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整數(shù)乘除法筆算的前世今生

2017-05-07 05:56:23
小學教學(數(shù)學版) 2017年11期
關鍵詞:被除數(shù)除數(shù)筆算

[本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃重點資助課題 “數(shù)學史視野下的小學數(shù)學教學的案例研究”(批準號:B-a/2013/02/002)的研究成果之一。]

一、乘法筆算的歷史演變

乘法是加法的特殊情況,重復進行同一個數(shù)的加法運算就產(chǎn)生了乘法,對這種重復計算的不同處理,就產(chǎn)生了不同的乘法計算方法。早在古埃及紙草書上就記載著一種乘法——倍乘法,也就是先加倍計算,然后組合不同的倍數(shù)和從而完成計算(見圖1)。雖然倍乘法不具有現(xiàn)代筆算乘法的形式,但在幾千年筆算乘法的歷史進程中體現(xiàn)了旺盛的生命力。1546年,德國數(shù)學家施蒂費兒(備注英文)的著作中將32×13=412寫成下面的形式(見圖2),明顯帶有埃及倍乘法的痕跡。

圖1

圖2

可以想象,當計算的數(shù)目大了,倍乘法不僅僅逐次加倍計算很麻煩,而且組合不同倍數(shù)和的時候同樣不容易。在20世紀初,在歐洲流行著俄羅斯農(nóng)夫算法,比如要計算49×28,就將49逐步取半并記錄在上行,把28逐步加倍并記錄在對應的下行位置,如圖3。這樣算,其中的原理還在于:一個因數(shù)擴大的倍數(shù)和另一個因數(shù)縮小的倍數(shù)相同,那么乘積不變。49不斷地取半,而與此同時28不斷地加倍,所以俄羅斯農(nóng)夫算法就把“49×28”轉(zhuǎn)化為了“1×896”,這樣轉(zhuǎn)化的目的顯然是為了回避倍數(shù)和的組合。但第一次對49取半得24,相當于少算了一個28;第四次對3取半的時候,少算了一個448,所以49×28的最后結(jié)果為:896+448+28=1372。仔細分析一下,896是32個28的積,448是16個28的積,所以896+448+28也就是計算(32+16+1)個28的積,其本質(zhì)還是倍乘法。倍乘法上述兩方面的麻煩可見一斑。

中國古代計算32×13,看作求32的13倍,由于13是由兩個不同位值的數(shù)字1和3組成的,所以在計算中可以分別計算32的10倍和3倍,然后把結(jié)果相加。

雖然,中國古代進行乘法計算的原理和現(xiàn)在沒有什么區(qū)別,但中國古代的記數(shù)和進行算術(shù)運算工具都是算籌,即一根根同樣長短和粗細的小棍子,表示多位數(shù)時,從右到左,縱橫相間,個位用縱式,十位用橫式,百位用縱式……依此類推,遇零則置空。算籌的乘法計算,分為三層,上位、中位、下位,依次分別放乘數(shù)、積和另一個乘數(shù)。計算時把多位數(shù)變成一位數(shù)去乘多位數(shù),利用“九九口訣”乘一位加一位。還是以 13×32=416為例,如圖4。

從圖中可以看出,算籌乘法的步驟與現(xiàn)在的筆算乘法基本一致,不同的是,算籌乘法從高位乘起,積置于兩個乘數(shù)之間。也因為是借助算籌進行計算,從高位算起,遇有進位,可以很方便地增添算籌,所以,“從哪里算起”在古人看來根本不是個問題。后來,中國古代的算籌乘法在印度出現(xiàn),但他們變成了寫算,用小木棍在撒著紅粉的白板上寫數(shù)和計算(也稱“沙盤算法”或“土盤算法”),由于也可以隨時改動數(shù)字,所以他們的運算步驟與中國的籌算一樣,不過把積寫在兩個乘數(shù)的上面。公元9世紀,印度數(shù)學開始傳入阿拉伯,并同時傳入了中國的造紙術(shù),阿拉伯人開始在紙上運算。紙上運算比起中國的籌算和印度的寫算來,不能隨時改動數(shù)字,只能逐次劃掉中間步驟所得的結(jié)果,因此算式顯得很混亂,也容易出錯。當歐洲人接受紙上的乘法計算時,就進一步作了改變。1494年,在意大利數(shù)學家帕喬利(備注英文)的著作《算術(shù)、幾何、比與比例集成》中記錄的乘法豎式,已經(jīng)有了現(xiàn)在乘法豎式的雛形,當時叫“疊果法”。仍然以32×13為例,計算成如圖5。從乘法計算的書寫格式看,和現(xiàn)在相比已經(jīng)相差無幾了。但其計算步驟,和現(xiàn)在的低位算起是不同的,無論是分解成32×(10+3)還是分解成(30+2)×13,都是從高位算起——實際上,不僅僅是乘法運算,加法和減法的運算也都是從高位算起的。但紙筆不像算籌和沙盤那樣可以隨意改數(shù)字,高位算起時進退位帶來的麻煩如何解決呢?變化總是在逼迫中產(chǎn)生的,后來人們有了下面的算法:

圖5

圖6是19世紀前后歐洲計算 “3709+8540+2618+706”,為了解決計算過程中進位的問題,把每次計算的結(jié)果都獨占一行,這樣就把進位的數(shù)也寫了出來,避免了對進位結(jié)果的記憶。圖7是歐洲人計算 “748×632”,既有高位算起也有低位算起,其表達的原理和加減豎式基本一致。圖8是印度人對于進位的處理,計算 “3709+9840+2618+706”,先算個位的“9+0+8+6”得 23,就在和的個位位置上寫“3”,并且向十位進“2”,這個進位的“2”就寫在下一行的十位處。也就是說,印度人的豎式中出現(xiàn)了一個專門記錄進位數(shù)的“進位行”。對于減法計算,只不過“進位行”變成了“退位行”,原先的加法計算變成了減法計算,如圖9。如個位上“2-3”不夠減,就從十位退“1”,因此在第四行“退位行”的十位上寫“1”。

圖6

圖7

圖8

圖9

對于加法豎式中的“進位行”和減法豎式中的“借位行”,古代印度人的說法英譯為“Obliterating Line”,意思是“可刪除的線”。現(xiàn)在豎式中,這一行真的被刪除了,使得豎式的寫法更為簡潔和濃縮。加法、減法、乘法豎式中,不必要記錄的刪除以及對計算過程中一些思考步驟的壓縮,到底是什么時候完成的,這已經(jīng)不重要了,重要的是現(xiàn)在看來如此規(guī)范的寫法,曾經(jīng)是那么繁瑣!

回顧歷史,一方面我們會感慨于現(xiàn)在紙筆豎式計算的簡練,另一方面也會真切感受到繁瑣不一定就沒有價值,它把計算過程中的每一次思考表達得更為直白和淺顯。因此,我們也就不難理解,即便到現(xiàn)在,國外的小學數(shù)學教科書中,紙筆豎式計算中還帶有如此“多余”的符號和寫法(如圖10),這種“多余”正是可貴的兒童視角的體現(xiàn)!

圖10

二、除法筆算的歷史演變

如同乘法的筆算歷史演進脈絡為 “中國籌算——印度沙盤算——西方紙筆算”一樣,與現(xiàn)在最接近的除法筆算形式最早也誕生在中國,同樣也是通過算籌進行的。同乘法運算一樣,除法運算也是分為三行:上行是商,中行是實(也就是被除數(shù)),下行是法(也就是除數(shù))。除數(shù)除到被除數(shù)的哪一位,就把除數(shù)擺到被除數(shù)哪一位的下面,除完再往右移。比如計算5984÷16,5不夠被16除,就用59除以16,把除數(shù)16擺到被除數(shù)“59”下面,如圖11中第①步,16去除59商3,被除數(shù)還余1184,將16右移一位,如圖11中第②步,如此下去,直至得到最終結(jié)果374。若除不盡,就擺在那里成帶分數(shù)形式。

圖11

這種除法,后來也以沙盤算的形式在印度出現(xiàn),當傳入阿拉伯后,因為在紙上計算的緣故,如同乘法計算一樣,他們逐步用斜線劃去無法直接抹去的數(shù)字,演算完畢就在紙上留下了一行又一行劃去的數(shù)字,整個算式好似一只帆船,這就是歷史上的帆船除法。帆船除法在歐洲盛行了相當長的時間,直到17世紀末18世紀初才逐步被現(xiàn)行的除法所取代。

圖12

歷史上眾多運算,已經(jīng)表明除法和減法運算的內(nèi)在聯(lián)系。所以,17世紀末18世紀初,歐洲出現(xiàn)了如圖12所示的除法運算。計算“1554÷37”,其基本思路是從1554中反復減去37,直到結(jié)果為0,減去的次數(shù)就是除法運算的結(jié)果。為了使減去的次數(shù)盡量少,無疑首先設法從被除數(shù)中減去除數(shù)的整十倍(被除數(shù)如果足夠大,也可能首先設法減去除數(shù)的整百或整千倍)。因此,圖中第Ⅰ步減去“37”,實際上是減去了 370,還?!?18”,其中個位上的4省略沒寫。第Ⅱ步從 “118”中再減去“37”。

當被除數(shù)和除數(shù)都比較大時,比如“22028148÷423”,無法一下子找到能從被除數(shù)中減去除數(shù)的多少倍數(shù)時,人們想出了首先羅列除數(shù)的倍數(shù),而后從被除數(shù)的高位起逐步減去除數(shù)的合適倍數(shù),如圖13。圖中最左邊部分,分別羅列了除數(shù)423的1~9倍各是多少,對照各個倍數(shù),首先從22028148的前四位中減去423的5倍,并在被除數(shù)的右邊標出第一次的商“5”。第一次減去除數(shù)的5倍后,還余“87”和被除數(shù)千位上的“8”合起來是 “878”,423的2倍最接近878……重復前面的過程,直至減的結(jié)果得0。這個除法運算的表達,和現(xiàn)行教科書的寫法已無本質(zhì)區(qū)別,只不過省略了除數(shù)倍數(shù)的羅列以及商寫的位置有所不同。

圖13

和四則運算中的其他運算相比,除法運算需要的思考是最復雜的,因此,人類對于除法筆算方法及其運算過程記錄的探索也最為艱難。以732÷6為例,人類不斷優(yōu)化除法運算筆算方法的過程大致呈現(xiàn)了如下的過程

圖14

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