賴明倩,蔡光程

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500)

基于交替方向乘子的全變差圖像復(fù)原

賴明倩,蔡光程

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500)

全變差(TV)圖像復(fù)原正則化模型一般由正則項(xiàng)和保真項(xiàng)兩部分構(gòu)成。針對該模型容易形成使邊緣平滑和產(chǎn)生階梯效應(yīng)的問題，在修改正則項(xiàng)后提出了一種新的圖像復(fù)原模型。改模型利用交替方向乘子算法來優(yōu)化其求解模型，即利用輔助變量把全變差復(fù)原問題轉(zhuǎn)化為一個等價的無約束優(yōu)化問題，基于交替方向乘子迭代將無約束優(yōu)化問題分解為幾個子問題，再根據(jù)子問題的特點(diǎn)，利用閾值法對問題進(jìn)行優(yōu)化求解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的新模型能有效保護(hù)圖像邊緣并抑制階梯效應(yīng)，明顯地提高了圖像的質(zhì)量；與其他正則化圖像復(fù)原模型相比，其具有較高的信噪比，較小的相對誤差和較好的圖像恢復(fù)效果。

全變差；圖像復(fù)原；正則化；階梯效應(yīng)；交替迭代算法

1 概 述

在生活中，圖像是一種重要的信息來源，但在實(shí)際獲取圖像時會受到運(yùn)動擾動、光學(xué)模糊和各種噪聲的影響，導(dǎo)致圖像降質(zhì)出現(xiàn)退化現(xiàn)象，表現(xiàn)為圖像模糊。圖像被噪聲污染，分辨率降低，甚至圖像的某些部分缺失[1]。因此，去除圖像模糊及消除圖像中的噪聲等有非常重要的意義。

圖像復(fù)原是指通過某些方法、手段和規(guī)則從退化了的圖像恢復(fù)出原始圖像。圖像復(fù)原的主要目的是盡可能地恢復(fù)被退化圖像的本來面目，為此需要知道圖像退化的機(jī)理和過程的先驗(yàn)知識，建立相應(yīng)的退化模型，找出一種相應(yīng)的反過程，從而恢復(fù)出原圖像。

圖像受噪聲干擾的退化模型為：

g=Hf+n

(1)

其中，f為原始圖像；g為觀察圖像；n為均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲；H為模糊算子。

圖像復(fù)原是根據(jù)圖像g和算子H來恢復(fù)原始圖像f。由于圖像復(fù)原問題是不適定的，需要引入先驗(yàn)知識，將其轉(zhuǎn)換成適定問題求解，而正則化方法是解決反問題的有效方法。

圖像復(fù)原的正則化模型為：

(2)

其中，第一項(xiàng)φ(f)為正則項(xiàng)，第二項(xiàng)為數(shù)據(jù)匹配項(xiàng)，主要保證復(fù)原圖像和觀察圖像的接近程度，λ為權(quán)衡數(shù)據(jù)匹配項(xiàng)和正則化項(xiàng)之間的正則化參數(shù)。

由Tikhonov和Arsenin提出的原始模型為[2]：

(3)

利用Tikhonov正則化方法，可以得到這一原始問題的穩(wěn)定逼近。但是，由于各向同性的平滑性，這種平滑懲罰模型不能很好地保留其邊緣、稀疏圖案和紋理。于是在1992年Rudin等提出了全變差(TotalVariation)正則化模型[3]：

(4)

其中，邊界定義為Ω=(0,1)×(0,1)，表示梯度算子。

此處全變差定義為：

(5)

該模型能較好地保持圖像的邊緣，因此被廣泛應(yīng)用到圖像的復(fù)原和去噪中[4-8]。然而TV正則化方法對紋理和細(xì)節(jié)的保持效果不好，有較明顯的階梯效應(yīng)。為了抑制階梯效應(yīng)及改善紋理保持效果，高階偏微分方程和高階正則化方法逐漸為很多研究者關(guān)注。文獻(xiàn)[9]提出了基于四階PDE的圖像去噪方法，該方法能有效抑制階梯效應(yīng)，較好地保持紋理，但該模型比較復(fù)雜[10]。近些年對求解模型(4)提出了很多方法，包括定點(diǎn)迭代法[4]、原對偶牛頓算法[11]、多級優(yōu)化方法[12]、分割方法[13]和Nesterov’s方法[14]等。目前對全變差去模糊問題的主要求解思路是將該問題看作一個無約束問題來優(yōu)化求解。如WangYilun等基于變量分離法和半二次懲罰函數(shù)法提出一種快速全變差反卷積算法[6]去模糊，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該算法是有效的且有較好的復(fù)原效果[15]。

采取全范數(shù)‖f‖BV+ρ‖f‖1作為正則化項(xiàng)，由于在重建過程中有保存邊緣的能力，所以比TV-norm更優(yōu)選。那么可用以下的變化模型改寫原問題[16]：

(6)

其中，α≥0,λ≥0，K是閉的，且是L1(Ω)的凸集，X=L1(Ω)∩BV(Ω)。賦有范數(shù)‖·‖X=‖·‖L1+‖·‖BV的空間X是巴拿赫空間。

為此，依據(jù)全變差正則化，提出了一種新的模型，利用交替方向乘子迭代算法求解該模型，并與FTVd算法進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能更有效地表現(xiàn)圖像的信息，尤其是對復(fù)原圖像的信噪比有很明顯的改善。

2 ADMM方法的基本思想

考慮最小化問題：

(7)

利用Lagrange方法將上述約束問題(7)轉(zhuǎn)化為無約束問題(8)：

(8)

標(biāo)準(zhǔn)的ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)算法如下：

(9)

3 基于ADMM算法的圖像復(fù)原模型

為了利用ADMM算法進(jìn)行圖像去模糊，可將原去模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個無約束的優(yōu)化問題。將式(6)寫成如下的優(yōu)化問題：

(10)

引入輔助變量ω和z，將上式轉(zhuǎn)化為Lagrange函數(shù)：

L(f,ω,z,y,p)=‖ω‖1+yT(f-∞)+

(11)

那么式(10)求解最小化問題可以轉(zhuǎn)化為求式(11)的最小值。對式(11)采用ADMM算法求解,可得到變量f,ω,z,y,p的迭代公式(文獻(xiàn)[17]證明了該算法的收斂性)：

(12)

(1)在求解f(k+1)時，可轉(zhuǎn)化為：

(βT+λHTH+μI)f(k+1)=βTω(k)+

λHTg+μz(k)-p(k)-Ty(k)

(13)

(2)在求解ω(k+1)時，可利用閾值法(shrinkage)，有如下定義:

定義0·(0/0)=0以及

(14)

因此可得到ω(k+1)的求解公式：

ω(k+1)=S(

(15)

(3)求解z(k+1)可同樣利用上述的收縮技術(shù)，故z(k+1)的求解公式為：

(16)

變量y(k+1),p(k+1)在迭代過程中都是隨著f(k+1),ω(k+1)和z(k+1)更新的。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證該算法恢復(fù)圖像的有效性，選擇兩幅灰度圖像(見圖1)。分別以在兩種不同的高斯模糊(模糊核分別為9*9，21*21)和在兩種不同的運(yùn)動模糊(模糊核分別為21*21，41*41)情況下的圖像恢復(fù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對提出算法、FTVd算法[5]和TV模型進(jìn) 行了對比。提出算法的終止條件為‖fk+1-fk‖2/‖fk+1‖2<5×10-4。實(shí)驗(yàn)采用的計算機(jī)硬件環(huán)境為IntelCoreCPU2.20GHz，內(nèi)存4GB，軟件環(huán)境為MicrosoftWindows7，MATLABR2014a。

信噪比(ISNR)可以來衡量圖像的質(zhì)量，定義為：

(17)

ISNR的值越大，表示復(fù)原圖像越接近真實(shí)圖像，效果也越好。

圖2(a)中從左到右分別是模糊核為9*9，21*21的高斯模糊和模糊核為21*21，41*41的運(yùn)動模糊的France退化圖像(所有退化圖像還加了均值為0、方差為10-6的高斯白噪聲)，圖2(b)是與之對應(yīng)的恢復(fù)效果圖。圖2(c)和(d)是Fingerprint圖像的退化圖和恢復(fù)圖。從視覺上可以看出，復(fù)原圖像能很好地保護(hù)圖像的邊緣，在不同的模糊及不同的模糊核下都能得到較好的復(fù)原圖像。

圖2 不同模糊下的France圖像和Fingerprint圖像的復(fù)原結(jié)果

圖3 高斯模糊核為21*21的各方法復(fù)原結(jié)果

由表1～4可以看出，在各種不同的情況下，所提出的算法復(fù)原圖像的信噪比值總大于其他方法；其次所提出的算法的相對誤差值也總小于其他方法，說明所采用的方法克服了其他方法的數(shù)值不穩(wěn)定性，比其他方法恢復(fù)圖像的效果更好；最后雖然FTVd算法[5]在信噪比和相對誤差值上結(jié)果不好，但其算法的運(yùn)行時間比其他方法都短，證明了該算法的高效性。

表1 算法比較(高斯模糊核為 21*21的France圖像)

表2 算法比較(運(yùn)動模糊核為 41*41的France圖像)

表3 算法比較(高斯模糊核為 21*21的Fingerprint圖像)

表4 算法比較(運(yùn)動模糊核為 41*41的Fingerprint圖像)

5 結(jié)束語

針對全變差圖像復(fù)原問題，對正則項(xiàng)修改后提出了一種新的模型。鑒于修改后正則項(xiàng)的不可微性，通過輔助變量將其轉(zhuǎn)換成與之完全等價的無約束優(yōu)化問題，利用交替方向乘子算法將該無約束優(yōu)化問題分解成幾個子問題，針對每個子問題的特點(diǎn)用不同方法求解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出算法是有效可行的，與其他算法相比，具有較高的信噪比和較小的相對誤差，能有效保護(hù)圖像的邊緣，提高圖片質(zhì)量。

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Total Variation Image Restoration with Alternating Direction Method of Multipliers

LAI Ming-qian,CAI Guang-cheng

(Faculty of Science,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China)

Total Variation (TV) image restoration regularization model generally consists of two parts:regularization term and fidelity term.In view of the problem that the model could easily make edges smooth and produce the stair effect,a new image restoration model with modified regularization term has been proposed,which can be optimized with alternating direction multiplier algorithm to achieve its solution model.The total variation restoration problem can be transformed into an equivalent unconstrained optimization problem by utilizing auxiliary variable and then the unconstrained optimization problem can be disassemble into such several sub-problems that each sub-problem can be optimized and solved with threshold value method according to the peculiarities of the sub-problem structure.Experimental results show that this new model proposed has significantly improved the image quality since it can protect image edges and restrain staircase effect,and that compared with other regularization image restoration models,it helps achieve higher signal to noise ratio,smaller relative error and better effect of image restoration.

total variation;image restoration;regularization;stair effect;alternative and iterative algorithm

2016-06-01

2016-10-18

時間：2017-03-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461037)；昆明理工大學(xué)人才基金(2008-72)

賴明倩(1992-)，女，碩士生，研究方向?yàn)閳D像處理；蔡光程，博士，教授，通訊作者，研究方向?yàn)榭茖W(xué)計算、圖像處理。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20170307.0922.058.html

TP391

A

1673-629X(2017)04-0060-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2017.04.014