蔡國(guó)君

摘 要：簡(jiǎn)單平面幾何是小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的有機(jī)組成部分。本文以新教材中新改版的“多邊形的內(nèi)角和”一課的教學(xué)實(shí)踐鋪展說明，深入淺出，由表及里，開端有經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)梳理認(rèn)知規(guī)律，中間有進(jìn)行難點(diǎn)突破的探究活動(dòng)，后有發(fā)展?jié)B透數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)l(fā)；誘導(dǎo)；探究；自學(xué)；輔導(dǎo)

簡(jiǎn)單平面幾何是小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的重要組成部分。針對(duì)這一部分內(nèi)容的研究，如何讓教學(xué)實(shí)施更加有效，使新課標(biāo)的要求全部達(dá)標(biāo)。緊緊圍繞幾何圖形這一主題，筆者進(jìn)行了深入的研習(xí)和摸索，收獲一些經(jīng)驗(yàn)和心得，本文選取了蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第96 頁“多邊形的內(nèi)角和”這一教學(xué)內(nèi)容分享相關(guān)成果。

一、學(xué)情前測(cè)，宏觀導(dǎo)引

在此之前，學(xué)生已經(jīng)了解了多邊形的一些特征，知道三角形內(nèi)角和定理，三角形兩邊之和大于第三邊，三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半，對(duì)梯形的定義、性質(zhì)也有了初步的了解。

二、以舊促新，激發(fā)潛力

1. 豐富的教具，增強(qiáng)學(xué)生空間想象能力

為學(xué)生提供各種形狀的多邊形學(xué)具：比如普米軟件特有的生成式的動(dòng)態(tài)演示，能夠讓理性思維與感官認(rèn)知交互溝通的swf軟件，任意劃分多邊形使其成為其他多邊形的習(xí)題設(shè)計(jì)。這是教師對(duì)教材從內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式等多個(gè)角度做出的科學(xué)重建。

2. 層次的反饋，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)意義的建構(gòu)

【片段一】回顧舊知。

師：還記得三角形的內(nèi)角和定理嗎？知道的請(qǐng)舉手。

生：三角形內(nèi)角和為180°。

師：這個(gè)結(jié)論是怎么推導(dǎo)出來的，記得嗎？

生：通過大量裁剪拼擺的實(shí)驗(yàn)得出的。

師：那么，以后遇到一個(gè)三角形，如果只知道其中兩個(gè)角的度數(shù)，能否求出第三個(gè)角的大??？

生：可以。

師：怎么求？

生：用180°減去這兩個(gè)角就可以。

良好的開端是成功的一半。巧妙的開端不但能激起學(xué)生的好奇心，而且利用懸念迭起的設(shè)問，還能一步步吸引學(xué)生產(chǎn)生探秘的興趣和動(dòng)力。尤其是這種以舊帶新法，在正式進(jìn)入多邊形內(nèi)角和求法講解前先“故弄玄虛”，讓學(xué)生回顧三角形的內(nèi)角和定理。從學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的舊知識(shí)入手，不僅鞏固了原有知識(shí)，為新知學(xué)習(xí)打下心理基礎(chǔ)，而且給學(xué)生帶來親切感和愉悅感，學(xué)生在愉悅的心態(tài)下接觸陌生的新知效率更高。

【片段二】拋出疑問，激發(fā)興趣。

師：同學(xué)們知道三角形的面積怎么求嗎？

生：用底乘以高除以二。

師：那你們知道，這個(gè)面積公式中“除以二”的由來嗎？

生1：是因?yàn)槿切蚊娣e是靠平均切分一個(gè)平行四邊形得到的。

生2：根據(jù)平行四邊形面積可以推算出三角形的面積。

生3：平行四邊形面積又是根據(jù)長(zhǎng)方形面積推演出來的。

師小結(jié)：很好，這就不難解釋，課本里為什么先講到平行四邊形面積，再講到三角形面積，最后講到梯形面積。

以回顧三角形的內(nèi)角和定理為“楔子”引入正題后，不能急于拿出多邊形的內(nèi)角和問題。從三角形內(nèi)角和到多邊形內(nèi)角和的思維跨度較大，學(xué)生一時(shí)間難以接受和適應(yīng)。搞不好會(huì)弄巧成拙，讓前面精心的鋪墊前功盡棄。按循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，要找到三角形內(nèi)角和與多邊形內(nèi)角和之間的理論支柱，即建立理性上的數(shù)量關(guān)系橋梁——平行四邊形的面積。從問題本源出發(fā)，由三角形面積計(jì)算公式中“除以二”的由來，來強(qiáng)調(diào)平行四邊形面積可以折算成兩個(gè)三角形面積的合理性。用類推法來提出假設(shè)：任意多邊形的內(nèi)角和同樣可以換算成若干個(gè)三角形的內(nèi)角和。對(duì)三角形面積公式的來源考究為這種假設(shè)提供強(qiáng)有力的邏輯性和可能性。

【片段三】同理類推，知識(shí)遷移。

師：既然平行四邊形與三角形的面積之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，那么它們之間的內(nèi)角和有沒有某種關(guān)聯(lián)？

師：請(qǐng)你們大膽猜測(cè)一下平行四邊形的內(nèi)角和是不是和三角形的內(nèi)角和一樣是一個(gè)定值？

師：如果是，你有辦法求出這個(gè)值是多少嗎？如果不是，又有什么理由？

充分發(fā)揮教學(xué)中提問的藝術(shù)，先發(fā)出疑問“有沒有某種關(guān)聯(lián)？”然后再緊扣上一個(gè)問題進(jìn)行追問“平行四邊形內(nèi)角和是不是定值？”最后根據(jù)學(xué)生的不同回答再來一句反問。通過層層誘導(dǎo)式提問，學(xué)生注意到了三角形與四邊形的內(nèi)在聯(lián)系，辯證地找到了不同的多邊形的基本屬性，趁熱打鐵地推出多邊形的內(nèi)角和。整個(gè)教學(xué)程序有條不紊、環(huán)環(huán)相扣、邏輯緊密，而通過“溫故”“對(duì)比”“學(xué)新”等規(guī)范、縝密的思維步驟，則可以讓學(xué)生的思路在連續(xù)產(chǎn)生的疑慮中向前推進(jìn)，從而有效地提高學(xué)生的想象力、分析力和思辨力。

三、縱深質(zhì)疑，橫向拓展

1. 明確研究任務(wù)：以四邊形內(nèi)角和的推算過程為窗口，你還想知道些什么？

生：平行四邊形可以分成兩個(gè)相同的三角形，一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，那么兩個(gè)三角形的內(nèi)角和就是360°。

生：其他任意四邊形的內(nèi)角和也符合這個(gè)結(jié)論嗎？

在課堂上要關(guān)注學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng)，倡導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)問。學(xué)生在課堂預(yù)熱階段已經(jīng)研究出平行四邊形這類特殊四邊形的內(nèi)角和是360°，層層叩問下，必然會(huì)想到“任給一個(gè)四邊形，內(nèi)角和也滿足 360°嗎”“任意多邊形是否也有自己特有的穩(wěn)固的內(nèi)角和值”“多邊形的內(nèi)角和數(shù)值大小與多邊形的形狀有關(guān)嗎”……學(xué)生們的思路一旦打開，就像潘多拉的魔盒，會(huì)不由自主地冒出許多稀奇古怪的想法，這些想法都是獨(dú)立思考能力和求知欲的體現(xiàn)。

2. 確定研究方向。

師：?jiǎn)栴}多，頭緒雜，大家打算如何著手？

生：以四邊形為切入點(diǎn)開始研究，因?yàn)樗倪呅问浅巳切瓮膺厰?shù)最少的多邊形。

生：三角形的內(nèi)角和我們已經(jīng)知道是固定值180°，接下來應(yīng)該以四邊形內(nèi)角和為類推基準(zhǔn)，再逐漸增加邊數(shù)研究其他圖形的內(nèi)角和。

生：不是所有的圖形都要一一研究，也不可能把所有多邊形都涵蓋進(jìn)去，只要摸索到了本質(zhì)規(guī)律，就可以如法炮制。

教學(xué)模式不是一成不變的，而是靈活多樣，在這里，我們既要用到啟發(fā)教育模式，啟發(fā)學(xué)生思考存疑處，又要用到自學(xué)輔導(dǎo)模式，讓學(xué)生對(duì)“研究什么”“怎樣研究”產(chǎn)生自己的想法。

3. 探究任意四邊形的內(nèi)角和。

師：請(qǐng)大家猜測(cè)，隨便一個(gè)四邊形的內(nèi)角和會(huì)是多少度呢？隨手繪制一個(gè)四邊形簡(jiǎn)圖，用自己的方法算出它的內(nèi)角和值。

通過親自試驗(yàn)和數(shù)據(jù)研判，學(xué)生歸納總結(jié)了很多規(guī)律：邊數(shù)越多，分成的三角形越多；每多加一條邊，就能多切分一個(gè)三角形；能分成三角形的數(shù)量比邊數(shù)少2；多邊形的內(nèi)角和就是分成的所有三角形的內(nèi)角和；有多少個(gè)三角形，就有多少個(gè)180°……然后再繼續(xù)深究：你明白為何三角形的數(shù)量會(huì)比邊數(shù)少2嗎？

“參與—活動(dòng)”式教學(xué)模式的運(yùn)用，可以通過組織引導(dǎo)學(xué)生自主探究，達(dá)到提高學(xué)生分析解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好意志的目的，讓學(xué)生從知識(shí)客體變?yōu)橹R(shí)主體，通過自主建構(gòu)獲得認(rèn)知的進(jìn)步。這個(gè)活動(dòng)過程中學(xué)生能清醒地認(rèn)識(shí)到要求多邊形的內(nèi)角和，把多邊形分成若干個(gè)三角形是必由之路。有兩種切分方案，方案A：從多邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)向其他頂點(diǎn)連線；方案B：在多邊形內(nèi)部任選一點(diǎn)，分別向每個(gè)頂點(diǎn)連線。

4. 總結(jié)通用公式。

問題：你能用一個(gè)代數(shù)式表示多邊形內(nèi)角和的求法嗎？

生：多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°。

師：上述方案A與方案B有何區(qū)別？最后得出的結(jié)論是一致的嗎？

生：方案A由于被選頂點(diǎn)不能與自己的兩條鄰邊構(gòu)成三角形，所以n邊形分成的三角形個(gè)數(shù)為n-2。但是切分后的每個(gè)三角形的每個(gè)內(nèi)角都是多邊形內(nèi)角的一部分或某個(gè)內(nèi)角的全部，所以得出多邊形的內(nèi)角和=（n-2）×180°；方案B則不同，是在多邊形內(nèi)部隨意選取原點(diǎn)，三角形的個(gè)數(shù)與n邊形的邊數(shù)相同，都為n。但是這些三角形共頂點(diǎn)（原點(diǎn)）的內(nèi)角不是多邊形的內(nèi)角，要除去。但它們剛好拼合成一個(gè)周角360°，折合成2個(gè)180°，所以公式推導(dǎo)過程是：多邊形內(nèi)角和=180°×n-（180°×2）=（n-2）×180°。

理論聯(lián)系實(shí)際是重要的教學(xué)原則，要求我們?cè)谶M(jìn)行理論知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，還要能聯(lián)系實(shí)際進(jìn)行講授。沒有理論，發(fā)展學(xué)生的智力也就沒有基礎(chǔ)，更不可能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)于實(shí)踐的能力。循序漸進(jìn)地促使學(xué)生質(zhì)疑和探究，最后，在啟發(fā)式教育的模式下，學(xué)生的思路打開，成功完成自主建構(gòu)。