夏付兵,韓修靜,瞿 汭,畢勤勝

(江蘇大學 土木工程與力學學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

頻域兩尺度簇發(fā)振蕩結構及其動力學機制

夏付兵,韓修靜,瞿 汭,畢勤勝

(江蘇大學 土木工程與力學學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

以非自治杜芬-范德波爾振子為例，探討了當外激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率之間存在量級差異，也即存在頻域不同尺度時的快慢耦合效應。通過固定低頻激勵項，分析了快子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔行為，得到了對應的兩參數(shù)分岔集。將分岔集劃分為5個區(qū)域，并分析了與各區(qū)域相關的簇發(fā)振蕩模式。揭示了對稱式折/折和對稱式亞臨界Hopf/亞臨界Hopf等點-點式簇發(fā)的行為，以及對稱式亞臨界Hopf/極限環(huán)折和對稱式延遲超臨界Hopf /延遲超臨界Hopf等點-圈式簇發(fā)的行為。研究結果表明：快子系統(tǒng)的多解和多分岔共存是誘發(fā)各種對稱式簇發(fā)振蕩模式的重要原因。

兩時間尺度；點-點式簇發(fā)；點-圈式簇發(fā)；分岔機理

0 引言

多時間尺度問題在物理、化學、生物以及工程技術等領域普遍存在[1-4]。大阻尼條件下的范德波爾振子是典型的兩時間尺度非線性系統(tǒng)，由快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)耦合而成，含有“快”、“慢”兩種不同的時間尺度，而著名的范德波爾型“張弛振動”正是快、慢子系統(tǒng)之間相互作用的產(chǎn)物。這種類似的快慢耦合現(xiàn)象存在很多領域內(nèi)。例如，在化學反應中，當各反應物的反應速率存在著明顯的量級上的差異時，整個反應過程會呈現(xiàn)出快慢耦合的振蕩模式[5]；而當各反應物的濃度存在著量級上的差異時，往往也會導致類似的振蕩模式[6]。特別地，在生物神經(jīng)系統(tǒng)中，神經(jīng)元的簇放電活動表現(xiàn)為重復放電態(tài)與靜息態(tài)的交替出現(xiàn)，這是一個典型的多時間尺度非線性現(xiàn)象[7]。

長期以來，如何分析不同時間尺度之間的相互作用，進而揭示不同時間尺度的耦合振動現(xiàn)象的本質(zhì)，一直是學者們關注的重要問題。直到文獻[8]提出快慢分析法，該問題才有了較為圓滿的解答?？炻治龇槎鄷r間尺度耦合效應的定性解釋提供了重要的理論框架，其基本思想是將多時間尺度系統(tǒng)進行“解剖”，即先確認多時間尺度系統(tǒng)的快、慢子系統(tǒng)；然后將快、慢子系統(tǒng)分開討論；進而用分岔理論揭示系統(tǒng)在具有大振幅特征的激發(fā)態(tài)和具有小振幅特征的沉寂態(tài)之間相互轉(zhuǎn)遷的動力學機制。文獻[9]將快慢分析法應用于簇發(fā)的分類，以此拓展了系統(tǒng)在激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)之間轉(zhuǎn)遷的各種可能的誘發(fā)機制?；谖墨I[8]的快慢分析法和文獻[9]的簇發(fā)分類，國內(nèi)外學者采用試驗、理論/數(shù)值分析或?qū)⒃囼炁c理論/數(shù)值分析相結合的方法[10-12]，對各種快慢耦合系統(tǒng)進行了深入研究。

然而到目前為止，大部分的研究工作主要針對自治系統(tǒng)。對于非自治系統(tǒng)而言，其快慢耦合的分岔機制較為復雜，需進一步探討。基于此，本文以一類含有低頻外激勵項的非自治系統(tǒng)[13]為例，探討由于低頻外激勵的存在而誘發(fā)的頻域兩尺度耦合效應，揭示復雜動力學行為及其產(chǎn)生機制，尤其是各種可能的頻域兩尺度簇發(fā)振蕩模式及其產(chǎn)生機制，并對各種簇發(fā)振蕩模式進行分類。

1 分岔分析

考慮杜芬-范德波爾系統(tǒng)，其動力學演化方程[13]為：

(1)

其中：p,α,β=O(1)為實參數(shù)；γcos(ωt)為低頻激勵項。由于激勵項的頻率遠小于系統(tǒng)的固有頻率，系統(tǒng)(1)包含了高、低兩頻域尺度，分別對應系統(tǒng)的快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)。通過固定低頻激勵項，可得到如下快子系統(tǒng)：

(2)

其中：d為控制參數(shù),d=γcos(ωt)。慢子系統(tǒng)(慢變量)由低頻外激勵γcos(ωt)決定。

根據(jù)快慢分析法，快子系統(tǒng)(2)的動力學行為對快慢耦合振動行為具有重要的影響。因此，本部分探討快子系統(tǒng)(2)關于控制參數(shù)d的穩(wěn)定性和分岔行為。

顯然，快子系統(tǒng)的平衡點可以表示為(x0,0)，其中，x0由方程

(3)

的實根決定。方程(3)的根判別式為Δ=d2/4β2+α3/27β3。

27βd2+4α3=0

(4)

時，方程(3)有2個不等的實根。此時，快子系統(tǒng)發(fā)生了折分岔。

圖1 快子系統(tǒng)(2)在(d,α)參數(shù)平面上的分岔集， 取實參數(shù)p=-1.0， β=1.0

圖1為快子系統(tǒng)(2)在(d,α)參數(shù)平面上的分岔集，取實參數(shù)p=-1.0，β=1.0。如圖1所示，LP1和LP2是由式(4)決定的兩條折分岔曲線，他們相切于余維2cusp點，CP=(0,0)。這兩條折分岔曲線和直線α=-4.0圍成了一個含有平衡點E0和E±的“三角形”區(qū)域。當參數(shù)從該區(qū)域內(nèi)穿越LP1(LP2)時，平衡點E0和E+(E-)碰撞消失。因此，LP1的左側區(qū)域只有一個平衡點E-，而LP2的右側區(qū)域只有一個平衡點E+。

當判別式Δ>0，即當27d2+4α3/β>0時，系統(tǒng)僅有一個平衡點E0。特別地，當α,β同號時，判別式Δ>0恒成立。圖1中的β=1.0，因此，在圖1中α>0區(qū)域內(nèi)，快子系統(tǒng)只含有一個平衡點E0。

d=±(α+β), α>0

(5)

時，與E0相對應的特征方程具有一對純虛特征根。因此，此時平衡點E0可能會發(fā)生Hopf分岔。采用類似的分析方法，可得平衡點E±的Hopf分岔條件：

d=±(α+β), -3<α<0。

(6)

為了進一步揭示快子系統(tǒng)的分岔行為，圖1給出了p=-1.0，β=1.0時的快子系統(tǒng)在(d,α)參數(shù)平面上的分岔集。圖1中：BT1、BT2是余維2Bogdanov-Takens分岔，其坐標是(dBT1,αBT1)=(-2.0,-3.0)，(dBT2,αBT2)=(2.0,-3.0)；GH1、GH2是余維2廣義Hopf分岔點，其坐標是(dGH1,αGH1)=(-4.0,3.0)，(dGH2,αGH2)=(4.0,3.0)；supH1、supH2是平衡點E0的超臨界Hopf分岔曲線。α=0上的A、B、C、D這4個點將亞臨界Hopf分岔曲線及LPC曲線分為上下兩部分：曲線上半部分中subH11和subH21是平衡點E0的亞臨界Hopf分岔曲線，LPC11(LPC21)是由subH11(subH21)所產(chǎn)生的不穩(wěn)定極限環(huán)的鞍結分岔；曲線下半部分中subH12和subH22分別是平衡點E-和E+的亞臨界Hopf分岔曲線，LPC12(LPC22)表示由subH12 (subH22)所產(chǎn)生的不穩(wěn)定極限環(huán)的鞍結分岔；E=(0,-1.3)是LPC曲線下端的最低點。

基于基本的分岔理論，同時考慮到圖1所示的快子系統(tǒng)的分岔特性，可將參數(shù)平面(d,α)劃分為5個不同的參數(shù)區(qū)域(見圖1中I～V)。由于這5個區(qū)域?qū)熳酉到y(tǒng)不同的動力學行為，因此，當α屬于不同的參數(shù)區(qū)域時，系統(tǒng)(1)可能會產(chǎn)生不同的簇發(fā)振蕩模式。

2 點-點式簇發(fā)

通常情況下，簇發(fā)因系統(tǒng)在不同的吸引子之間相互轉(zhuǎn)遷而形成，故根據(jù)吸引子的類型可將簇發(fā)分為點-點式、點-圈式和圈-圈式等幾大類。本節(jié)探討點-點式簇發(fā)振蕩模式，這類簇發(fā)由軌線在不同的平衡點吸引子之間相互轉(zhuǎn)遷而形成。為了便于分析，從本節(jié)開始，固定參數(shù)p=-1.0，β=1.0。

2.1 對稱式“折/折”簇發(fā)

當α=-3.2,γcos(ωt)=2.3cos(0.01t)時，圖2a給出了α屬于區(qū)域Ⅰ時系統(tǒng)(1)的典型簇發(fā)振蕩模式。根據(jù)快慢分析法，圖2b給出了此時快子系統(tǒng)關于慢變量d的穩(wěn)定性和分岔行為。圖2b中，粗實線和虛線分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的平衡點，構成了一條具有兩個折分岔點的S形平衡點曲線。為了進一步分析簇發(fā)的動力學機制，將分岔圖與簇發(fā)的轉(zhuǎn)換相圖[15]進行疊加，如圖2b所示。

由于折分岔值dLP2=2.2，因此當振幅γ>2.2時(例如取γ=2.3)，慢變量γcos(ωt)能夠穿越折分岔點。隨后，折分岔引起系統(tǒng)的軌線在上、下穩(wěn)定支之間來回跳躍(見圖2b中細實線)，由此形成了點-點式簇發(fā)(見圖2a)?？紤]到軌線的“跳躍”由兩個折分岔加以調(diào)控及其對稱性，因此，這種簇發(fā)可以命名為對稱式“折/折”簇發(fā)。且當α=-3.2時，參數(shù)α屬于區(qū)域Ⅰ，而區(qū)域Ⅰ中只有兩條折分岔曲線。因此，圖2b給出的是區(qū)域Ⅰ中典型的穩(wěn)定性和分岔行為。故而，基于此所得的簇發(fā)行為(見圖2a)是區(qū)域Ⅰ內(nèi)簇發(fā)振蕩模式的典型代表。

圖2α屬于區(qū)域Ⅰ時系統(tǒng)(1)的簇發(fā)振蕩模式

2.2 對稱式“亞臨界Hopf/亞臨界Hopf”簇發(fā)

當α=-1.5,γcos (ωt)=0.7cos (0.01t)時，參數(shù)α屬于區(qū)域Ⅱ。圖3a給出了區(qū)域Ⅱ內(nèi)典型的分岔圖，其中粗實線和虛線的含義同圖2b。如圖3a所示，S形平衡點曲線被兩個折分岔點分為上、中、下3支，其中上、下穩(wěn)定支因亞臨界Hopf分岔而失穩(wěn)，分岔值分別為dsubH12=-0.5和dsubH22=0.5。因此，當振幅γ>0.5(例如γ=0.7)時，慢變量可穿越亞臨界Hopf分岔點，而這會進一步引起系統(tǒng)在上、下平衡點穩(wěn)定支之間的來回轉(zhuǎn)遷(見圖3a中細實線)。于是，一種不同于圖2a的簇發(fā)振蕩模式產(chǎn)生，考慮到軌線的轉(zhuǎn)遷由亞臨界Hopf分岔(而不是折分岔)加以調(diào)控，因此，這種簇發(fā)可以命名為對稱式“亞臨界Hopf/亞臨界Hopf”簇發(fā)，圖3b所得到的簇發(fā)行為是區(qū)域Ⅱ內(nèi)典型的簇發(fā)振蕩模式。

點-點式簇發(fā)是一大類較為簡單的簇發(fā)振蕩模式。類似的簇發(fā)現(xiàn)象在文獻[16-18]中均有報道。這類簇發(fā)有一個共性，即簇發(fā)所呈現(xiàn)出的連續(xù)尖峰振蕩與軌線向平衡點吸引子收斂的速率有關，而與穩(wěn)定的極限環(huán)無關(事實上，多數(shù)情況下快子系統(tǒng)并不存在極限環(huán)吸引子，例如圖2b和圖3a)。

圖3α屬于區(qū)域Ⅱ時的簇發(fā)振蕩模式

3 點-圈式簇發(fā)

本節(jié)探討軌線在平衡點和極限環(huán)之間相互轉(zhuǎn)遷而誘發(fā)的簇發(fā)振蕩模式，即點-圈式簇發(fā)。這類簇發(fā)振蕩模式中的參數(shù)α與區(qū)域Ⅲ～Ⅴ有關。

3.1 對稱式“亞臨界Hopf/極限環(huán)折”簇發(fā)

探討參數(shù)α屬于區(qū)域Ⅲ時的簇發(fā)振蕩模式如圖4所示。該區(qū)域分岔圖與簇發(fā)的轉(zhuǎn)換相圖的疊加見圖4a。在圖4a中，當d=?0.5時，S形平衡點曲線的上、下穩(wěn)定支因亞臨界Hopf分岔而失穩(wěn)，同時生成了一個不穩(wěn)定的極限環(huán)。當d=?0.5時，該不穩(wěn)定的極限環(huán)與穩(wěn)定的極限環(huán)在圖4a分岔點LPC12、LPC22(對應圖1中標注，下同)處碰撞、消失，即發(fā)生了極限環(huán)的折分岔。圖4b給出了區(qū)域Ⅲ內(nèi)典型的簇發(fā)振蕩模式。

圖4 α屬于區(qū)域Ⅲ時的簇發(fā)振蕩模式

在圖4a中LPC12分岔的左側，E-是系統(tǒng)唯一的吸引子，因此當慢變量遞減地穿越LPC12時，系統(tǒng)的軌線向E-轉(zhuǎn)遷。當慢變量穿越subH12時，E-失穩(wěn)。于是，軌線離開E-，向激發(fā)態(tài)LC轉(zhuǎn)遷。隨后，在時間序列中可以觀測到與LC相關的連續(xù)的尖峰。當慢變量穿越LPC22時，LC消失，連續(xù)的尖峰因此而終止。于是，軌線又向E+轉(zhuǎn)遷，并由此開始了簇發(fā)的下一個演化過程。

考慮到系統(tǒng)因亞臨界Hopf分岔從沉寂態(tài)轉(zhuǎn)遷到激發(fā)態(tài)，隨后又因極限環(huán)的折分岔返回沉寂態(tài)，同時注意到簇發(fā)的對稱性，因此區(qū)域Ⅲ中的簇發(fā)振蕩模式可以命名為對稱式“亞臨界Hopf/極限環(huán)折”簇發(fā)。

α屬于區(qū)域Ⅳ時的簇發(fā)振蕩模式，如圖5所示。圖5a給出了區(qū)域Ⅳ中典型的單參數(shù)分岔圖。與區(qū)域Ⅲ相比，區(qū)域Ⅳ缺少了兩條折分岔曲線。因此，當參數(shù)α從區(qū)域Ⅲ進入?yún)^(qū)域Ⅳ時，原先的具有兩個折分岔點的S形平衡點曲線會被慢慢“拉直”，演變?yōu)閳D5a所示的較為平滑的平衡點曲線。

圖5 α屬于區(qū)域Ⅳ時的簇發(fā)振蕩模式

然而，區(qū)域Ⅳ中平衡點曲線的這些變化并不會引起簇發(fā)行為的定性變化。其原因為：平衡點的折分岔在對稱式“亞臨界Hopf/折極限環(huán)”簇發(fā)的產(chǎn)生過程中沒有起到任何作用；區(qū)域Ⅳ中的沉寂態(tài)、激發(fā)態(tài)以及連接它們的分岔模式均沒有改變。因此，當α屬于區(qū)域Ⅳ時，系統(tǒng)只能產(chǎn)生與區(qū)域Ⅲ動力學機理相同的簇發(fā)振蕩模式，即對稱式“亞臨界Hopf/極限環(huán)折”簇發(fā)，見圖5b。

3.2 對稱式“延遲超臨界Hopf /延遲超臨界Hopf”簇發(fā)

參數(shù)α屬于區(qū)域Ⅴ時的簇發(fā)振蕩模式如圖6所示。當α=3.5時，α屬于區(qū)域Ⅴ，圖6a給出了此時的簇發(fā)振蕩模式。為了揭示簇發(fā)的動力學機制，圖6b進一步給出了α=3.5時快子系統(tǒng)關于慢變量d的單參數(shù)分岔圖，其中,LC是因超臨界Hopf分岔(分岔值是dsupH1,2=?4.5)而產(chǎn)生的穩(wěn)定的極限環(huán)。顯然，圖6b給出的是區(qū)域Ⅴ中典型的穩(wěn)定性和分岔行為，故基于此所得到的簇發(fā)行為(見圖6a)是區(qū)域Ⅴ內(nèi)的簇發(fā)振蕩模式的典型代表。

圖6 α屬于區(qū)域Ⅴ時的簇發(fā)振蕩模式

如圖6b所示，supH1和supH2將參數(shù)d分為3個區(qū)域，即位于supH1和supH2之間的激發(fā)態(tài)區(qū)域以及在其左右兩側的沉寂態(tài)區(qū)域。顯然，這3個區(qū)域均僅含一個吸引子，因此系統(tǒng)不存在滯后現(xiàn)象。這與區(qū)域Ⅰ～區(qū)域Ⅳ的情形不同。

大量的數(shù)值模擬表明：當慢變量穿越Hopf分岔點supH1和supH2進入激發(fā)態(tài)區(qū)域時，軌線會在不穩(wěn)定的E0上逗留一段時間，由此形成了平衡點E0與極限環(huán)吸引子LC之間的滯后。隨后，軌線離開E0，向激發(fā)態(tài)LC轉(zhuǎn)遷(見圖6d)。這種現(xiàn)象即所謂的延遲Hopf分岔現(xiàn)象[19]，與慢變量穿越分岔點有關，可根據(jù)非標準分析[20]和WKB法[21]等理論加以理解。考慮到對稱性，同時注意到軌線因延遲Hopf分岔進入和退出激發(fā)態(tài)，因此，圖6c所示的簇發(fā)振蕩模式可以命名為對稱式“延遲超臨界Hopf /延遲超臨界Hopf”簇發(fā)。

4 結論

(1)與通常頻域尺度下的杜芬-范德波爾系統(tǒng)相比，頻域兩尺度下的杜芬-范德波爾系統(tǒng)可以產(chǎn)生更加復雜的動力學行為，例如多種點-點式和點-圈式簇發(fā)振蕩模式。

(2)快子系統(tǒng)呈現(xiàn)出較為豐富的穩(wěn)定性和分岔行為，由此導致沉寂態(tài)、激發(fā)態(tài)以及連接他們的分岔模式的多樣性，而這是對稱式“折/折”型、對稱式“亞臨界Hopf/亞臨界Hopf”型、對稱式“亞臨界Hopf/極限環(huán)折”型以及對稱式“延遲超臨界Hopf /延遲超臨界Hopf”型等多種簇發(fā)振蕩模式產(chǎn)生的重要原因。

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國家自然科學基金項目(11632008,11572141,11502091,11472115,11402226)

夏付兵(1990-),男,安徽安慶人,碩士生;韓修靜(1983-),男，江蘇宿遷人,副教授,博士,碩士生導師,主要研究方向為非線性動力學.

2016-09-18

1672-6871(2017)04-0084-06

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.04.017

O322

A