王寧寧

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

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網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)異質(zhì)性對(duì)疾病傳播影響的初步研究

王寧寧

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

為研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)異質(zhì)性對(duì)疾病傳播的影響，基于N-intertwined模型構(gòu)建出連續(xù)時(shí)間的異質(zhì)SIS模型，分析模型解存在唯一性條件和傳播閾值，并得到模型零解全局穩(wěn)定性。由傳播閾值與鄰接矩陣譜半徑的關(guān)系，分析出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)影響疾病傳播的主要因素。由ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值模擬，驗(yàn)證了疾病更容易在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中傳播。通過數(shù)值模擬得出：當(dāng)初始階段個(gè)體染病概率相同或某一社團(tuán)存在局部傳染源時(shí)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)之間的耦合強(qiáng)度不會(huì)影響最終染病人數(shù)，但會(huì)促進(jìn)或抑制疾病傳播；而相對(duì)于無社團(tuán)結(jié)構(gòu)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，社團(tuán)結(jié)構(gòu)的存在會(huì)縮短染病人數(shù)達(dá)到平衡的時(shí)間。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；疾病傳播；結(jié)構(gòu)異質(zhì)；譜半徑

隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播動(dòng)力學(xué)的不斷發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)模型成為研究信息、疾病傳播途徑的有效工具。對(duì)于疾病傳播，目前存在平均場方法、節(jié)點(diǎn)狀態(tài)對(duì)逼近法和滲流理論[1-3]等方法。除上述研究方法外，還有一類節(jié)點(diǎn)狀態(tài)建模法[4-5]，其經(jīng)典模型是N-intertwined SIS模型。該模型通過網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體染病概率的變化，反映網(wǎng)絡(luò)中染病者人數(shù)的增減。一般地，N-intertwined模型根據(jù)時(shí)間尺度可分為離散時(shí)間模型和連續(xù)時(shí)間模型。對(duì)于前者，單位時(shí)間內(nèi)個(gè)體染病和恢復(fù)事件是否可同時(shí)發(fā)生存在爭議[5- 6]；而后者在某些文獻(xiàn)中弱化了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的異質(zhì)性[4]，將個(gè)體染病概率等同于個(gè)體每個(gè)鄰居對(duì)其傳染率的期望，這顯然是對(duì)個(gè)體染病概率的不精確估計(jì)。因此，本文綜合兩種建模方式的優(yōu)點(diǎn)，建立了連續(xù)時(shí)間上體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的常微分方程模型，并以此作為本文網(wǎng)絡(luò)疾病傳播的基本工具。

在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)方面，不同類型的網(wǎng)絡(luò)對(duì)疾病傳播也具有不同的影響。以隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)為例，當(dāng)節(jié)點(diǎn)間連邊概率固定時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度分布服從泊松分布[7]。然而，對(duì)于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言，節(jié)點(diǎn)度分布服從冪律分布。這就使得在節(jié)點(diǎn)總數(shù)、平均度等拓?fù)鋮?shù)相同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在明顯的異質(zhì)性。僅對(duì)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言，當(dāng)基本參數(shù)相同時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部還有可能存在社團(tuán)結(jié)構(gòu)，使得部分節(jié)點(diǎn)內(nèi)部連接稠密而外部連接稀疏，這些結(jié)構(gòu)差異都有可能改變疾病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播特性。本文從數(shù)學(xué)分析角度出發(fā)，建立異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)疾病傳播的SIS模型，通過分析得出隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)疾病傳播的影響。并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)疾病傳播的差異，分析耦合強(qiáng)度不同的社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)疾病流行速率的影響，排除無效預(yù)防策略，給出減少染病總數(shù)有效的預(yù)防策略。

1 異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)SIS模型的建立及分析

建立異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)SIS模型，其中節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)分為兩種：易感狀態(tài)I和染病狀態(tài)S。通過該SIS模型研究其染病概率及染病人數(shù)I的變化。設(shè)λ,μ分別為單位時(shí)間內(nèi)疾病沿一條邊的傳染率和個(gè)體恢復(fù)率，將pi(t)記為t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)i的染病概率，N為網(wǎng)絡(luò)規(guī)模[8]。根據(jù)Mieghem[4]和Valdano[5]等的建模思想，可知每個(gè)節(jié)點(diǎn)染病概率的變化與自身疾病的恢復(fù)和鄰居節(jié)點(diǎn)的傳染存在必然聯(lián)系。由此得到如下SIS模型：

(1)

其中A是網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)最小度不小于2，則系統(tǒng)(1)的展開式為

(2)

(3)

其中：

由于

(4)

所以，系統(tǒng)(1)的矩陣形式為

(5)

(6)

易知， f (t,p)是G?R×Rn的連續(xù)函數(shù)，且f關(guān)于p滿足局部Lipschitz條件:

對(duì)于?(t,p1),(t,p2)∈G0，存在P0(t, p0)∈G使得

成立。

簡要的證明過程如下：

將 f (t,p1), f (t,p2)分別代入上式,得到

(7)

(8)

由于p1,p2都是p0領(lǐng)域內(nèi)的兩個(gè)向量，所以必然存在依賴于p0的L,使得L‖p2-p1‖=‖u-p1‖成立。于是由以上不等關(guān)系可得

(9)

其中，Lp0=2+μ+L。

綜上所述，系統(tǒng)(1)滿足解的存在唯一性條件。接下來，通過分析系統(tǒng)的線性部分

(10)

得到疾病的傳播閾值。由系統(tǒng)(2)可知，對(duì)任意染病概率和染病率存在

證明

區(qū)間U={(p1,p2,…,pn)|0

通過適當(dāng)放縮，可知

1) 當(dāng)ki是奇數(shù)時(shí)，

2) 當(dāng)ki是偶數(shù)時(shí)，

因此，線性系統(tǒng)(10)零解局部穩(wěn)定性與系統(tǒng)(1)相同。即原點(diǎn)附近初始條件相同時(shí)，線性系統(tǒng)染病人數(shù)趨于零，必然能得到系統(tǒng)(1)染病人數(shù)也趨于零。令ρ(-μE+λA)<0，則傳播閾值為：

(11)

將系統(tǒng)(1)作為系統(tǒng)(10)的擾動(dòng)系統(tǒng)，擾動(dòng)項(xiàng)為

如果兩個(gè)系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性相同，只需證明

(12)

對(duì)歐式范數(shù)而言，

任取上式中的一項(xiàng)

綜上所述，系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(10)零解的局部和全局穩(wěn)定性均相同。由文獻(xiàn)[9]可知，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中鄰接矩陣譜半徑的估計(jì)值分別為

(13)

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大且平均度相同時(shí)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播閾值更有可能小于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，這就降低了疾病在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳播條件，使得疾病更容易在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中傳播。此外，對(duì)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言，其內(nèi)部存在獨(dú)有的社團(tuán)結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)內(nèi)部連接稠密而外部連接稀疏，如圖1所示。S.Fortunato等在研究社團(tuán)結(jié)構(gòu)時(shí)，給出了描述節(jié)點(diǎn)社團(tuán)內(nèi)外度劃分混合參數(shù)μ的定義[10-11]

(14)

圖1 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中有無社團(tuán)結(jié)構(gòu)的差異

2 異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)SIS模型數(shù)值解及其分析

本節(jié)進(jìn)行3組對(duì)比試驗(yàn)，分別研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)類型、社團(tuán)耦合強(qiáng)度和染病個(gè)體分布對(duì)染病人數(shù)和變化速率的影響。

2.1 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)疾病傳播特性分析

在以下數(shù)值分析中，規(guī)定實(shí)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為1 000，平均度〈k〉=20且無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)冪律分布指數(shù)相同，含有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的LFR基準(zhǔn)圖[10-12]中社團(tuán)規(guī)模也相同。在上述基礎(chǔ)上，先進(jìn)行第一組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，即ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中疾病傳播的研究。通過隨機(jī)構(gòu)造以上兩種網(wǎng)絡(luò)，得到了平均度相同時(shí)的譜半徑結(jié)果，如圖2子圖。

圖2 閾值介于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)閾值 條件之間時(shí)染病人數(shù)的變化，其中子圖是 平均度相同時(shí)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的譜半徑

由模擬結(jié)果可知：平均度相同時(shí)，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)譜半徑的確要比無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)譜半徑小。因此，當(dāng)恢復(fù)率和染病率之比介于兩者譜半徑之間時(shí)，推斷疾病有可能在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中逐漸滅絕，而在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中傳播。為驗(yàn)證這一推斷，對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行數(shù)值模擬，不妨設(shè)初始階段個(gè)體染病概率全部相同，染病率和恢復(fù)率對(duì)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)滿足條件(10)，結(jié)果見圖2。由結(jié)果可知：盡管染病人數(shù)占總?cè)藬?shù)的20%，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的染病數(shù)量仍然可以趨近于0。但是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中染病人數(shù)大約占到了85%。這也證明了上述分析的正確性。

2.2 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)疾病傳播的影響

對(duì)于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言，網(wǎng)絡(luò)中的社團(tuán)結(jié)構(gòu)雖然不會(huì)直接影響傳播閾值，但其仍起到不可忽視的特殊作用。接下來進(jìn)行第二組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，首先研究平均度、節(jié)點(diǎn)度、染病概率和社團(tuán)規(guī)模冪律分布指數(shù)等參數(shù)相同時(shí)，混合參數(shù)μ=0.1～0.8時(shí)對(duì)染病數(shù)量的影響。當(dāng)染病率和恢復(fù)率超過或低于閾值條件時(shí)，得到數(shù)值結(jié)果見圖3(a)～(b)。由計(jì)算結(jié)果可以直觀看出：初始時(shí)刻個(gè)體染病概率相同時(shí)，不同混合參數(shù)μ對(duì)染病人數(shù)幾乎沒有影響，但染病人數(shù)變化率多少會(huì)受到影響。與圖2中結(jié)果相比，當(dāng)疾病流行時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中社團(tuán)結(jié)構(gòu)在一定程度上縮短了染病人數(shù)穩(wěn)定所需時(shí)間，且耦合強(qiáng)度的增加會(huì)促進(jìn)疾病的快速傳播；而當(dāng)疾病逐漸滅絕時(shí)，社團(tuán)耦合強(qiáng)度的增加會(huì)抑制疾病的過早滅絕。接下來，研究當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中僅存在局部傳染源時(shí)，社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)疾病傳播的影響。

圖3 初始時(shí)刻節(jié)點(diǎn)染病概率相同時(shí)，社團(tuán)耦合 強(qiáng)度對(duì)疾病滅絕和傳播的影響

圖4 初始時(shí)刻僅存在局部傳染源時(shí)，社團(tuán)耦合 強(qiáng)度對(duì)疾病滅絕和傳播的影響

在第3組對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，隨機(jī)挑選同一社團(tuán)中度最大的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)作為局部傳染源，研究混合參數(shù)對(duì)染病人數(shù)的影響。從數(shù)值模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)：混合參數(shù)μ對(duì)最終染病人數(shù)仍然沒有影響，但當(dāng)疾病流行時(shí)，混合參數(shù)明顯改變了染病人數(shù)變化率。在混合參數(shù)由0.1變?yōu)?.8的過程中，染病人數(shù)的變化趨勢顯著加快，如圖4(a)所示。相反，當(dāng)染病人數(shù)逐漸減少時(shí)，混合參數(shù)對(duì)染病人數(shù)變化起到了一定抑制作用，如圖4(b)所示。相同條件下，對(duì)無社團(tuán)結(jié)構(gòu)的局部傳染源進(jìn)行數(shù)值分析，發(fā)現(xiàn)無論耦合強(qiáng)度大小，社團(tuán)結(jié)構(gòu)的存在縮短了疾病流形或滅絕的時(shí)間，見圖5。綜合而言，混合參數(shù)μ不會(huì)改變最終染病人數(shù)的數(shù)量，但其數(shù)值的增加會(huì)促進(jìn)疾病傳播或抑制疾病消亡的速度。

圖5 初始時(shí)刻僅存在局部傳染源時(shí)，不存在 社團(tuán)結(jié)構(gòu)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中染病人數(shù)變化過程

3 結(jié)束語

本文通過建立異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)SIS模型，證明了系統(tǒng)解的存在唯一性和疾病傳播的閾值條件,并得到零解的全局穩(wěn)定性。以此為基礎(chǔ)，研究了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)疾病傳播閾值的差異。通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)：當(dāng)初始個(gè)體染病概率相同或某一社團(tuán)出現(xiàn)局部單一傳染源時(shí)，混合參數(shù)μ均不會(huì)影響染病人數(shù)，但是會(huì)改變?nèi)静∪藬?shù)的變化率。相對(duì)于無社團(tuán)結(jié)構(gòu)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，無論耦合強(qiáng)度多大，社團(tuán)結(jié)構(gòu)的存在都會(huì)縮短疾病傳播的時(shí)間。因此，對(duì)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言，適當(dāng)減弱各個(gè)社團(tuán)之間的耦合強(qiáng)度或破壞存在的社團(tuán)結(jié)構(gòu)可以減慢疾病的快速蔓延，為控制疾病傳播策略的制定贏得時(shí)間。但在不改變閾值條件時(shí)，上述預(yù)防策略不能從根本改變最終的染病人數(shù)[13-14]。為得到有效抑制疾病傳播范圍的方法，需要尋找降低網(wǎng)絡(luò)譜半徑或改變網(wǎng)絡(luò)拓?fù)漕愋偷念A(yù)防策略，其中重視個(gè)體自適應(yīng)性或適當(dāng)隔離高危人群就是有效途徑[15-17]。

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(責(zé)任編輯 劉 舸)

Primary Study About the Effect of Network Structure Heterogeneity on Epidemic Spread

WANG Ning-ning

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

In order to study the effect of network structure heterogeneity, an epidemic SIS network model was established based on the N-intertwined model. Subsequently, we proved the existence and uniqueness of solution and obtained the epidemic threshold, and then the globally asymptotically stability of zero solutions was also concluded. From the relationship between the threshold and the spectral radius of network, we studied out the main reason about the influence of the network structure on epidemic spread. Through the simulation of the ER and BA network, the easier spread of epidemic was verified in the BA network. When the infection probability is equal to each individual or there are some local infection sources in one community, the coupling strength of communities is irrelevant to the final number of patients, but will promote or restrain the spread. Compared with the scale-free network without communities, the existence of communities is beneficial to reduce the time needed to balance.

complex network; epidemic spread; structure heterogeneity; spectral radius

2017-01-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11331009)

王寧寧(1991—),男，河北泊頭人,碩士研究生，主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究，E-mail:nnwangnuc@foxmail.com。

王寧寧.網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)異質(zhì)性對(duì)疾病傳播影響的初步研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(4):121-126.

format：WANG Ning-ning.Primary Study About the Effect of Network Structure Heterogeneity on Epidemic Spread[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(4):121-126.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.04.020

O175;O41

A

1674-8425(2017)04-0121-06