別為各齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,J4為與齒輪3通過螺紋連接的滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,則依據(jù)牛頓力學(xué)定律,可得該齒輪系的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

(2)

其中

T12=kg1(τ)tf1(rb1θ1-rb2θ2-eg1(τ))rb1+

T21=kg1(τ)tf1(rb1θ1-rb2θ2-eg1(τ))rb2+

T32=kg2(τ)tf2(rb2θ2-rb3θ3-eg2(τ))rb3+

T23=kg2(τ)tf2(rb2θ2-rb3θ3-eg2(τ))rb2+

式中，f(x)是具有齒側(cè)間隙時(shí)輪齒嚙合力的非線性函數(shù),齒側(cè)間隙是指在嚙合線上度量的側(cè)隙(見圖2)。設(shè)齒輪副的上側(cè)隙分別為gn1、gn2,齒輪副的下側(cè)隙分別為gp1、gp2,則f(x)的表達(dá)式為

(3)

(4)

圖2 齒側(cè)間隙模型Fig.2 The model of hard stop in gear

1.3 滾珠絲杠副的動(dòng)力學(xué)模型

把滾珠絲杠副分成滾珠絲杠與絲杠螺母兩部分,使用單自由度的軸向剛度和阻尼來模擬兩部分的接觸情況,如圖3所示。對(duì)齒輪3與滾珠絲杠、絲杠螺母分別使用達(dá)朗貝爾定理有

(5)

(6)

式中，x4表示絲杠螺母直線移動(dòng)的位移量,m1為絲杠螺母的質(zhì)量,F21x表示轉(zhuǎn)接桿傳遞給螺母的力,KS和CS分別表示滾珠絲杠副的接觸剛度和接觸阻尼,f(x)為間隙函數(shù),Ff為軸向摩擦力。

其中,摩擦力采用Stribeck模型,其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為F=(FC+(Fbrk-FC)·exp(-cv|v|))sign(υ)+fv

其中，F(xiàn)C為庫倫摩擦力,Fbrk為最大靜摩擦力,f為黏性摩擦系數(shù),ν為兩端相對(duì)速度,cv是根據(jù)摩擦條件確定的因子,一般在0.5～2之間變化。

圖3 滾珠絲杠副動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 The dynamic model of ball screw

1.4 連桿機(jī)構(gòu)模型

作動(dòng)器中的連桿機(jī)構(gòu)屬于曲柄滑塊機(jī)構(gòu),對(duì)其進(jìn)行建模時(shí),忽略曲柄與轉(zhuǎn)接桿、轉(zhuǎn)接桿與絲杠螺母之間鉸接的間隙與摩擦,假設(shè)曲柄與轉(zhuǎn)接桿均為二力桿,則該曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型如圖4所示。

圖4 連桿機(jī)構(gòu)模型Fig.4 The model of link mechanism

設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(x2，y2)、C(x4,L),設(shè)曲柄與轉(zhuǎn)接桿的重心坐標(biāo)分別為(x1,x2)、(x3,y3),則機(jī)構(gòu)的位移矢量環(huán)路方程為

對(duì)上式求導(dǎo)可得

繼續(xù)求導(dǎo),可得曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

又由幾何關(guān)系可得

兩次求導(dǎo)后,寫成矩陣的形式有

(7)

分別對(duì)曲柄,轉(zhuǎn)接桿和滾珠螺母進(jìn)行受力分析如圖5所示,可得連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程。

圖5 受力分析圖Fig.5 The diagram of stress analysis

對(duì)曲柄有

(8)

對(duì)轉(zhuǎn)接桿有

(9)

對(duì)絲杠螺母有

(10)

圖6 伺服系統(tǒng)的完整模型Fig.6 The complete model of servo system

根據(jù)實(shí)際情況,舵機(jī)輸出角度θ可由反饋電位器實(shí)時(shí)測(cè)量得到,若θ已知,則β、γ均為已知量,

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

2 伺服系統(tǒng)建模

按照前述的伺服作動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)模型,在Simulink中對(duì)控制器、電機(jī)、齒輪、滾珠絲桿副、連桿機(jī)構(gòu)等分別進(jìn)行建模,整個(gè)伺服系統(tǒng)的模型如圖6所示。

該模型包含控制系統(tǒng)和作動(dòng)器系統(tǒng),前者采用Matlab通用工具箱完成建模,后者采用其自帶的Simscap工具箱完成建模,其中建模以能量傳輸守恒為基礎(chǔ),不僅考慮了控制系統(tǒng)與作動(dòng)器的實(shí)體結(jié)構(gòu),同樣考慮了摩擦、間隙和剛度等非線性因素,較為真實(shí)地反映了伺服系統(tǒng)的工作性能。模型的主要物理參數(shù)均可通過UG三維模型計(jì)算,其他的如摩擦、間隙和剛度等參數(shù)可通過試驗(yàn)或計(jì)算的方法獲得。

3 模型仿真與驗(yàn)證

選擇一種前級(jí)齒輪系,后級(jí)采用滾珠絲杠副加連桿形式的電動(dòng)作動(dòng)器作為測(cè)試對(duì)象,對(duì)額定負(fù)載下伺服系統(tǒng)典型位置下的穩(wěn)態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行仿真和驗(yàn)證。作動(dòng)器的部分參數(shù)如表1所示。

表1 作動(dòng)器部分參數(shù)列表Tab.1 The part parameters list of a actuator

作動(dòng)器傳遞系數(shù)和頻帶的仿真與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖7所示。其中,傳遞系數(shù)的仿真與實(shí)測(cè)結(jié)果值見表2,可以看出,傳遞系數(shù)的仿真結(jié)果均在技術(shù)要求的范圍內(nèi),且最大誤差不超過1%。從掃頻曲線可以看出,模型與實(shí)測(cè)結(jié)果在0～10Hz的吻合程度較好,經(jīng)計(jì)算,該作動(dòng)系統(tǒng)模型在頻帶內(nèi)的擬合度為83.7%。此外,在10Hz附近掃頻仿真曲線衰減較快,這是因?yàn)樵谇捌谙到y(tǒng)建模中,將無刷直流電機(jī)模型簡(jiǎn)化成了直流電機(jī),忽略了其轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的影響。

(a) 傳遞系數(shù)測(cè)試(a) The test of transter coefficient

(b) 大誤差信號(hào)測(cè)試(b) The test of large error signal

(c) 0～10Hz掃頻測(cè)試(c) The sweep test from 0Hz to 10Hz

(d) 10Hz附近掃頻測(cè)試(d) The sweep test near 10Hz圖7 伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能測(cè)試Fig.7 The dynamic performance test of servo system

表2 仿真與實(shí)測(cè)傳遞系數(shù)對(duì)比Tab.2 The transfer co efficient contrast between simulation and test

結(jié)果表明,模型通過測(cè)試數(shù)據(jù)修正后,其動(dòng)態(tài)響應(yīng)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相符較好。通過模型仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果的對(duì)比表明,電動(dòng)作動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)方程是正確合理的,且模型具有較高的精度。

4 結(jié)束語

分別建立了伺服電機(jī)、齒輪系、滾珠絲杠副和連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程,并將其組合形成較為完整的含非線性因素的電動(dòng)作動(dòng)器模型。選擇一種典型產(chǎn)品對(duì)其傳遞系數(shù)、頻帶分別進(jìn)行仿真與實(shí)測(cè),結(jié)果顯示仿真與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)十分吻合,表明所建分系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是合理正確的。另外,通過該動(dòng)力學(xué)方程建立的高精度模型可用于系統(tǒng)各項(xiàng)性能參數(shù)的仿真,對(duì)于指導(dǎo)作動(dòng)器的設(shè)計(jì)和優(yōu)化均具有較大的參考價(jià)值。

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Dynamic Modeling and Simulation of EMA Coupled with Nonlinear Factors

ZHANG Xin-hua, LIU Yuan , HUANG Jian, ZHANG Zhao-kai

(Beijing Institute of Automatic Control Equipment,Beijing 100074,China)

In order to meet the demands of precision modeling of Electro-Mechanical Actuator in aircraft HILS areas,kinetic equations of subsystems in EMA are described respectively and a complete EMA model with nonlinear factorssuch as clearancestiffness and friction are established.The simulation and the experimental show that the kinetic equations of subsystems are reasonable and correct,and the model has great reference value for the design and optimization of EMA.

Nonlinear factors;EMA;Kinetic equation;Transmission mechanism;Simulation

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.03.017

2016-11-15；

2017-02-01

國家自然科學(xué)青年基金(61603051)

張新華(1972-)，男，博士，研究員，主要從事機(jī)電伺服系統(tǒng)方面的研究。E-mail:sloht0033@126.com

TP275

A

2095-8110(2017)03-0101-06