江紹乾

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，解析幾何是高考的重點(diǎn)，難點(diǎn)和熱點(diǎn)尤其是解析幾何中的計(jì)算比較困難。而現(xiàn)在的高考特別提出“多考想，少考計(jì)算”，可見，目前高考更突出考查考生的分析、推理、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，那么根據(jù)目前的高考形式如何在解析幾何中避免繁雜、冗長的計(jì)算，即簡化計(jì)算，也就成了處理這類問題的難點(diǎn)與關(guān)鍵。解析幾何題目中常用的簡化運(yùn)算的技巧有：圓錐曲線的概念、條件等價(jià)轉(zhuǎn)化、形助數(shù)、設(shè)而不求等。下面以幾道高考中的解析幾何題為例來說明，希望能為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些幫助。

1.特值探路法

對(duì)定點(diǎn)與定值問題的求解，可先利用“特值探路”的方法（如直線的斜率為0、斜率不存在等）確定定點(diǎn)坐標(biāo)或定值，然后只需驗(yàn)證一般情況即可。解答此類問題要大膽設(shè)參，運(yùn)算推理后參數(shù)必消，定點(diǎn)、定值自然顯現(xiàn)。

例1（2014·山東理21）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|。當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形。

（1）求C的方程。

（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E。

①證明直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。

②△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

解析：（1）由題意知p〔，0〕。

設(shè)D（t，0）（t>0），則FD的中點(diǎn)為〔，0〕。

因?yàn)閨FA|=|FD|，由拋物線的定義知3+=|t-|，解得t=3+p或t=-3（舍去）。由=3，解得p=2，所以拋物線C的方程為y2=4x。

（2）①證明：由（1）知F（1，0）。

設(shè)A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0）。因?yàn)閨FA|=|FD|，則|xD-1|=x0+1，由xD>0得xD=x0+2，故D（x0+2，0）。故直線AB的斜率kAB=-。因?yàn)橹本€l1和直線AB平行，設(shè)直線l1的方程為y=-x+b，代入拋物線方程得y2+y-=0，由題意Δ=+=0，b=-。設(shè)E（xE，yE），則yE=-，xE=。當(dāng)y20≠=-=，可得直線AE的方程為y-y0=（x-x0），由y20=4x0，整理可得y=（x-1），直線AE恒過點(diǎn)F（1，0）。當(dāng)y20=4時(shí)，直線AE的方程為x=1，過點(diǎn)F（1，0）。所以直線AE過定點(diǎn)F（1，0）。②由①知，直線AE過焦點(diǎn)F（1，0），所以|AE|=|AF|+|FE|=（x0+1）+=x0+〔+1〕=x0++2。設(shè)直線AE的方程為x=my+1，因?yàn)辄c(diǎn)A（x0，y0）在直線AE上，故m=。設(shè)B（x1，y1）。直線AB的方程為y-y0=-（x-x0），由y0≠0，得x=-y+2+x0。代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0，所以y0+y1=-，可求得y1=-，x1=+x0+4。所以點(diǎn)B到直線AE的距離為d===4〔+〕則△ABE的面積S=×4〔+〕（x0++2）≥16，當(dāng)且僅當(dāng)=x0，即x0=1時(shí)，等號(hào)成立。所以△ABE的面積的最小值為16。

點(diǎn)評(píng)：（1）由拋物線的定義可求C的方程；（2）利用直線方程的點(diǎn)斜式求出直線AE的方程，進(jìn)判斷過定點(diǎn)；將面積的表達(dá)式找到，再探究其是否存在最小值。

2.定義法

直接利用圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義或圓錐曲線的統(tǒng)一定義解幾何問題的方法，稱為定義法。

例2.（2014年重慶理8）設(shè)F1、F2分別為雙曲線-=1（a>0，b>0），的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)p使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|-|PF2|=ab，則該雙曲線的離心率為（ ）

（A） （B） （C） （D）3

解析：由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=3b，所以（|PF1|+|PF2|）2-（|PF1|-|PF2|）2=9b2-4a2，即4|PF1|-|PF2|=9b2-4a2，又4|PF1|-|PF2|=9ab，因此9b2-4a2=9ab即， 則 ， 解得 = {=-舍去}，則雙曲線的離心率

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的定義與性質(zhì)，意在考查考生的基本運(yùn)算能力。

3.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用方程的曲線來直觀地說明曲線的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

4.設(shè)而不求

高考題一直注重對(duì)考生的數(shù)學(xué)基本能力的考查，特別是強(qiáng)調(diào)考查考生的運(yùn)算求解能力.尋找簡捷、合理的運(yùn)算途徑是運(yùn)算求解能力的核心.而“設(shè)而不求”就是在運(yùn)算求解時(shí)比較好的一種方法，可以大大地減少繁瑣的計(jì)算量.在處理直線與圓錐曲線相交問題時(shí)，一般技巧是設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，但不求出，利用韋達(dá)定理和相關(guān)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化問題，這就是“設(shè)而不求法”

5.函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。函數(shù)與方程思想是貫穿解析幾何的一條主線，解析幾何是通過平面直解坐標(biāo)系溝通平面幾何、函數(shù)、方程的紐帶。

6.轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識(shí)向舊知識(shí)轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等。各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)