張倩華，林上為

(山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006)

廣義超立方體的廣義連通度

張倩華，林上為

(山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006)

k元n方體是著名的超立方體網(wǎng)絡(luò)的推廣。針對k元n方體的廣義3-連通度問題，證明了對任意的整數(shù)k≥3和n≥1，k元n方體中存在2n-1棵內(nèi)部不交的連接任意3個頂點的樹。

超立方體；連通度；可靠性；樹；路

0 引言

連通度是圖論的核心內(nèi)容之一，廣義連通度作為連通度的一個推廣，被廣泛運用于互連網(wǎng)絡(luò)中，可用來測量網(wǎng)絡(luò)的可靠性。近年來，很多圖的廣義連通度已經(jīng)得到研究[7-8]。然而，k元n方體的廣義連通度研究較少。本文將在k≥3的條件下，確定k元n方體的廣義3-連通度。

1 預備知識

V={x1x2…xn:xi∈{0,1,2,…,k-1},i=1,2,…,n}。

定義2[9]給定一個圖G和G的頂點子集X，若G-X不連通或平凡，則稱X為G的一個頂點割。G的連通度κ(G)是G中最小頂點割的頂點個數(shù)。

熟知連通度有如下的等價定義：

定義3[9]對V(G)的每個2元子集S={x,y}，用κ(S)表示G中內(nèi)部不交的(x,y)-路的最大數(shù)目。圖G的連通度κ(G)=min{κ(S):S是V(G)的一個2元子集}。

連通的無圈圖稱為樹，路是特殊的樹。

注意，κ2(G)=κ(G)，因此，廣義連通度是連通度的一個推廣。而κn(G)恰恰就是G中邊不相交的生成樹的最大數(shù)目。廣義連通度不僅是一個自然的組合度量，而且它在實際應(yīng)用中也可以激發(fā)人們的興趣。近年來，圖的廣義連通度已經(jīng)得到很多研究[9-10]。

定理2[10]n維超立方體Qn的廣義3-連通度為n-1，即κ3(Qn)=n-1。

下面的兩個引理將在主要結(jié)論的證明中用到。

引理1[9]給定圖G和G中的一個頂點x。若κ(G)=k，則對G中任意k個頂點y1,y2,…,yk，G都含(x,y1)-路P1，(x,y2)-路P2，…，(x,yk)-路Pk，使得對所有的i≠j有V(Pi)∩V(Pj)={x}。

2 主要定理及其證明

情形1 x,y,z∈V0。

情形2 x,y∈V0,z∈Vp，其中p∈{1,2,…,k-1}。

情形3x∈V0,y∈Vp,z∈Vq，其中p,q∈{1,2,…,k-1}且p≠q。

情形3.1k≥4。

情形3.2k=3。

當n=2時，2n-1=3，3棵內(nèi)部不交的S-樹分別為：T1=(00,01,11,21,22),T2=(00,02,12,22)+(12,11),T3=(00,10,20,22)+(10,11)。

3 結(jié)束語

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國家自然科學基金項目(61202017);中國博士后基金項目(2012M510579)

張倩華(1992- ),女，山西長治人，碩士生;林上為(1981-),男,浙江溫州人,副教授,博士，碩士生導師,主要研究方向為圖論及其應(yīng)用.

2016-08-12

1672-6871(2017)04-0090-04

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.04.018

O157.5

A