薛 超，談樹萍,2,劉賀龍

(1.北京控制工程研究所,北京 100090; 2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

?

繩系系統(tǒng)軌道機(jī)動(dòng)過(guò)程中的面內(nèi)擺角抑制*

薛 超1，談樹萍1,2,劉賀龍1

(1.北京控制工程研究所,北京 100090; 2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

針對(duì)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)軌道機(jī)動(dòng)過(guò)程中面內(nèi)擺角抑制問(wèn)題進(jìn)行控制器設(shè)計(jì).僅考慮面內(nèi)擺角子系統(tǒng)下，針對(duì)繩系系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，提出了分層迭代非線性滑?？刂品椒?證明控制方法設(shè)計(jì)的控制律使系統(tǒng)所有狀態(tài)漸近穩(wěn)定.通過(guò)數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證方法的有效性和優(yōu)勢(shì).

繩系衛(wèi)星系統(tǒng);滑模控制;軌道機(jī)動(dòng)

0 引 言

繩系衛(wèi)星系統(tǒng)(tethered satellite system,TSS)在深空探測(cè)、空間碎片移除和系繩輔助航天器再入等方面應(yīng)用廣泛，成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[1].目前對(duì)繩系系統(tǒng)的研究大多集中在特定軌道下繩系系統(tǒng)的構(gòu)型穩(wěn)定及抖振抑制問(wèn)題，很少涉及繩系系統(tǒng)的軌道機(jī)動(dòng)問(wèn)題，然而隨著技術(shù)及工程應(yīng)用研究的不斷深入，利用繩系遠(yuǎn)程交會(huì)、在軌操控等問(wèn)題都必須考慮繩系系統(tǒng)機(jī)動(dòng)問(wèn)題，繩系組合體拖曳離軌問(wèn)題也逐漸成為研究人員的研究熱點(diǎn)[2-10].

針對(duì)繩系系統(tǒng)離軌的策略問(wèn)題，Liu等[2-4]針對(duì)大型空間碎片提出了由加速、平衡、旋轉(zhuǎn)和返回構(gòu)成的4個(gè)階段繩系拖曳離軌方案.王道吉[5]指出靜止軌道高度上繩系組合體離軌拖曳過(guò)程中轉(zhuǎn)移段單純采用重力梯度策略無(wú)法保證離軌拖曳過(guò)程的安全，進(jìn)而研究了開關(guān)推力器拖曳離軌策略和組合電拖進(jìn)策略，通過(guò)能量分析發(fā)現(xiàn)這兩種策略存在很大的優(yōu)化空間.Lee等[6]提出了輸入成形推力機(jī)動(dòng)策略，能有助于繩系系統(tǒng)達(dá)到僅受重力梯度影響的平穩(wěn)振動(dòng)狀態(tài)并減少了兩星碰撞的可能性.但這些研究都只是定性地研究出離軌方案，并沒(méi)有點(diǎn)出離軌過(guò)程中系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其平衡點(diǎn)等問(wèn)題.

孫亮等[7-8]進(jìn)一步對(duì)繩系系統(tǒng)離軌系統(tǒng)穩(wěn)定和控制性能進(jìn)行研究，提出了非開普勒軌道下的繩系系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)模型的平衡點(diǎn)及各工況下的系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究，同時(shí)采用分層滑模的控制方法使繩系系統(tǒng)在軌道機(jī)動(dòng)過(guò)程中構(gòu)型穩(wěn)定.Liu等[10]進(jìn)一步提出了高階滑?？刂破鞑⒀芯苛讼到y(tǒng)狀態(tài)的邊界條件.然而繩系系統(tǒng)控制輸入為系繩張力，存在張力需大于零的控制約束，在系統(tǒng)初值改變情況下很容易不滿足控制約束.

本文基于孫亮等[7-8]提出的動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)了分層迭代非線性滑?？刂品椒?，并詳細(xì)證明控制方法的穩(wěn)定性，在設(shè)計(jì)迭代過(guò)程中，對(duì)系統(tǒng)各個(gè)信號(hào)約束限幅，從而改善控制過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性.

1 動(dòng)力學(xué)模型

拖曳離軌繩系系統(tǒng)，由任務(wù)星、目標(biāo)星以及連接兩星之間的系繩組成，可用啞鈴模型來(lái)描述，如圖1所示.

圖1 軌道系與系統(tǒng)姿態(tài)關(guān)系圖Fig.1 Orbital and attitude coordinate system

任務(wù)星質(zhì)量為M，目標(biāo)星質(zhì)量為m，任務(wù)星和目標(biāo)星之間的繩長(zhǎng)為lT，則系統(tǒng)質(zhì)心到目標(biāo)星間的繩長(zhǎng)l=lTM/(M+m)，任務(wù)星在推力大小F的作用牽引非合作目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，繩系系統(tǒng)質(zhì)心O的升交點(diǎn)赤經(jīng)、軌道傾角及軌道幅角分別為Ω、i和u.并作出如下假設(shè)：
假設(shè)1.假設(shè)任務(wù)星和目標(biāo)星為剛體，并將任務(wù)星和目標(biāo)星均視為質(zhì)點(diǎn)，暫時(shí)不考慮非球形引力、氣動(dòng)力和太陽(yáng)光壓等攝動(dòng)力的影響;
假設(shè)2.系繩張力大于零時(shí)系繩可視為無(wú)拉伸、無(wú)壓縮和無(wú)彎曲變形的理想直桿，不考慮其質(zhì)量和阻尼特性，且直桿長(zhǎng)度可變[9].

根據(jù)歐拉-拉格朗日方程可以得出繩系系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

(2)

(3)

其中，T為系繩張力大小，r為軌道矢徑大小，l為系繩繩長(zhǎng)長(zhǎng)度，θ，φ分別為系統(tǒng)面內(nèi)外擺角，L為軌道坐標(biāo)系到地心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，S為星體在赤道慣性坐標(biāo)系下的位置向量，所涉及的參量都由質(zhì)心軌道運(yùn)動(dòng)所決定，矩陣L和向量S同文獻(xiàn)[7]中給出，μ為地球引力常數(shù).

施加在任務(wù)星上的推力加速度與系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)有關(guān)，且推力方向可調(diào)節(jié). 在任務(wù)星的牽引下，繩系系統(tǒng)質(zhì)心受到的推力加速度大小f=F/(M+m)，其分量如圖2所示.徑向分量fr沿矢徑方向，如圖方向?yàn)檎粰M向分量fu在軌道平面內(nèi)垂直于矢徑，沿軌道幅角u增大的方向?yàn)檎?，副法向分量fh垂直于軌道平面，沿軌道面正方向，本文重點(diǎn)研究面內(nèi)擺角抑制，即假設(shè)副法向分量fh已使面外擺角穩(wěn)定.

圖2 加速度各分量的描述圖Fig.2 The components of trust acceleration

2 分層迭代非線性滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

繩系系統(tǒng)面內(nèi)擺角屬于典型的欠驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng).令l=(1+εl)lc,θ=θc+εθ，lc為固定的期望繩長(zhǎng)，θc為期望的面內(nèi)擺角，l,θ為實(shí)際的繩長(zhǎng)和面內(nèi)擺角，則可將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)寫成如下控制模型[7]：

(4)

其中，

3μr-3cos2(θc+x3)-μr-3]-

3μr-3sin(θc+x3)cos(θc+x3)-

x1∈[lmin-l0,lmax-l0]，l0,lmin,lmax分別為系繩原長(zhǎng)，系繩最小長(zhǎng)度及系繩最大長(zhǎng)度，U為系繩張力.

繩系系統(tǒng)軌道機(jī)動(dòng)過(guò)程中面內(nèi)外擺角的期望值如下[7]:

(5)

將系統(tǒng)(4)拆分成兩個(gè)子系統(tǒng)考慮

(6)

(7)

設(shè)計(jì)非線性滑模面如下:

(8)

(9)

其中，ci>0(i=1,2,3,4).

圖3 非線性函數(shù)雙曲正切曲線特性Fig.3 Curve characteristic of hyperbolic tangent function

(10)

結(jié)合式(6)、(8)和(10)，則控制律為

(11)

(12)

其中，假設(shè)Ueq1與Ueq2中的bi≠0(i=1,2)，定義滑模面

s=cstanh(ασ2+βσ4)

(13)

其中，α,β>0.定義Lyapunov函數(shù)

(14)

則其導(dǎo)數(shù)為

(15)

設(shè)計(jì)控制律

U=Ueq1+Ueq2+Usw

(16)

結(jié)合式(8)、(9)、(11)、(12)、(15)、(16)有

(17)

則可設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換控制律

(18)

其中，λ,η>0.將(18)代入(17)有

(19)

即滑模面(13)漸近穩(wěn)定，則實(shí)際分層迭代非線性滑?？刂坡捎?/p>

U=Ueq1+Ueq2+Usw

(20)

(21)

定理1.考慮單輸入多輸出系統(tǒng)(4)，設(shè)計(jì)如(13)滑模面，選取如(21)控制律，同時(shí)所涉及的控制參數(shù)均選取大于零常數(shù)，則系統(tǒng)(4)中所有狀態(tài)都是漸近穩(wěn)定的.

證明.

定義如下變量和Lyapunov函數(shù)

s1=ασ2+βσ4

(22)

(23)

則在控制律(21)下Lyapunov函數(shù)V1的導(dǎo)數(shù)為

=-λcss1tanh(s1)-ηs1tanh(cstanh(s1))≤0

(24)

即變量s1和Lyapunov函數(shù)V1皆漸近穩(wěn)定，則有

(25)

結(jié)合式(24)、(25)及雙曲正切函數(shù)特性可知

(26)

進(jìn)一步有

(27)

(28)

(29)

結(jié)合式(26)、(29)可得

(30)

根據(jù)連續(xù)變量s1的漸近穩(wěn)定性，進(jìn)一步有

(31)

由于參數(shù)α,β為定常數(shù)不影響變量s1穩(wěn)定性，則可以構(gòu)建如下兩個(gè)不同定常參數(shù)組成的連續(xù)變量s1

s1,1=α1σ2+βσ4

(32)

s1,2=α2σ2+βσ4

(33)

其中，α1≠α2.不妨假設(shè)

(34)

則

(35)

進(jìn)一步可得

(36)

式(36)可改寫為

(37)

(38)

即σ2∈L2，同時(shí)

(39)

(40)

即滑模面σ2是漸近穩(wěn)定的，同理滑模面σ4也是漸近穩(wěn)定的.根據(jù)滑模面設(shè)計(jì)過(guò)程(8)、(9)和雙曲正切函數(shù)特性可知，當(dāng)滑模面σ2和σ4漸近穩(wěn)定時(shí)，有

(41)

即所有狀態(tài)量也同樣是漸近穩(wěn)定的.

3 仿真結(jié)果

繩系系統(tǒng)的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)不會(huì)激發(fā)面外運(yùn)動(dòng)，為了分析本文提出的面內(nèi)擺角控制方法的有效性，本節(jié)對(duì)分層迭代非線性滑模控制方法和傳統(tǒng)控制方法進(jìn)行比較[7].

仿真初始軌道為圓軌道，半徑為7 000 km，推力加速度的橫向分量和徑向分量如下：

fu=afsin(ωft),fr=afcos(ωft)

其中，af=0.01 m/s2，ωf=π/3 500.系繩長(zhǎng)度l=20 m，面內(nèi)外擺角為θ=10°,φ=1°.期望的狀態(tài)為系繩繩長(zhǎng)lc=20 m，面內(nèi)擺角θc=-ωft，面外擺角φc=0°.控制參數(shù)為c1=c2=0.005,c3=c4=0.000 5,α=β=1,λ=0.1,η=0.01,cs=1.仿真采樣時(shí)間為100 ms，仿真結(jié)果如圖4～9所示.

從仿真結(jié)果可知，在軌道機(jī)動(dòng)過(guò)程中，采用分層迭代非線性滑?？刂瓶墒估K系系統(tǒng)穩(wěn)定.從圖4～5可得，采用的分層迭代非線性滑?？刂品椒▽?duì)面外擺角控制幾乎沒(méi)有影響.與傳統(tǒng)分層滑?？刂芠12]和反步分層滑模控制[13]的對(duì)比如圖6～8所示. 從圖6 可以看出，本文提出的分層迭代非線性滑?？刂萍皞鹘y(tǒng)分層滑模控制和反步分層滑?？刂贫伎梢栽?0 min左右將面內(nèi)擺角穩(wěn)定在期望值.從圖7可以看出，分層迭代非線性滑?？刂戚^反步分層滑?？刂婆c傳統(tǒng)的分層滑?？刂朴休^小的振蕩幅值.反步分層滑模控制在控制初始控制律很大且過(guò)零點(diǎn)，傳統(tǒng)的分層滑模初始振蕩幅值為3.7 N，而分層迭代非線性滑?？刂破淇刂瞥跏颊袷幏岛苄?，僅為1.5 N.反步分層滑模控制由于在每個(gè)子系統(tǒng)反步設(shè)計(jì)過(guò)程中引入了子系統(tǒng)期望狀態(tài)的反步跟蹤過(guò)程，引入了反步跟蹤誤差，而繩系系統(tǒng)控制律的權(quán)值b1量值較小，反步過(guò)程中子系統(tǒng)的誤差很容易造成大的控制輸出，則反步分層滑模并不適用于系繩張力有較嚴(yán)格約束的繩系系統(tǒng).同時(shí)傳統(tǒng)分層滑?？刂朴捎趲в蟹?hào)函數(shù)，在穩(wěn)定后控制律引入高頻抖振現(xiàn)象.本文構(gòu)造的分層迭代非線性滑?？刂?，采用雙曲正切tanh(·)函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)后，系統(tǒng)穩(wěn)定后控制律平滑沒(méi)有抖振現(xiàn)象.

圖4 面外擺角Fig.4 Out-of-plane angle φ

圖5 推力的副法向分量Fig.5 Thebinormal component of thrust acceleration fh

圖6 面內(nèi)擺角Fig.6 In-plane angle θ

從圖8系繩繩長(zhǎng)可以看出，反步分層滑模控制和傳統(tǒng)分層滑?？刂圃谙到y(tǒng)穩(wěn)定后，系繩繩長(zhǎng)還存在低幅低頻振蕩的現(xiàn)象，而相比之下分層迭代非線性滑?？刂频南道K繩長(zhǎng)穩(wěn)定后保持在20 m的期望值，控制效果更好.從圖9可以看出，分層迭代非線性滑?？刂扑O(shè)計(jì)的滑模面都隨時(shí)間趨于穩(wěn)定，與證明結(jié)果相符.

圖7 系繩張力Fig.7 Tether tension T

圖8 系繩繩長(zhǎng)Fig.8 Tether length l

圖9 分層迭代非線性滑?？刂品椒ɑＣ鍲ig.9 The sliding surface of hierarchical iteration nonlinear sliding mode control

4 結(jié) 論

本文在傳統(tǒng)滑?？刂品椒ǖ幕A(chǔ)上，提出了分層迭代非線性滑?？刂品椒ú⒆C明其穩(wěn)定性.通過(guò)數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性.數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明分層迭代非線性滑模相比于傳統(tǒng)分層滑模控制和反步分層滑?？刂疲刂七^(guò)程平緩且穩(wěn)定效果更好.

[1] COSMO M L,LORENZINI E C. Tethers in space handbook[M]. Washington D.C: National Aeronautics and Space Administration, 1997.

[2] 劉海濤, 楊樂(lè)平, 張青斌, 等. 地球靜止軌道廢棄衛(wèi)星繩系拖曳離軌研究[J]. 中國(guó)科學(xué): 技術(shù)科學(xué), 2012, 42(7): 780-787. LIU H T, YANG L P, ZHANG Q B, et al. An investigation on tether-tugging de-orbit of defunct geostationary satellites[J]. Scientia Cinica Technology, 2012,42(7): 780-787.

[3] LIU H T, ZHANG Q B, YANG L P, et al.Dynamics of tether-tugging reorbiting with net capture[J]. Science China Technological Sciences,2014, 57(12): 2407-2417.

[4] 劉海濤, 張青斌, 楊樂(lè)平,等.繩系拖曳離軌過(guò)程中的擺動(dòng)抑制策略[J]. 國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào),2014,36(6): 164-170. LIU H T,ZHANG Q B,YANG LP,et al.Oscillation suppression strategy during tether-tugging reorbiting[J].Journal of National University of Defense Technology, 2014, 36(6): 164-170.

[5] 王道吉.空間繩網(wǎng)展開與離軌拖曳動(dòng)力學(xué)研究[D].長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué), 2012. WANG D J. Dynamics research of expand and tug de-orbit for space rope-net system[D].Changsha: National University of Defense Technology, 2012.

[6] JASPER L, SCHAUB H. Input shaped large thrust maneuver with a tethered debris object[J]. Acta Astronautica, 2014, 96: 128-137.

[7] 孫亮, 趙國(guó)偉, 黃海,等.面內(nèi)軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中的繩系系統(tǒng)擺振特性研究[J].航空學(xué)報(bào),2012,33(7): 1245-1254. SUN L, ZHAO G W, HUANG H, et al. Analysis oflibrational and vibrational characteristics for tethered systems during orbital transfer in plane[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2012, 33(7): 1245-1254.

[8] ZHAO G, SUN L, HUANG H. Thrust control of tethered satellite with a short constant tether in orbital maneuvering[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering, 2014: 0954410014521151.

[9] CARTMELL M P, MCKENZIE D J. A review of space tether research[J]. Progress in Aerospace Sciences, 2008, 44(1): 1-21.

[10] LIU H L, HE Y Z, TAN S P, et al.Quasi-continuous high-order sliding mode based controller for tethered satellite with chemical propulsion[C]//2015 IEEE International Conference on Information and Automation. New York: IEEE, 2015: 2197-2202.

[11] 閔穎穎, 劉允剛. Barbalat 引理及其在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào): 工學(xué)版, 2007, 37(1): 51-55. MIN Y Y, LIU Y G. Barbalat Lemma and its application in analysis of system stability[J]. Journal of Shandong University(Engineering Science), 2007, 37(1): 51-55.

[12] WANG W, LIU X D, YI J Q. Structure design of two types of sliding-mode controllers for a class of under-actuated mechanical systems[J]. IET Control Theory Application, 2007,1(1):163-712.

[13] 林壯, 段廣仁, 宋申民. 水平欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的反步自適應(yīng)滑?？刂芠J]. 機(jī)器人, 2009, 31(2): 131-136. LIN Z, DUAN G R, SONG S M.Baekstepping adaptive sliding mode vontrol for horizontal underactuated manipulators[J]. Robot, 2009, 31(2): 131-136.

Librational Controller Design for a Tethered SatelliteSystem during Orbital Maneuvering

XUE Chao1, TAN Shuping1,2, LIU Helong1

(1.BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100090，China; 2.ScienceandTechnologyonSpaceIntelligentControlLaboratory,Beijing100190，China)

A controller is designed to restrain the in-plane libration of a tethered satellite system (TSS). To stabilize the in-plane subsystem of TSS, a hierarchical iterative nonlinear sliding mode control is proposed. The stability of the closed-loop system is also proved. The validity of the proposed algorithm is demonstrated by numerical simulation results. Moreover, the advantages of the algorithm are presented via comparing with the traditional hierarchical sliding mode control.

tethered satellite system; sliding mode control; orbital maneuvering

資助項(xiàng)目(61304037). 收稿日期：2017-01-29

V448

A

1674-1579(2017)02-0021-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.02.004

薛 超(1993—), 男，碩士研究生，研究方向?yàn)楹教炱骺刂?；談樹?1978—)，女，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)控制理論及工程；劉賀龍(1988—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)榭臻g操作技術(shù).