汪 晶，聶桂根，薛長虎

(武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079)

應(yīng)用高斯粒子群優(yōu)化的無跡粒子濾波

汪 晶，聶桂根，薛長虎

(武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079)

針對粒子濾波算法中存在的粒子退化與粒子匱乏的缺陷，提出了利用高斯粒子群優(yōu)化無跡粒子濾波的新算法。算法使用無跡粒子濾波進(jìn)行重要性采樣，并將高斯粒子群優(yōu)化算法融入重采樣過程中。該算法選取的概率密度更加接近系統(tǒng)真實狀態(tài)，有效增加了粒子的多樣性，提高了抽樣效率，降低了粒子退化程度，緩解了粒子匱乏現(xiàn)象。試驗結(jié)果表明，該算法的濾波精度明顯優(yōu)于粒子濾波與無跡粒子濾波算法所得到的濾波精度。

無跡粒子濾波；高斯粒子群優(yōu)化；粒子退化；粒子匱乏

粒子濾波作為一種非線性濾波算法，近年來在目標(biāo)跟蹤、故障診斷、測繪等方面應(yīng)用越來越廣泛。與傳統(tǒng)的卡爾曼濾波相比，粒子濾波擺脫了系統(tǒng)線性和噪聲服從高斯分布的要求，因此應(yīng)用面更廣，發(fā)展更迅速。

粒子濾波主要是依靠蒙特卡洛仿真法來完成一個貝葉斯遞推的過程，其原理是根據(jù)上一時刻的概率生成樣本集合，即為粒子。根據(jù)一定的方法調(diào)整粒子的權(quán)重和位置，用調(diào)整后的粒子來近似表示出后驗概率。樣本容量越大，與真實的后驗概率就越接近。粒子濾波同時也存在著缺陷。濾波中重要性函數(shù)的選取將會直接影響其性能。傳統(tǒng)濾波序貫重要性采樣(sequential importance sampling，SIS)算法僅利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度計算預(yù)測值，忽略了最新的觀測值，故產(chǎn)生的樣本并不能準(zhǔn)確表示真實狀態(tài)，最終會導(dǎo)致粒子退化問題。此外，序貫重要性重采樣(sequential importance resampling，SIR)算法中的重采樣步驟采用的是隨機(jī)復(fù)制權(quán)值較大的粒子，使選取的粒子失去了多樣性，出現(xiàn)粒子匱乏的現(xiàn)象。

為了解決粒子濾波算法中存在的缺陷，一些學(xué)者提出了改進(jìn)方法。Rudolph等[1]將無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)融入粒子濾波中，提出了一種無跡粒子濾波(unscented particle filter，UPF)，該算法將最新觀測值加入概率計算中，一定程度上改善了粒子退化問題，但其重采樣過程依然存在粒子匱乏現(xiàn)象。Kennedy等[2]基于鳥群捕食行為的研究提出了粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)。使用該算法搜索最優(yōu)粒子不僅簡單易行，而且收斂速度快，同時很好地保留了粒子的多樣性，避免粒子匱乏現(xiàn)象的發(fā)生。

本文在分析粒子濾波原理的基礎(chǔ)上，提出了一種應(yīng)用高斯粒子群優(yōu)化無跡粒子濾波(unscented particle filter using Gaussian particle swarm optimization，GPSO-UPF)的新算法。本算法將高斯濾波器[3]引入粒子群算法中，使用高斯粒子群優(yōu)化無跡粒子濾波的重采樣過程，不僅能有效緩解粒子退化，提高計算效率，還能在一定程度上解決粒子匱乏問題。經(jīng)過仿真試驗測試，該算法不僅提高了濾波的精度，還具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性。

1 粒子濾波原理

1.1 貝葉斯濾波

貝葉斯濾波的目的是利用系統(tǒng)的所有已知信息得到狀態(tài)的后驗概率密度。具體內(nèi)容是首先利用系統(tǒng)模型預(yù)測狀態(tài)量的先驗概率密度，再引入最新的觀測值進(jìn)行修正，修正值即為狀態(tài)量的后驗概率密度。故可分為預(yù)測和更新兩步。設(shè)k代表時間，xk代表系統(tǒng)狀態(tài)，zk代表觀測值。

1.1.1 預(yù) 測

在未得到觀測值時，根據(jù)已知的系統(tǒng)模型與轉(zhuǎn)移概率，可由k-1時刻的后驗概率推導(dǎo)出k時刻的先驗概率。即

(1)

1.1.2 更 新

具體過程是先由貝葉斯公式推導(dǎo)出后驗概率，再由條件概率和聯(lián)合分布概率公式將觀測值獨立出來，即

(2)

1.2 粒子濾波及其缺陷

在實際的應(yīng)用中，貝葉斯濾波式(1)中的積分是很難實現(xiàn)的，而且在許多情況下，狀態(tài)量的解析解是不存在的，因此只能用算法去逼近真實的后驗概率密度，由此產(chǎn)生了粒子濾波算法。它的原理是用一組帶有權(quán)值的隨機(jī)樣本來估算狀態(tài)量的后驗概率密度。當(dāng)隨機(jī)樣本足夠大的時候，樣本均值就可等于后驗概率密度。這些樣本即為“粒子”。

(3)

(4)

在給定的馬爾科夫模型里面，對后驗概率密度函數(shù)進(jìn)行分解，再代回式(4)，遞推可得重要性權(quán)值的更新公式為

(5)

由此可得到粒子的權(quán)值，從而得到后驗概率密度。

常規(guī)粒子濾波采用SIS算法雖然減少了計算量，大大方便了后驗概率的計算。但是由于在計算中常采用先驗的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度作為采樣的密度函數(shù)。樣本沒有考慮系統(tǒng)狀態(tài)的最新觀測值，使濾波結(jié)果過渡依賴于模型。而且遞推運算會不斷加大重要性權(quán)重的方差，使得參與計算的大部分粒子權(quán)重很小，影響濾波結(jié)果的精度，出現(xiàn)粒子退化現(xiàn)象。

為了緩解SIS中的粒子退化問題，Gordon等提出了SIR算法。該算法在SIS的基礎(chǔ)上增加了重采樣步驟。重采樣方法是按照粒子的權(quán)值大小復(fù)制粒子。這樣會導(dǎo)致權(quán)值大的粒子被復(fù)制多次，權(quán)值小的粒子基本不會被復(fù)制。粒子濾波的結(jié)果只依賴于幾個粒子，而失去了粒子的多樣性，出現(xiàn)粒子匱乏現(xiàn)象。

為了解決上述兩個問題，本文提出了一種改進(jìn)的粒子濾波算法——基于高斯粒子群優(yōu)化的無跡粒子濾波。該算法不僅優(yōu)化重要性函數(shù)的選擇，還能很好地改進(jìn)粒子匱乏現(xiàn)象。

2 高斯粒子群優(yōu)化的無跡粒子濾波

2.1 無跡粒子濾波

粒子濾波中，為求解方便，一般選取先驗概率密度函數(shù)為重要性函數(shù)，它是由系統(tǒng)的狀態(tài)模型推導(dǎo)而來，未計入k時刻的觀測值，會使濾波結(jié)果嚴(yán)重依賴于模型，同時粒子會偏移。若模型參數(shù)不準(zhǔn)確或測量的噪聲發(fā)生突變，濾波的結(jié)果會與真實分布有較大差異。UPF改進(jìn)了濾波重要密度函數(shù)的選擇，使用UKF產(chǎn)生粒子濾波的重要性分布函數(shù)，選取無跡變換(unscentedtransformation，UT)變換后的Sigma點作為樣本，故由UKF產(chǎn)生的重要性分布與真實狀態(tài)的重疊部分更多，估計精度更高，可得到優(yōu)于普通粒子濾波的建議分布。

由于粒子濾波中預(yù)測階段的狀態(tài)量在時間序列上是滿足一階馬爾科夫過程的，因此建議公式可寫為

(6)

式中，xk和zk分別表示時刻k的所有狀態(tài)和觀測值的序列集合。

無跡粒子濾波與普通粒子濾波相比，充分利用了最新的觀測值，使樣本更加接近于系統(tǒng)的真實狀態(tài)，對于非高斯的模型準(zhǔn)確度更高。同時，UT變換產(chǎn)生的密度函數(shù)更接近真實的后驗概率密度。

2.2 高斯粒子群算法

(7)

式中，pij是第i個粒子從初始到當(dāng)前運動中的最優(yōu)解，即為個體極值；gj是粒子種群從初始到當(dāng)前運動的最優(yōu)解，即為全局極值；Rand()為在(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；w為慣性系數(shù)；c1和c2為移動權(quán)重，決定了粒子向個體極值和全局極值移動的權(quán)重。

粒子群優(yōu)化算法因為不是簡單地復(fù)制粒子，而是讓粒子在全局移動，很好地解決了粒子濾波中的粒子匱乏問題。但是，由于慣性系數(shù)w、移動權(quán)重c1和c2很難確定，粒子的運動速度也不好控制，因此krohling等[4]在2004年提出了一種改進(jìn)算法，即高斯粒子群優(yōu)化算法(Gaussian particle swarm optimization，GPSO)。該算法不需要確定其他系數(shù)，只需要給出粒子數(shù)目就可以計算，具體方法如下

(8)

GPSO算法通過不斷迭代更新粒子的位置，使每個粒子向最優(yōu)解靠近，而且大大簡化了算法的更新效率，提高了粒子群的性能，能更方便地獲得目標(biāo)真實位置的最優(yōu)估計。

2.3 基于高斯粒子群優(yōu)化的無跡粒子濾波

由上文可知，利用GPSO-UPF，性能優(yōu)于普通的粒子濾波，改進(jìn)之處表現(xiàn)在如下幾個方面：

(1) 無跡粒子濾波可以使粒子的選擇靠近觀測值區(qū)間，貼近實際的狀態(tài)，提高了濾波的精度。

(2) 普通粒子濾波使用的是次優(yōu)重要性函數(shù)，因此重要性采樣的結(jié)果是次優(yōu)的粒子。引入高斯粒子群算法，可以很好地優(yōu)化重采樣過程，改善采樣的精度。

(3) 使用高斯粒子群優(yōu)化無跡粒子濾波，既能彌補(bǔ)UPF算法粒子多樣性的不足，又能提高計算效率。同時解決了粒子退化和粒子匱乏的問題。

GPSO-UPF算法的具體實現(xiàn)步驟：

2.3.1 粒子初始化

2.3.2 重要性采樣

(3) 從重要性密度函數(shù)中抽樣新粒子樣本集。

2.3.3 權(quán)值歸一化

(1) 更新系統(tǒng)狀態(tài)與測量。

(2) 通過預(yù)測來獲得新狀態(tài)對應(yīng)的觀測量，計算粒子權(quán)值并進(jìn)行歸一化。歸一化權(quán)值為

(9)

2.3.4 高斯粒子群算法優(yōu)化重采樣

(1) 設(shè)定最大迭代次數(shù)n。

(2) 確定粒子的權(quán)值函數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)。

(3) 初始化粒子群中各粒子的位置和速度，計算各粒子的適應(yīng)度。

(4) 確定全局極值gj和個體極值pij。

(5) 利用速度更新公式和位置更新公式(8)對狀態(tài)為存在的粒子進(jìn)行更新獲得更新后的粒子群。

(6) 尋找當(dāng)前時刻權(quán)值最大的粒子更新適應(yīng)度函數(shù)值、個體極值和全局極值。

(7) 運行到最大迭代次數(shù)后，停止搜索，輸出最后的優(yōu)化結(jié)果。

2.3.5 更 新

計算得到k時刻系統(tǒng)的后驗概率估計值。

2.3.6 遞 推

令k=k+1，返回2.3.2節(jié)，遞推下一時刻目標(biāo)狀態(tài)的后驗概率。

3 仿真試驗

本文利用一維單變量非線性增長模型(univariate nonstationary growth model，UNGM)驗證高斯粒子群優(yōu)化無跡粒子濾波算法的性能。該模型如下：

系統(tǒng)模型

(10)

觀測模型

(11)

試驗中不同算法的性能評定使用RMSE。公式為

(12)

N=50時單次試驗的估計仿真如圖1所示。N=500時單次試驗的估計仿真如圖2所示。圖中展示了一次仿真中每個時刻的真實值及粒子濾波、無跡粒子濾波、高斯粒子群優(yōu)化的無跡粒子濾波的估計值。表1給出了不同粒子數(shù)時各算法均方根誤差的均值、方差及運行時間。

圖1 N=50條件下不同濾波器預(yù)估結(jié)果

圖2 N=500條件下不同濾波器預(yù)估結(jié)果

算法粒子數(shù)REMS均值REMS方差運行時間/sPF500.82190.04760.1887PF5000.37860.06591.5422UPF500.27370.02141.1191UPF5000.19130.001210.9503GPSO-UPF500.19830.01381.4956GPSO-UPF5000.15920.001112.0277

由圖1、圖2可以看出，當(dāng)粒子數(shù)較少(N=50)時，PF算法和真實值差異較大，UPF算法也不穩(wěn)定，而GPSO-UPF的性能則優(yōu)于其他算法，已經(jīng)與真實狀態(tài)非常接近。當(dāng)粒子數(shù)較多(N=500)時，PF算法依然有偏差，UPF算法雖然有提升，但仍然存在誤差，GPSO-UPF算法最為貼近真實值。從表1可以看到，粒子數(shù)的選取將直接影響濾波的估計精度。粒子數(shù)越多，同一濾波的精度越高。但同時粒子數(shù)的增多會耗費更多的運行時間。其中，PF受粒子數(shù)影響最為明顯，精度也最低。UPF隨著粒子增多，精度也提高。GPSO-UPF在相同粒子數(shù)的條件下精度最高，穩(wěn)定性也最好。

試驗表明，GPSO-UPF算法因為加入了高斯粒子群優(yōu)化，效果明顯好于UPF算法。該算法明顯提升了濾波的性能，精度更高，得到的結(jié)果也更接近真實狀態(tài)，穩(wěn)定性更好。雖然該算法計算所需的時間略多于UPF算法，但是，通過不同粒子數(shù)的對比可看到，PF與UPF算法依賴于粒子數(shù)，只有在粒子數(shù)達(dá)到一定數(shù)目的時候，算法的精度才能明顯提高。而GPSO-UPF算法不需要較多的粒子也能得到比較好的結(jié)果，節(jié)約了運行時間，大大提高了算法的效率。因此，該算法優(yōu)于PF及UPF。

4 結(jié) 語

基于粒子濾波存在的次優(yōu)估計與粒子匱乏問題，本文提出了一種新的GPSO-UPF算法。該算法使用無跡粒子濾波解決估計問題，充分利用最新的觀測值，并用高斯粒子群算法優(yōu)化重采樣，提高了粒子多樣性。不僅對于濾波的次優(yōu)估計有明顯的改善，還解決了粒子匱乏的缺陷。仿真試驗結(jié)果表明，新算法具有較高的精度和穩(wěn)定性，其性能優(yōu)于傳統(tǒng)的粒子濾波與無跡粒子濾波算法，且效率更高，只需要較少的粒子就能得到精確的結(jié)果。

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測繪地理信息與導(dǎo)航高端論壇——《測繪學(xué)報》創(chuàng)刊60周年學(xué)術(shù)研討會通知(第一號)

當(dāng)前，新一輪科技創(chuàng)新和產(chǎn)業(yè)發(fā)展正在深度融合，以互聯(lián)網(wǎng)+為代表的信息技術(shù)飛速發(fā)展，泛在測繪與位置服務(wù)的發(fā)展已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代，智能、快捷服務(wù)已經(jīng)滲透到我國各個行業(yè)，測繪地理信息行業(yè)資本融合勢頭迅猛。國家測繪地理信息局也在《測繪地理信息“十三五”規(guī)劃》中，確立了新型基礎(chǔ)測繪、地理國情監(jiān)測、應(yīng)急測繪、航空航天遙感測繪、全球地理信息資源開發(fā)“五大業(yè)務(wù)”，形成了公益性保障與地理信息產(chǎn)業(yè)市場化服務(wù)協(xié)同發(fā)展和深度融合的工作布局?！稖y繪學(xué)報》長期致力于推動測繪地理信息的基礎(chǔ)理論與技術(shù)應(yīng)用發(fā)展，為全國測繪地理信息行業(yè)的科研機(jī)構(gòu)、高等院校、生產(chǎn)單位等提供學(xué)術(shù)交流與合作的平臺。為進(jìn)一步促進(jìn)新理論、新技術(shù)、新方法、新思想的交流，總結(jié)和發(fā)展近年來我國測繪地理信息行業(yè)的最新成果，《測繪學(xué)報》編委會定于2017年10月21日在深圳舉辦“測繪地理信息與導(dǎo)航高端論壇——《測繪學(xué)報》創(chuàng)刊60周年學(xué)術(shù)研討會”，具體事宜通知如下。

會議主題：泛在測繪與智能服務(wù)

報到時間：2017年10月20日全天

會議時間：2017年10月21日(上午：開幕式、院士報告；下午：分論壇)

地 點：廣東省深圳市

主辦單位： 中國測繪地理信息學(xué)會《測繪學(xué)報》編委會、中國地圖出版集團(tuán)、深圳大學(xué)、深圳市測繪地理信息學(xué)會

會議郵箱：agcs2017@163.com；QQ群：496372706；聯(lián)系人：宋啟凡；電話：010-68531322

Unscented Particle Filter Using Gaussian Particle Swarm Optimization

WANG Jing,NIE Guigen,XUE Changhu

(GNSS Research Center, Wuhan University, Wuhan 430079, China)

A new unscented particle filter using Gaussian particle swarm optimization (GPSO-UPF) algorithm is proposed in this paper to improve particle degeneracy and particle impoverishment. It uses unscented particle filter in importance sampling process and incorporates Gaussian particle swarm optimization into re-sampling process. Through GPSO-UPF, the probability density moves closely to true state, the number of effective particles and efficiency are increased, the particle degeneracy is reduced and particle impoverishment is relieved. The experimental results show that the state estimation precision of GPSO-UPF is higher than estimation precision of PF and UPF.

unscented particle filter； Gaussian particle swarm optimization； particle degeneracy； particle impoverishment

汪晶，聶桂根，薛長虎.應(yīng)用高斯粒子群優(yōu)化的無跡粒子濾波[J].測繪通報，2017(4)：1-5.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0107.

2016-08-11；

2016-12-30

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(2013CB733205)；武漢市科技局項目(2015011701011639)

汪 晶(1990—)，女，碩士生，主要研究方向為多源觀測數(shù)據(jù)與滑坡機(jī)理模型同化理論與方法。E-mail：56183236@qq.com

P207

A

0494-0911(2017)04-0001-05